带有约束条件的排列和组合

排列和组合的计算为大家熟知,本文讨论具有约束条件的排列、组合问题:限距组合和禁位排列. 一、限距组合在自然数集合{1,2,…,n}中,任意取出k个元素,按大小顺序排列设为 1≤j_1相似文献   

可重复的排列组合(高二、高三)

1.定义(1)可重复的排列①允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在m个不同的元素里,取出n个元素(可重复),按照一定的顺序摆成一排,那么第一,第二,…,第n位上各选取元素的方法都是m个,故从m个不同的元素里取出n个元素的可重复的排列数为     

限距组合及其应用

定义 自集合{1,2,3,…,n}中选出k个数j_1、j_2、j_3、…、j_k,使之满足 ①1≤j_1相似文献   

幻方的存在性

幻方在我国古代叫纵横图,是由一些连续的整数组成一个满足一定条件的数表。本文以构造的方法证明幻方的存在性.定义1:整数 k～n~2+k-1按某种方法排成1个n×n 矩阵.若矩阵的每行、每列、及两对角线的 n 个数之和均相等,称该矩阵为 k～n 幻方矩阵、或 k～n 幻方.特别、当k=1时称为 n 阶幻方矩阵,或是 n 阶幻方.其每行(列)的 n 数之和称为幻方的和,记为 Sn.由于任何一个 k～n 幻方总可以写成一个 n 阶幻方与(k-1)乘元素为1的方阵之和.所以在本文中只讨论 n 阶幻方.由定义可知,一个 n 阶幻方,其行与行之间、列与列之间的无互不相同,且和相等.因此     

重复组合的问题及其解题功能

定义从n个不同的元素中，取，个允许重复的元素而不考虑其次序，被称为从n个不同元素中取r个允许重复的组合，简称为重复组合，允许重复的组合数常常记作Hn.     

关于一对一禁位排列问题的一个公式

定义:对于n个不同元素a_1,a_2,…,a_n的无重复的全排列中,当a_i不在第i(i=1,2,…,m,m≤n)位置的排列,称为这n个元素中有m个元素的一对一的禁位排列。 根据本人多年教学体会:学生在解这类排列问题时或束手无策,或重复遗漏.能够尽善尽美的解答为数极少。请看下面解决这类问题的方法。 定理 n个元素中有m(≤n)个元素的一对一禁位的排列数为:     

对《两种不同着色应用问题的探析》一文的更正

<正>文[1]中对文[2]中给出的定理:用k(k为正整数)种不同颜色给圈Cn的n个顶点着色,则相邻的顶点颜色不同的方法为{(k-1)n+(-1)n(k-1),n≥2,Fn,k=k,n=1,进行了研究,得到定理的推广:在圈Cn的n个顶点栽种k(k为正整数,k≤n)种不同颜色的花,相邻的顶点花的颜色不同,则共有Fn,kC1k·Fn,k-1种不同的栽种方法,其中     

第39届IMO试题解答(下)

16.求最小的整数n(n≥4),满足从任意n个不同的整数中能选出四个不同的数a、b、c、d,使a b-c-d可以被20整除。 解:我们先考虑模20的不同剩余类,对有k个元素的集合,共有(1/2)k(k-1)个整数对,如果(1/2)k(k-1)>20,即k≥7,则存在两对(a,b)和(c,d),使aa b=c d(mod20),且a、b、c、d互不相同. 一般地,我们考虑一个由9个不同元素构成的集合,假设在这个集合中有7个或更多的元素属于模20的不同剩余类,则由前面的推导可知,能找出四个不同的数a、b、c、d,使a b-c-d被20整除,假设在这个集合中至多有属于模20的六个不同的剩余类,则一定存在4个数,对模20是同余的,或有两对数分别对模20是同余的,对这两种情况,我们仍能找出a、b、c、d,使a b-c-d被20整除.     

全错位排列数公式的推导与化简

一、提出问题装错信封问题:一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,若他把这n封信都装错了信封,那么装错信封的装法共有多少种?这是被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”.把n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的排列方法称为错位排列法.将编号分别为1,2,3,…,n的n个不同元素a1,a2,a3,…,an,安排在这n个位置作全排列,若某个排列中每个元素都错     

例谈可重复组合模型的简单应用

<中学数学月刊>2003年第10期<可重复组合总数>一文给出了公式:(RC)mn=Cmn m-1.其中(RC)mn表示:从n个不同元素中不管顺序可重复地取出m个元素,不同结果的总数.笔者觉得可重复组合数公式特别是其数学模型对学生解决某些数学问题很有益处,本文举例浅谈如下.     

