数形结合：一个解题案例的再分析（续三）

在上述讨论中，我们始终没有指出x1、x2的值域，在解法1、2中还有意回避值域以节约书写，可能直接看图形还会以为x1∈（-2，0]，x2∈[-0，1）（必要不充分）．为了对图形动态变化的概貌有较准确的把握，也为了分析文[3]的方便（文[3]实际上已通过求导数的方法确定了x1、x2的值域），我们来讨论x1、x2的值域，但从几何的角度来提出问题：直线y=-a上移有限制吗？     

直线方程yoy=p（x0＋x）的几何意义

文[1]、[2]、[3]分别给出了直线方程:x_0x y_0y=r~2,(x_0x)/a~2 (y_0y)/b~2=1,(x_0x)/a~2-(y_0y)/b~2=1的3种几何意义,笔者认为直线方程:y_0y=p(x_0 x)(p>0)也有类似的几何意义,而且它揭示了圆及二次曲线内在的一般规律.定理1:若点 P(x_0,y_0)在抛物线 y~2=     

直线方程y0y=p(x+x0)的几何意义

文[2]作为文[1]的续文,在直线方程(x_0x)/(a~2) (y_0y)/b~2=1的三种几何意义探讨启发下,给出了直线方程(x_0x)/(a~2)-(y_0y)/(b~2)=1的几何意义.本文再给出直线方程y_0y=p(x x_0)的几何意义,以告对此类问题的探讨圆满解决.     

直线与圆锥曲线位置关系的判定定理

对于直线方程:x_0x/a~2+y_0y/b~2=1,文[1]中已证明:它是过平面上任一点p_0(x_0,y_0)(原点除外)的直线与椭圆的两个交点为切点的两切线的交点的轨迹方程,同时还指出了它的两个有趣的性质。本文将继续研究它的另一     

求函数的值域常见的八种方法

一、配方法如给定函数解析式为二次三项式常用此法.例1求函数y=x2-ax(a为常数),x∈[-1,1]的值域.解:因为y=x2-ax=(x-2a)2-a42.(1)当2a≤-1,即a≤-2时,f(-1)≤f(x)≤f(1),函数的值域为[1 a,1-a];(2)当-1<2a≤0,即-2≤a≤0时,f(2a)≤f(x)≤f(1),函数的值域为[-a42,1-a];(3)当0相似文献   

再解一道美国数学月刊问题

问题:设x,,z∈(0,∞),x2+y2+z2=1,函数f=x+y+z-xyz的值域. 文[1]、[2]、[3]分别就此问题进行了深入的研究,出了不同的解法,文[1]、[2]、[3]的解答可以看出这是一个极富挑战性的初等数学问题.     

对高中教材一个传统命题及证明的商榷

文 [1]第 4 6页总复习参考题第 7题和文 [2 ]第88页复习参考题七B组第 3题是 :把函数 y =f(x)在x =a及x =b之间的一段图象近似地看作直线 ,设a c b ,证明 f(c)的近似值是f(a) +c-ab -a[f(b) - f(a) ] .文 [3]第 14 8页和文 [4 ]第 55页给出的参考解答是 :证明　设函数 y =f(x)的图象上两点A、B的坐标分别为 (a ,f(a)、(b ,f(b) ) .由两点式得直线AB的方程为y-f(a)f(b) - f(a) =x -ab -a,即 y =f(a) +x-ab -a[f(b) - f(a) ] . ( 1)在 y =f(x)的图象上任取一点P(c ,f(c) ) (c∈ [a ,b] ) ,因为 y =f(x)的图象可以近似地看作直线 ,所以将…     

一道美国数学月刊征解题的简解

题目设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊征解题,文[1]、[2]、[3]、[4]分别给出了一个解答,都很巧妙,本文给     

一道美国数学月刊征解题的再探与推广

正题目设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.文[1]、文[2]、文[3]站在不同的角度对这道题展开了研究,给出了多种不同解法,本文笔者再给出一种解法,并在此解法的基础上展开推广.     

构造“关于y/x的二次方程”巧解2007年高考题`

1方法回顾提炼文[1]中提炼出一种解决"直线与圆锥曲线相交弦"有关问题的行之有效的特殊方法——构造"关于y/x的二次方程".其具体方法如下:若直线l与圆锥曲线C相交于不同两点P(x_1,y_1)和Q(x_2,y_2),当求解与k_(OP)、k_(OQ)相关的问题时,可以设直线l的方程为y =kx 6,当b≠0时,可将其化为(y-kx)/b=1,     

利用抛物线的对称性解题

我们知道,抛物线y=ax~2+bx+c是以直线x=-b/2a为对称轴的轴对称图形,它的顶点在对称轴上.由此可以讲一步得到如下结论:(1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点,抛物线上对称两点的纵坐标相同.(2)若抛物线上有两点(x_1,y_1),(x_2,y_1),则抛物线的对称轴为:直线x=x_1+x_2/2.解决有关抛物线的问题     

再谈一条美妙性质

文[2]对文[1]作了推广,文[2]中定理如下:定理:过圆锥曲线准线上一点,作该曲线的两条切线,两切点所在直线过相应焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).笔者受其启发,对文[2]再作推广如下:定理:直线z与圆锥曲线无交点,P∈l,过P若存在两条直线与圆锥曲线相切,则两切点所在直线恒过定点,并以该定点为中点的弦平行于直线 l.证明:设直线 l 方程:Ax By C=0(C≠0),两切点为 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_0,y_0).     

