异分母分式加减运算的通法和巧法

异分母分式的加减法是分式运算的重点和难点,必须切实掌握,其方法是先通法,后巧法.一、运用通法,掌握异分母分式的加减法的一般步骤(1)把各分式的分母分解因式;(2)确定各分式的最简公分母;(3)运用分式的基本性质化异分母为同分母;(4)进行计算,并将最后结果化为最简分式.例1计算:aa2+-3bb2+a1+b+b-1a.解原式=(a+ab)+(3ab-b)+a+1b-a1-b=(a+ab+)(3ab-b)+(a+ab)-(ab-b)-(a+ab)+(ab-b)=(a+3b)+a-b-(a+b)(a+b)(a-b)=(a+(ab)+(ab)-b)=1a-b.二、运用巧法,由于一些题目按通法解答繁杂,若抓住其特点,善用技巧,可化繁为简例2计算:a-1b+a1+b+a22+ab2+a44…     

分式运算中通分的技巧

在分式加减运算中,若能根据分式的结构特点,使用通分的技巧,不仅可以保证运算的正确性,而且可以提高解题的速度,收到事半功倍之效。一、整体通分例1计算x3x-1-x2-x-1。解:原式=x3x-1-(x2+x+1)=x3x-1-(x-1)(x2+x+1)x-1=x3x-1-x3-1x-1=1x-1。二、拆项通分例2计算a-bab+b-cbc+c-aca。解:原式=(1b-1a)+(1c-1b)+(1a-1c)=1b-1a+1c-1b+1a-1c=0。三、一次通分例3计算1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+4x+4。解:原式=1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+1)(x+3)=x+3+x+1+x+2(x+1)(x+2)(x+3)=3(x+2)(x+1)(x+2)(x+3)=3(x+1)(x+3)。四、逐步通分例4计算1x-1-1x+1-2x2+1。…     

《异分母分数加减法》教学设计

【教学目标】1.理解异分母分数加减法必须先通分的道理,掌握异分母分数加减法的计算法则。2.渗透转化的数学思想。3.培养学生的自学能力。【教学重点、难点】1.异分母分数加减法的计算法则。2.熟练准确的计算。【教学过程】一、复习,导入新课。1.口答通分结果。12和1523和1934和12先出示第一组:12和15你是怎么找见它们的公分母是10的?再来看第二组:23和19你又是怎么想的?再看下一组:34和12谁来说说通分的目的是什么?2.看来同学们对通分的知识掌握的很好,下面我们再来复习一个旧知识。口算:49+49和78-38再来看下一道题:12+13谁能说说这道题与…     

分式的加减法学习导航

正一、知识梳理1.分式的通分(1)把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式叫做通分.(2)通分的依据是分式的基本性质,通分的关键是确定最简公分母.最简公分母主要由以下3种方法确定:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;②最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积;(3)如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.     

分式加减需注意的几种变形

在进行分式加减运算时,常常要通分.对于某些问题若能仔细观察、分析分式中分子和分母的具体特点,选择一定的变形策略,可避免直接通分带来的烦琐,收到事半功倍的效果. 一、整体处理变形 例 1 计算a-b+ b2/a+b. 分析:把a-b当做一个整体,看成分母为1的一个分式,再与已知的分式相加.     

数学八年级(下)期末复习要点回顾

一、分式 知识链接 1.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)-个不等于0的数,分式的值不变. 2.通分:根据分式的基本性质,将分母不同的分式化成同分母的分式叫做分式的通分,一般取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的分母叫做最简公分母.     

分数加减速算的探讨

北京景山学校编写的《速算练习卡片册》第10面关于分母是互质数的两个分数的加减法是这样说的: “分母是互质数,分子是1的分数相加,不要经过通分,可以按照‘分母相乘做分母,分母相加做分子’的方法,直接写出它们的和。如果一个分子是2,在分母相加时,应把另一个分数的分母先乘以2再相加。例①:1/3 1/5=(5 3)/(3×5)=8/15;例②2/3 1/5=(5×2 3)/(3×5)=13/15。     

"倒行逆施"茅塞顿开(初二、初三)

1.逆用分式减法法则 例1化简:1/(a 1)(a 2) 1/(a 2)(a 3) 1/(a 3)(a 4). 分析 按常规的方法进行通分,显然最简公分母比较复杂,可从异分母分数运算 1/2×3=1/2-1/3发现1/(a 1)(a 2)=1/a 1-1/a 2,于是有下面解法.解 原式=1/a 1-1/a 2 1/a 2-     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

引导学生在对比中寻找捷径

事实上,选择以最小公倍数作为公分母的学生,其计算正确率明显高于以两个异分母的乘积（公倍数）作为公分母的学生,主要是后者由于通分后分子和分母的数比较大,导致计算难度增加,或者很难找到计算结果中分子和分母的公因数,没有对计算结果进行约分或约分不彻底,也就不符合在分数运算中“计算结果能约分的要约成最简分数”的要求.     