代数基本定理

在复数范围里,一元n次方程(n≥1)至少有一个根.据此即可得出推论:在复数范围内,一元n次方程(n≥1)有且仅有n个根(k重根作k个根计).     

关于平方根的十分位数的一个猜想

对于实数x,设d(x)是x的十进制表示中的十分位数.对于正整数n和k,设f(n,k)=(n~2+n+k)~(1/2).证明了:当n≥5k-1时,d(n,k)=5.     

可重复组合总数

从 n种不同的元素中取 m个元素 ,共有多少个不同的结果 ,这是我们经常遇到的问题 .“排列与组合”专门讨论过这个问题 .本文限于篇幅 ,不结合具体实际例子 ,而只进行符号化的讨论 .1　n=4 ,m=3的情况先讨论 n=4 ,m=3的具体情况 ,即从A,B,C,D四种不同的字母中 ,取 3个字母 ,共有多少个不同的结果 .其实 ,这个问题的提法过于笼统 ,还应明确 :“管不管顺序”与“可不可重复”.因此对 n= 4 ,m=3,实际上有四种情况 :(1)管顺序 ,可重复 ;(2 )管顺序 ,不可重复 ;(3)不管顺序 ,不可重复 ;(4)不管顺序 ,可重复 .我们干脆将它们的结果全部排出来 ,为…     

上限距组合问题再探讨

利用母函数及摸球模型,证明了从n个不同数中取出k个数且上限距分别为m1,m2,…,mk-1的组合数公式为A（n,k,m1,m2,…,mk-1）=k-1Пi=1mi[n-1/2k-1∑i=1(mi 1)]。     

环状排列问题探究

环状排列就是从n个不同元素中,不重复地任取m(m≤n)个元素,不分首尾地依次排成一个环状.它与直线状排列的区别在于任一直线排列都有首、尾元素,其余中间元素之间都有一定的相邻顺序;而环状排列只考虑元素之间的相邻顺序,却没有首、尾元素.     

重复排列与重复组合之间的关系

设S是一个n—集.S的r—排列个数与S的r—组合个数之间存在如下关系,对于r≤n这个关系式告诉我们,若知道了S的r—排列,则立即可得S的r—组合反之亦成立,现在问当S是n个元素的无限重集时,S的r—重排列个数与S的r—重组合个数之间是否也存在某些联系呢?本文对此作些探讨.我们知道.S的r—重排列的个数是n~r及S的r—重组合个数是C(n r-1,r)其中n,r是正整数.定理1,设S是有n个不同元素的重集,且每个元素的重复数是无限的.那么S的r—重排列与S的r—重组合之间存在     

下限距组合问题再探讨

用组合方法证明了从n个不同数中取出k个数且下限距为m的组合数公式为C（n,k,m）＝C■（k-1）（m-1）,并用线性变换的方法将其进行推广,得出了下限距为m1,m2…,mk-1时的组合数公式为     

第十章 排列、组合和二项式定理

10.2排列教材细解1.排列的定义从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.     

浅谈组合恒等式证明的常用方法

排列、组合是中学代数中一块相对独立的内容 ,学好这部分知识对提高学生的数学思维能力有积极的促进作用 .而解决这类问题的思考方法与其它代数内容有所不同 ,不能仅靠代数的逻辑推理 .本文就这部分知识中组合恒等式的证明谈几种常用的方法 .1　通项研究法通项研究法是指从研究其通项入手 ,通过变形、化简 ,显现出所证恒等式的内在规律 ,从而使原恒等式得证 .例 1　求证 :C0n+ 12 C1 n+ 13C2n+… +1n+ 1 Cnn=1n+ 1 ( 2 n+1 - 1 ) ,证明　左边第 k项为1k Ck- 1 n =1k· n!( k- 1 ) ![n- ( k- 1 ) !]=1n+ 1 · ( n+ 1 ) !k![( n+ 1 ) - k]!=…     

关于距离图的L(2,1)-标号着色

研究了距离图G(D)的L(2,1)-标号色数λ(D).证明了距离图满足λ(G)≤Δ2.对于任意给定的正整数k,证明了λ({1,2,..., k})＝2k 2和λ({1,3...,2k-1})＝2k 2.假设k,a∈N且k,a≥2.如果k≥a,则λ({a,a 1,...,a k-1})＝2(a k-1).否则,λ({a,a 1,...,a k-1})≤min{2(a k-1),6k-2}.若D由2个正整数构成,则6≤λ(D)≤8.对于特殊的距离集D＝{k,k 1}( k∈N),λ(D)的上界改进到了7.