一个奇妙的连续数组

最近,印度数学家发现一组具有奇妙特性的连续自然数:从956起到968为止一共13个自然数。它们奇妙在哪里呢?揭密步骤如下: 1.先算出每个数的平方,例如956~2=913936。     

第十五讲 代数式(之4)

（4）两个自然数公式的导出下面我们再介绍与S₁相关的另外两个公式:1²+2²+3²+…+n²=（n（n+1）（2n+1））/6 1³+2³+3³+…+n³=[n（n+1）/2]²这就是从1开始的n个自然数的平方和.从1开始的n个自然数的立方和.将它们依次记作S₂,S₃.     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

妙用“二进制”解题——从一道奥数题说起

<正>利用暑假这段时间,笔者沉下心来做了一些数学题,并习得了不少解题新技能,使我受益匪浅．就拿下面这道奥数题来说吧!一、引例自然数2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁵+2⁴+2³+2²能否被18整除．分析常规的解法是:先求出这个自然数,再用18除看能否除尽．但求自然数的计算量很大,有没有简便方法呢?我的答案是可用“二进制”来求解．那么,什么是二进制数?二进制数的运算规则有哪些?二进制和十进制之间如何换算?欲知详解,就请跟随我一起来探究吧．     

费马数F5能被641整除的证明方法

在浙教版初中数学实验教材八年级下册第4章的"前言"及第83页的"阅读材料"中都给出了关于费马数的一些有趣史料:形如2^2″+1（n为自然数）的数称为费马数,简记为F_n.1640年,法国数学家费马（Fermat,1610～1665）根据F₀=3,F₁=5,F₂=17,F₃=257,F₄=65537都是素数,因而作出猜测:对于所有的自然数n,     

引发逆向思维的几种情形

<正>一、由因式的分解引发逆向思维例1(¹/25-1/25-¹/23)2(8+21/23)2(8+2¹/215).分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8+21/215).分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8+2¹/215这个式子的结构特征,这个式子能"分解因式"成(1/215这个式子的结构特征,这个式子能"分解因式"成(¹/25+1/25+¹/23)2,故原式等于(1/23)2,故原式等于(¹/25-1/25-¹/23)2(1/23)2(¹/25+1/25+¹/23)2,此时再逆用积的乘方公式即可.解∵8+21/23)2,此时再逆用积的乘方公式即可.解∵8+2¹/215=5+3+21/215=5+3+2¹/215=(21/215=(2¹/25)2+(1/25)2+(¹/23)+21/23)+2¹/215=(1/215=(¹/25+1/25+¹/23)2,     

对一道中考题的探究

<正>内蒙古赤峰市曾有一道中考题如下:观察一组式子:3²+42+4²=52=5²,52,5²+122+12²=132=13²,72,7²+242+24²=252=25²,92,9²+402+40²=412=41²,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a2,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a²+b2+b²=c2=c²,我们知道满足a2,我们知道满足a²+b2+b²=c2=c²的正整数a、b、c叫勾股数.其中,第一个数为奇数,最大的数与较大的数差为1.     

2013年高考数学湖北理科卷第13题的多种解法

题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x²+y²+z²=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x²+y²+z²=1,x+2y+3z=14^1/2,所以利用柯西不等式得（1²+2²十3²）·（X²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=14^1/2,得k=14^{1/2),即x+y+z=6k=14^1/3.     

构造等差数列巧解方程

例1解方程3x-2^1/2+x+3^1/2=3.解由3x-2^1/2+x+3^1/2=3,得3x-2^1/2+x+3^1/2=2×3/2,所以3x-2^1/2,3/2,x+3^1/2成等差数列,不妨设公差为d,于是有     

由错位相减法求和引发的思考

引例求S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1.解析（法一）显然,a_n=n·2^n-1为等差乘等比型数列,可选择采用错位相减法.S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1,2S_n=1·2¹+2·2⁺+…+（n-1）·2^n-1+n·2ⁿ,则-S_n=(2⁰+2¹+2²+…+2^n-1)-n·2ⁿ=2ⁿ-1-n·2ⁿ,即S_n=（n-1）·2ⁿ+1.（法二）注意到a_n=n·x^n-1型以及（x_n）′=n·x^n-1,可选择以导数为工具,采用构造函数法.令f（x）=1·x⁰+2·x¹+3·x²+…+n·x^n-1,不难观察到,（x_n）′=n·x^n-1,所以f（x）=（x+x²+x³+…+xⁿ）′=((xⁿ⁺¹-x)/（x-1）)′=(n·xⁿ⁺¹-（n+1）xⁿ+1))/（（x-1）²）     

向量模长公式的八种应用

b²=|b|²=（2n-3m）²=9m²-12m·n+4n²=9-12×1/2+4=7,∴|a|=7^1/2,|b|=7^1/2.又∵a·b（2m+n）·（2n-3m）=-6m²+m·n+2n²=-6+1/2+2=-31/2,∴cos〈a,b〉=（a·b）/（|a||b|）=（-31/2）/(7^1/2×7^1/2)=-1/2,∴向量a与向量b所成的角为120°.     