一例值域问题的再探究

文[1]用数形结合处理了武汉市高中调考题中的一例值域问题,题目如下:求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.标准答案给出的一种解法容易出错,文[1]所用方法甚是巧妙,但文[1]的解法不符常规,     

圆锥曲线离心率取值范围求法大放送

如何求解离心率的取值范围是很多学生较难掌握的内容.笔者通过多年的教学经验认为,要解决此类问题,最重要的便是充分挖掘题中所隐含的条件,构造出解决此类问题的不等式. 一、利用直线与双曲线的位置关系 [例1]给出条件:已知双曲线x2/a-y2=1(a＞0)与直线l:x+y=1相交于两个点P和Q,要求解出双曲线离心率的取值范围. 解析:把双曲线方程和直线方程联立消去z,得(1-a2)y2-2y++1-a2 =0,1-a2≠0时,直线与双曲线有两个不同的交点,则△＞0,△=4-4(1-a2)2=4a2(2-a2)＞0,即a2＜2且a≠1,所以e2=c2/a2=1+1/a2＞3/2,即e＞√6/2且e≠√2.     

例谈函数值域的几何意义

文[1]借用几何直观分析了函数y=x 4-x2的值域,并补充了两个相关的例子.本文就[1]中的题目,采用另一种方式--作出二次曲线,进行讨论,能使值域的几何意义更为清晰.     

斜率公式在解题中的应用

斜率是解析几何中非常基本的一个概念,它反映的是直线方向的一个非常重要的量,斜率公式与代数中的分式在结构上又有密切的联系,所以一些代数问题,如分式函数的值域,数列等题目就可以转化为斜率问题来解答,这样会使思路清新简明,解法自然流畅.现举例加以说明.一、用斜率解函数值域问题例1求函数s=2t-3t2 1的值域.分析:求形如s=uv((tt))函数的值域,我们可令x=v(t),y=u(t),则s=xy,化参数方程x=v(t),y=u(t),为普通方程f(x,y)=0,于是所求函数的值域,就是直线y=sx与曲线f(x,y)=0相交时,直线的斜率s的取值范围.解:令x=t2 1,y=2t-3,则s=xy.把x=t2 1,…     

一类直线方程的统一求法

贵刊1983年第5期刊登了《一类直线方程的四种求法》一文,该文介绍了解决如下问题的四种方法:过二次曲线C:F(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部[指包含焦点的平面区域(不包括周界)]已知点M(x_0,y_0)作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得点M平分弦AB。对于这类问题,可作如下推广:过M作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得M点为弦AB的n等分点。当n≥3时,用《一类直线方程的四种求法》一文介绍的四种方法来求     

应用所学知识巧解一次函数

一、巧解对称问题 例1 求直线L:y=3x-2关于y轴对称的直线L'的解析式. 解析:设直线L上的任一点P的坐标为(a,6),则6=3a-2,点P(a,6)关于y轴的对称点P'的坐标为(-a,6),则P'点的坐标(x,y)满足:(1)x=-a;(2)y=b=3a-2.由(1)、(2)得y=-3x-2.所求直线L'的解析式为y=-3x-2.     

与一类直线方程有关的圆锥曲线的一个性质

文[1],文[2],文[3]分别研究了直线方程x0x/a^2＋y0y/b^2=1,x0x/a^2-y0y/b^2=1,y0y=p（x0＋x）的儿何意义．受其启发,笔者通过超级厨板发现与上述直线方程有关的圆锥曲线的一个性质,现介绍如下．     

《函数》一单元检测题

一、选择题1.若函数f(x) =2 x2 + 2 -2a的图象与直线y =-2没有公共点 ,则实数a的取值范围是 (　　 )(A)a <1　　　　 (B)a≤ 1(C)a <3 (D)a≤ 32 .若y=logax是单调递减函数 ,则函数y=-a- 8+ 2x-x2 的单调递增区间是 (　　 )(A) ( -∞ ,1] (B) [4 ,+∞ )(C) [-2 ,1] (D) [1,4]3 .函数y =5 -2 1+4x-x2( -2 ≤x ≤ 5 )的值域是 (　　 )(A) ( -∞ ,5 ] (B) [0 ,2 ](C) [0 ,3 ] (D) [2 ,3 ]4.函数y =f(x)的图象只可能是 (　　 )5 .若f(x) =x2 lg( 2 -a) +( 3a -5 )x-1是偶函数 ,则f(x)在区间 [-4 ,-1)上 (　　 )(A)是增函数　　 (B)是减函…