分式求值的“11”个常用技巧

正分式求值是分式运算中的一类常见问题,对计算能力的要求较高。在求解此类问题时,既要注意基本法则的应用,也要掌握相关的解题技巧。下面举例说明。一、整体通分3例1计算x2+x+1-x3/x-1分析:把(x2+x+1)看成一个整体,对其进行通分,并且分子还可利用乘法公式简化运算。解:原式=(x-1)(x2+x+1)-x3=x3-1-x3=-x-1x-1x-11。x-1二、部分通分例2计算:1-1-2-4x-1x+1x2+1x4。+1分析:按照常规解法是把四个分母一起通分,这样求解过于繁琐。若选择前面两个分式通分,然后再逐个通分,这样化繁琐为简单。解%原式=2-2-4(x+1)(x-1)x2+1x4=+1     

学习分式的20个注意点

一、要注意分母的值不能为零例1(1997年山西省中考题)当x=时,分式(x-|3x)|(-x1+1)的值为零·解:由|x|-1=0,得x=1或x=-1;当x=-1时,分母(x-3)(x+1)=0,所以x=1时,上述分式的值为零·二、要注意不要盲目通分例2(1997年西宁市中考题)当a=3,b=2时,求代数式a+ba2+2ab+b2-ba22--abb2的值解:待求式=a+b(a+b)2+(a+b(ba)(-ab)-b)=a1+b+a+bb=a1++bb=33+2=3(2-3)·三、要注意运用换元技巧例3(1997年云南省中考题)1x2+3x+2+1x2+5x+6+x2+41x+3·解:因为原式=(x+1)1(x+2)+1(x+2)(x+3)+(x+3)1(x+1),所以设x+1=a,x+2=b,x+3=c,则原式=a1b+b1c+c1a=a+abbc+c=(x+1…     

通分

教学内容:通分(小学六年制数学教材第十册第75 页例1、例2)教学目标:1、使学生理解通分的概念;2、正确找出各异分母分数的公分母,掌握通分的步骤和方法;     

倒序配凑 美妙无穷

!!l卜甘刀r +飞题目:计算:冬+ 乙,12、气—十-丁-)’33’/l,2 .3、气—十—十—)’4 44’(告+鱼 3十— 5亡)+……十(命+ 22003 3十— 20032001200320022003 分析与解:此题加数太多,直接通分计算显然是不可取的。其实,各加数之间是有联系的,凡分母相同的几个分数,它们的分子是从l开始的连续自然数,它们的个数等于分母减l,抓住这一特征就可以倒写相加,把各加数之间的内在联系充分体现出来。 把原式中各个括号中的各个加数的顺序倒过来得到:土+(宁(牛 21、,4 32十—十—)十叱—十—十—十 44’、5 55告)+(2002200320012003十.“.+,将此式与原式…     

分式运算中的常见错误分析

一、错用分式的基本性质四、违背运算顺序 上。+。化简王__ la一乙画计算a+2 3a:(u+2)(z+2错解原式=‘了+2 3aa+2 3a原式二一{二。!只2几一。)·!0‘未一’0“ 分析乘法和除法是同级运算,谁在前面先算谁,上述解法错在没有按照运算顺序进行计算.正解原式=a+2 3a 1 11a十Za+2 3a2+6a分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘五、通分时去分母﹃乙解析一例一错分以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变”.而错解中分开乘以2,分母乘以10,错用了分式的基本性质.困计算厂。十a+乙,x 105(i+1()ba一10乙X 10 错解原式=bZ+(‘,+b)(。一b)= bZ+…     

一类双数列递推式之通项公式的求解

由两个数列{an}与{bn}所组成的递推式求其通项公式通常较为困难,在文[1]中作者给出了一道题的解如下:若数列{an}与{bn}满足a0=1,b0=0,且an+1=7an+6bn-3bn+1=9an+7bn-4(n∈N),试证an(n∈N)是完全平方数.导析:由初始条件和已知递推式,易求出a1=4,b1=4,且当n≥1时,(2an+1-1)+3bn+1=(14an+12bn-7)+3(8an+7bn-4)=(7+43)[(2an-1)+3bn]累次迭代,便得(2an-1)+3bn=(7+43)n-1[(2a1-1)+3b1]=(7+43)n请注意:这里是否有等比数列的模型呢?同样,我们还可建立上式的对偶式:(2an-1)-3bn=(7-43)n于是,将所得二式相加,得an=14(7+43)n+14(7-43)n+12因为7±43=(2…     

“似非而是”的分数运算

我们知道,分数的运算与化简都必须按照相关的法则进行,可下面的运算却出乎意料之外,令人难以相信,但其正确性却是毋须置疑的,请看:1.有趣的加法(1)35 25=53××25=265;(2)1270 230=2107××230=45010.异分母分数加法运算,本应先通分,化为同分母后再相加,而这里却是把分母相乘作分母,分子相乘作分子.究竟什么样的分数才可以这样做呢?不难发现,这样的两个分数具备条件:①分子相同;②分母之和等于分子.反过来,是不是具备这样条件的分数相加就可以采用这种方法呢?请看:a ba a bb=(b a b)a (ba a b)(=a b)a(××b a b).2.奇妙的减法(1)76-98=76-…     

分式加减运算中的创造性思维例话

例1、计算(x-1)/(x~2-3x+2)+(x+1)/(x-2)-(x~2-x-6)/(x~2-4) 解:原式=(x-1)/[(x-1)(x-2)]+(x+1)/(x-2)[(x-3)(x+2)]/[(x+2)(x-2)]=1/(x-2)+(x+1)/(x-2)-(x-3)/(x-2)=[1+(x+1)-(x-3)]/(x-2)=5/(x-2) 说明:本题看起来是异分母的分式相加减,但把两个较复杂的公式的分子、分母分解因式后,约去公因式,就变简单了,且是同分母的分式相加减。若不这样做,则会异常繁杂。     

具有相同规律的一组数学竞赛题

先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+…     

对两个不等式的加强和推广

1、问题提出 安振平老师在文[1]中利用抽屉原理得到了如下不等式:对于任意的正实数a,b,c,均有(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2.得到此不等式后,安老师指出由此不等式及(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),立得2004年亚太地区数学竞赛中的一道题:对于任意的正实数a,b,c,均有(a2 +2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).