再探利用隐圆,破解最值问题

<正>文[1]从点和圆的三种位置关系入手,得出解决最值问题的结论,挖掘隐圆,巧妙破解最值问题.笔者由此得到启发,得出一个更一般的结论;原文中"动点对定长的线段所张的角为直角",可以将直角引申成一些其它特殊角,30°或150°,45°或135°,60°或120°,解法灵活巧妙.1更一般的结论如图1,⊙O的半径为R,点P到⊙O上的点所连线段最短距离是∣OP-R∣,最长距离是OP+R.     

一道中考题的解法、不足和改进

如图1,已知△ABC 中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为 DF),将直角三角板 DEF 绕 D 点按     

善用几何性质求轨迹方程——对一道课本练习的巧思妙解

在求轨迹方程时,对明显蕴涵几何条件,如中垂线、直角、圆内弦中点、中线、中位线、角平分线、两圆内切或外切等的一类问题,在用代数法（直接法、定义法、代人法、参数法、交轨法等）求解之前。应先利用图形本身具有的几何条件,借助平面几何中的有关定理和性质（如中垂线定理、勾股定理、垂径定理、中线定理、中位线性质、角平分线性质、连心线性质等）,尝试看看能否得出有益的数量关系或结论．这是使解法巧妙优美的一种有效方法．     

如此证明线段倍分

1．30°角所对的直角边等于斜边的一半 例1如图1,在直角梯形ABCD中,AD／／BC,∠ABC=90°,点E是CD的中点,从点E作CD的垂线交AB于点P,     

构造基本图形求解45°角问题

<正>在解答有关45°角问题时,由于技巧性较强,学生常常会感到束手无策.实际上若能根据45°角的特殊性,恰当地构造出相应的基本图形,再充分运用基本图形的有关性质探寻解题思路,往往可使问题巧妙地化隐为显、化难为易.下面分类剖析,以飨读者.一、构造全等三角形例1 如图1,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,求线段MN的长.     

分类例说辅助圆在解题中的妙用

<正>通过巧妙构造圆,充分利用"直径所对的圆周角为直角"来解决某些问题,可以达到事半功倍的效果.试分类例说如下.一、证相等例1如图1,四边形ABCD是正方形,点E为线段BC上任意一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证:AE=EF.     

与45°角有关的中考题

<正>45°角是直角的一半,它们之间有着这种特殊的关系,以45°角为载体的中考题解题过程简单巧妙,倍受到命题者的青睐.因此,在中考中它们也频频亮相.现从近几年全国各地中考试卷中撷取几例解析,供读者赏析.例1(2012南充)如图1,在RtPOQ中,OP=OQ=4,M是PQ中点.把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与POQ的两     

留足空间 放飞思维——“探究15°和75°角的三角函数值”的课堂实录

<正>"特殊角的三角函数值"是初中数学教学中的重要内容.2011版的《课程标准》中要求"会利用相似的直角三角形探索并认识锐角三角函数(sin A、cos A、tan A),知道30°,45°,60°角的三角函数值".在实际教学中,数学教师常常通过带领学生探究15°和75°角的三角函数值,达到对三角函数问题中的构造、转化以及计算的熟练运用.特殊角的三角函数值教学完毕,笔者问学生:"如何求15°和75°角的三角函数值?"提出这个问题后,     

特殊直角三角形的计算问题

<正>平面几何中含30°或45°的直角三角形问题,是经常遇到的问题.本文就这类特殊直角三角形的计算问题进行讨论.一、含30°的直角三角形我们知道,30°直角三角形的三个内角的比为1∶2∶3,三边之比为1∶3^(1/2)∶2.若把30°角所对直角边叫短直角边,60°角所对直角边叫长直角边,则有下面的关系式(如图1):     

例谈补形法解梯形问题

补形法就是指根据题设中的某些特殊条件(如含有60°,直角,120°的角,中线等),将原题中的图形补全为某种我们熟知的规则几何图形(如直角三角形、特殊四边形或圆等),然后运用这些熟知的几何图形的规律来解决问题的方法.这种方法是转化思想应用的结果.这种方法对解决与梯形有关的问题时,效果明显.一般地,梯形中主要的补形方法有以下几种:一、当题设中有中点或平行线时,可补全为平行四边形     

