关于费尔马点的一个不等式

设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证     

数学问题与解答

1985年第5期问题解答 81.在圆内接凸四边形ABCD中,⊙O_1、⊙O_2、⊙O_8、⊙O_4分别是△ABD、△BCA、△CDB、△DAC的内切圆.设AB、BC、CD、DA上的切点依次是E、F,M、N,G、H,P、Q.求证: (1)EF=GH,MN=PQ; (2)EF·MN=R_1R_3+R_2R_4(R_1是⊙O_i的半径).     

Child不等式的加强

Child不等式:设P是△ABC内的任一点,记PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,P点到BC、CA、AB的距离分别为h_1、h_2、h_3,则R_1R_2R_3≥8 h_1h_2h_3①     

正三角形内点的一个性质

命题 如图2,P是以a为边长的正△ABC内一点,P到A、B、C的距离分别为R_1、R_2、R_3,∠BPC=α,∠CPA=β,∠APB=γ。则 α~2=R_3~2 2R_1R_2sin(γ-30°),     

关于三角形内任意一点的几个不等式猜想的证明

<正>本文约定:在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,设P是三角形内部任意一点,记PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,△BPC,△CPA,△APB的外接圆半径分别记为R_a,R_b,R_c,∑表示轮换求和.刘健老师于2005年出版了他的电子书《美妙的九正弦不等式》,在该书中,作者从九正弦不等式出发,演绎出大量新颖美妙的三角形几何不等式,并提出了诸多的     

等圆性质在解题中的应用

本文试图利用等圆的一个简单性质性质在等圆中,相等(或互补)的圆周角所对的弦相等, 给出某些几何题的又一种解题途径. 举例如下: 例1 已知△ABC中,AB=AC,BD=CE,DE交BC于M.求证DM=EM. 证明;设△BN和∠CW的外接圆半径分别为R_1,R_2,则 BD/sin∠1=2R_1.EC/sin∠2=2R_2.     

三角形—不等式的对偶结果

文[1]给出定理:设D、E、F分别为△ABC边AB、BC、CA的内点,△DEF为正三角形,△ADF、△BDE、△CEF及△DEF的外接圆的半径分别为R_1、R_2、R_3、R_0,     

三角形中的又一个不等式

本文介绍三角形中的又一个不等式.定理 设D、E、F分别为△ABC中AB、BC、CA的内点,△DEF为正三角形,△ADF、△BDE、△CEF的外接圆半径依次为R_1、R_2、R_3,△DEF的外接圆半径为R_0,则有     

一九八五年英国物理奥林匹克竞赛试题

基本常数:1/4πε_0=8.99×10~9Vmc~(-1) 题1:在图一所示的电路中R_1,R_2……R_8是有限电阻器,电流计G与电阻R_8串联后接在B、F两端之间。如果定义α、β如下: α=R_1/R_6,β=(R_2+R_3)/(R_4+R_5),求证当R_5=0时,没有电流流过电流计的条件是α=β。再定义λ=R_4/(R_4+R_5), μ=R_5/R_7,     

Oscillation of Second Order Delay Difference Equations

In this paper we study the Oscillatory behaviour of the second order delay differenceequation.(1)△(r_n△A_n)+P_nA_(n-k)=0,n=n_0,n_0+1……where{P_n}(?)is a nonnegative Sequenceof real number,(?)is a positive sequence of real number with sum from n=n_0 to +∞(1/r_n)=+∞,K is a positive integer and △A_n=A_(n+1)-A_n we prove that each one of following conditions.imples that al solutions of Eq(1)oscillate,where R_(n)=sum from i=n_0 to n(1/r_i)j     

求并联总电阻一得

我们看下面的两个例题: 例1、两电阻R_1、R_2并联,若R_1=630欧,R_2=70欧,求总电阻。解:由1/R=1/R_1+1/R_2得 1/R=1/(630)+1/(70)=1/(63) ∴ R=63(欧) 例2、电阻R_1=200欧,R_2=50欧,求并联时的总电阻。解:由1/R=1/R_1+1/R_2得     

关于三角形两个特殊点的一类不等式

文[1]给出了ΔABC 特殊点(外心、内心、重心)与三角形三个顶点 A、B、C 所构成的三个小三角形的外接圆半径与ΔABC 外接圆半径之间的若干不等式,本文补充给出三角形的勃罗卡点、费马点的几个类似不等式,供参考.命题1 设 F 为ΔABC(最大内角小于120°)的费马点,ΔBFC、△CFA、△AFB 及ΔABC 的外接圆半径分别为 R_1、R_2、R_3、R,则     