形似神似与形似神非——记三类双根式函数最值问题的求解

一、前言在一次高三"推门"听课过程中,碰到这样一个问题,求函数f（x）=（2-x）^1/2+（x-1）^1/2的最值.学生很快通过两边平方结合二次函数性质,求得当x=3/2时,函数有最大值2^1/2;当x=1或2时,函数取到最小值.紧接着教师又抛出了三个形似问题,分别求下列函数的最     

更正两处文献的错误

1 2⁴⁰≈1.2×10¹²吗?中国初等数学权威期刊《数学通报》（中国数学会与北京师范大学主办）2002年第1期发表了文章《引无数英雄竞折腰的3x+1猜想》,该文第五段是:"这是偶然的巧合吗?无论用手工计算还是计算机检验,人们都发现上述结论是对的.如日本东京大学米田信夫验算x=2⁴⁰（大约是12000亿）以下所有的自然数,答案都是1.自然数有无     

多角度解一道高校自主招生题

2008年同济大学自主招生有这样一道试题:在实数范围内求满足方程组（?）的实数x,y,z的值,对于学习过竞赛的同学来讲,利用柯西不等式解答会比较得心应手,其解答如下:由Cauchy不等式,39=-8x+6y-24z≤（-8）²+6²+（-24）²(1/（-8）²+6²+（-24）²·x²+y²+z²⁽1/x²+y²+z²=676^1/676     

在教学中运用口诀的实践与思考

<正>中学数学中的概念、定义、方法繁多,学生难以记忆.经过多年的教学实践,笔者把一些定理、方法以原创口诀的形式运用于教学中,不仅帮助学生理解和记忆,也活跃了课堂气氛,提高了教学效率.一、口诀介绍1.完全平方公式口诀对完全平方公式,不少同学会误记为(a+b)²=a2=a²+b2+b².为了纠正这种错误,笔者总结了一个口诀为:"前平方,后平方,前后两倍在中央".这样,大大避免了上述漏写中间项的     

用“1”巧证不等式

1.利用"1=1ⁿ"例1设x,y,z∈R⁺,且x+y+z=1,求证:x²+y²+z²+2（3xyz）^1/2≤1.分析注意到原不等式左、右边式子中指数的差异及条件x+y+z=1,故把不等式右边的"1"构造为1=1²=（x+y+z）².证明原不等式可转化为     

第3届世界数学团体锦标赛儿童组试题

<正>(2012.11北京)团体赛1.已知求a的值.2. 以下是横排的方格,每个方格内有一个不超过9的自然数,从左端第1个方格开始,连续三个方格内的数字的和,依次是6,₅,₃,₄,₆,₅,₃,₄,…求从左向右的第1123个方格内的数字.3. 三进制只有三个数字:₀,₁,₂.如12₃,201₃,1122₃.三进制的数可以化为十进制的数,如:三进制中的12₃,在十进制中是1×3¹+2×3⁰=3+2=5₁₀.三进制中的201₃,在十进制中是2×3²+0×3¹+1×3⁰=18+0+1=19₁₀.     

巧借a+b≥2((ab)～(1/2))求最值

先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2（ab）^1/2.证明:a,b都大于0,所以(a^1/2-b^1/2)²≥0,所以a-2（ab）^1/2+b≥0,所以a+b≥2（ab）^1/2.当a=b时,a+b=2（ab）^1/2.     

探究运用三角函数对称性、奇偶性解题

一、三角函数对称问题三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象具有对称性.根据图象,由ωx+φ=κπ+π/2,得对称轴方程是x=1/ω（κπ+π/2-φ）;再由ωx+φ=κπ,得对称中心是（（κπ-φ）/ω,0）（以上k∈Z）.下在同通过一道高考题,给出求解三角函数图象对称问题的几种处理策略.例1函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称,求实数a的值.分析一般地,可考虑利用公式asinx+bcosx=（a²+b²）^1/2sin（x+φ）,将f（x）化为只含一个三角式的形式,f（x）=（a²+1）^1/2(sin2x·1/（a²+1）^1/2+cos2x·a/（a²+1）^1/2)=（a²+1）^1/2sin（2x+φ）,其中sinφ=a/（a²+1）^1/2,cosφ=     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y