构造图形求sin15°的值

正在解直角三角形中,根据锐角三角函数定义及勾股定理便可求出30°,45°,60°的四个锐角三角函数值。受此启发,我们可用多种方法来构造直角三角形,从而推导出sin15°的值。方法一:如图1,作Rt△ABC,使∠A=30°,作角平分线AD,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=DC。     

一副三角板拼成的几何图形

在含有30°、60°、90°角和含有45°、45°、90°角的两块三角板中,若其中一块的一条直角边和另一块的一条直角边相等,则这两块三角板可拼成如下几种基本图形:(1)当30°角所对的直角边与45°角所对的直角边相等时:(2)当60°角所对的直角边与45°角所对的直角边相等时:由于含30°、60°、90°角的三角形     

巧寻30°角解题

我们知道,30°是一个重要而又特殊的角度.特别是当一个直角三角形中含有30°的角时,它有一个特有的性质:“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.”在许多情况下,若能根据题设条件,及时发现或构造出含30°角的直角三角形,往往能使求解过程从山穷水尽走向柳暗花明.现举例说明.     

先解决一个问题,再解决一串问题

本文中规定:两条异面直线所成的角是锐角或直角,两条相交直线所成的角是指它们相交所成的四个角中的较小者,所以也是锐角或直角;当两条直线平行或重合时,它们所成的角是0°,所以空间两直线(包括重合的情形)所成角的范围是[0°,90°].空间的一条直线与一个平面所成角的范围也是[0°,90°].本文中还规定:两个相交平面所成的角是指它们相交所成的四个二面角中的较小者,所以也是锐角或直角,两个相交平面所成角的范围是(0°,90°].     

过定点与两相交直线或平面成等角直线数的求证

问题1:已知异面直线a、b所成角为60°,过空间一点P作直线与直线a、b都成45°的直线共有_____条。问题2:已知直线l与平面α所成的角为70°,过空间一点P与直线l和平面α都成45°角的直线共有____条。问题3:已知平面α与平面β所成的角为80°,点P为α、β外一定点,过点P的直线与α、β所成的角都是30°,则这样的直线有_____条。     

如何求sin15°的值

<正>如图1,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=15°.我们不妨将它称为解决此问题的基本图形.在这个三角形中要求sin 15°,目前显然AB/AC’没办法直接得出比值.但我们知道直角三角形中,30°,45°,60°这几个特殊角的三角函数值,所以考虑基本图形与含特殊角的直角三角形的关系,就是顺理成章的.     

巧用图形性质求解与圆有关的最值问题

<正>探究圆上的动点或与圆相交动线构成的线段的最值问题新颖别致,形式不拘一格,解决问题的方法灵活多变,造成许多同学产生畏难情绪.本文分类例说如何利用图形性质求解此类问题,以帮助同学解除疑惑.1.利用"直径是圆中最大的弦"求最值例1如图1,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两     

联想与构造 玩转45°角

<正>对于含有特殊角的几何问题,如果我们能抓住这些角的特殊性,展开恰当的联想,巧妙构造一些基本图形,就能使问题迎刃而解.例如45°角就是一个常见的特殊角,它和等腰直角三角形、正方形、圆等最基本的几何图形有着紧密的联系.本文从一道模考题入手,运用联想与构造的思维方法,多方位、多角度探寻解决途径,以感受45°角的美妙,体会联想与构造在解题时的重要性与有效性.     

例说以θ＝35°为临界角的一组物理问题的解析

在我们研究的物理问题中。很多时候会与角度有关,而通常为讨论问题的方便会取一些特殊角,如θ=30°,θ=45°,θ=60°,还有θ=37°（或θ=53°）等．其中θ=37°（或θ=53°）是讨论矢量运算时的平行四边形定则最好的实例．即满足勾三股四弦五的直角三角形,而另外的那些大量使用到的特殊角,     

再谈几何最值之阿氏圆问题

<正>在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变化时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题.这类问题通常可以运用几何性质和代数解法两种方法解决.几何性质中常用的定理(或公理)有"两点之间线段最短"和"垂线段最短";代数解法通常是利用二次函数的最值或判别式法.近年来出现了一类将阿氏圆和"两点之间线段最短"结合求最值问题,下面我们一起来领略阿氏圆在解决