一道IMO试题的妙解

第33届IMO中有这样一道赛题: 在一个平面中,c为一个圆周,直线l是圆周的一条切线,M为l上一点,试求出具有如下性质的所有点P的集合:在直线l上存在两点Q和R,使得M是线段QR的中点,且c是△PQR的内切圆,经探索它有一个极其巧妙的解法,现介绍如下,以供参考。解:如图1,设Q、R在直线l上,M为QR的中点,c切PQ、QR、RP于A、B、C.c的圆心为O,OB交c于D,PD交QR于E,过D作Q_1R_1∥QR,分别交PQ、PR于Q_1、R_1,于是 PQ_1+Q_1D=PA, PR_1+R_1C=PC. ∴ PQ+Q_1D=PR_1+R_1C     

求异思维与一题多解

在一次课内提问时,我出了这样一个题目:将三个电阻R_1=13Ω、R_2=6.5Ω和R_3=1.3Ω并联,求并联后的总电阻。正当大家按照并联电阻公式1/R=1/R_1+1/R_2+1/R_3进行繁琐地计算的时候,有一位学生很快地报出了R=1Ω的正确答案。我及时肯定了他思维敏捷、解答正确,还请他向全班     

一道不等式例题的几种几何证法

高中《代数》（必修）下册第12页例7:已知a,b,m∈R_ ,且aa/b 此例课本和参考书上分别用分析法和比较法给出了证明,本文再介绍几种几何证法. 证法 1（构造直角三角形）作 Rt △ABC设, AC=a,AB=b     

浅谈求并联总电阻

本刊1993年第2期“求并联总电阻一得”一文(以下简称原文)中写道:R_1=200Ω、R_2=50Ω,求R_1、R_2并联总电阻.     

发出相同功率的问题

问:把阻值为R_1和R_2的纯电阻先后分别接到内阻为r的一个电池的两极,在什么条件下电阻R_1、R2能发出相同的功率? 答:当接上R_1时,R_1上发出的功率为 P_1=(ε/(R_1 r))~2·R_1当接上R_2时,R_2上发出的为功率 P_2=(ε/(R_2 r))~2·R_2令P_1=P_2,得R_1/(R_1 r)~2=R_2/(R_2 r)~2     

一次有意义的物理课外活动

给课外活动小组同学每人实验器材: 万用电表(1只),电阻四只(阻值不等,如:E_1=2kΩ、R_2=4kΩ、R_3=10kΩ、R_4=5kΩ),连接导线若干,开关1只。首先让用同学们测出每只电阻的值。同时练习使用万用电表的欧姆档。(10分钟) 然后,让同学们将电阻联成附图所示电路用万用表测AB端电阻。测两次,一次K断开,测得值为R断;一次K闭合,测得值R_合。让同学们比较R_断和R_合,交换电阻的位置再做几次,记录每次实验R_断和R_合的大小之间关系。(15分钟)     

一种求并联电阻的方法——标准支路法

并联电路总电阻的倒数,等于各个支路电阻的倒数之和。用公式表示为: 1/R=(1/R_1) (1/R_2) … (1/R_i) … (1/R_n)=sum from i=1 to n (1/R_i) (1)这种方法可称为“倒数法”或“电导法”。当各支路电阻相等时,R_1=R_2=……=R_i=…=R_n,则R=(R_1/n)一般说来,实际的并联电路各支路电阻往往是不相等的。能否有办法让各支路电阻变成相等呢?下面让我们来研究图1所示的电路。该电路两支路的电阻R_1>R_2,如果用R_(21)和R_(22)两个支路代替R_2支路,R_(21)=R_(22)=R_1,如图2所示,两图表示的电路并联总电阻相等,图2是图1的等效电路。它们的并联总     

上当题析(30)

例1、如图1,已知电源电动势ε=10伏。电源内阻r=1欧,电阻R_1=R_2=4欧,求:R_(AC)为何值时,安培表的示数最小,最小值为多少?R_(AC)为何值时,安培表的示数最大,最大示数为多少? “上当”途径:设滑动变阻器的两部分电阻别为R_(AC)和R_(BC),流过R_1和安培计的电流分别为I_1和I_2,要使安培计的读数最大,可让电路中的电流大部分通过电流表,如果流过R_1的电流I_1为零,则安培计的读数最大,可把滑动变阻器的滑动触头(向左