也谈对新教材两道习题的思考

高中数学新教材有这样两道习题 :题 1　已知 f(x) =lg1-x1+x,a、b∈ (- 1,1) ,求证 f(a) +f(b) =f(a +b1+ab) .(高一上册第 89页 )题 2　已知 ｜a｜<1,｜b｜<1,求证 :a+b1+ab <1.(高二上册第 2 2页 )文 [1]作者谈了题 1、题 2的 4点思考 :①题 1中 f(a) ,f(b) ,f(a+b1+ab)有意义是必须证明的 ;②题 1不属于“恒等式证明” ;③题 1在高一现有知识范围内可以有不同的证明方法 ;④题 2可以通过构造题 1的函数来证明 .笔者完全赞同这 4点 ,并愿意作 4点补充 :1　要积极挖掘函数值之间的关系 ,培养发现能力题 1中的函数值关系式 f(a) +f(b) =f(a+…     

日出江淮红胜火，春来江水绿如蓝——2006年安徽省高考数学试卷评析及对今后教学的启示

1立足双基.试题平稳重基础,清新隽永,颇具内涵,无怪题和偏题. 选择题起点低、坡度缓,除第11、12题比较灵活外,其他题几乎是一马平川,有利于学生及早进入状态,增强自信心,这是区别于往年考题的一个显著特点.填空题比选择题稍难,运算量增大,除第16题比较灵活外,其他仍然是考生熟悉的常规题型.解答题的前三题都属基础题,其难度与教材的习题难度相当,并且有几道题与课本的习题有关,如第(4)题是由高二数学(上)第11页习题第1题引申得到,第(9)题是由高二数学(下)第74页练习第3题改编得到等,这些题虽源于课本,但又高于课本,这对中学数学教学有很好的导向作用.     

从教材习题与高考试题的解决谈解题反思

<正>笔者最近在做2015年高考数学试题时发现福建理科卷第20题第(1)问是人民教育出版社A版教材选修2-2第32页的一道习题(B组1-3和1-4),现分析如下,供读者参考.一、试题再现(一)教材习题1.利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图像直观验证:(3)ex>1+x,x≠0;(4)ln x0.(二)高考真题例1(2015年高考福建理科卷第20题)已知函数f(x)     

2004年高考（全国卷Ⅱ）数学试题与课本例习题对照

一、课本例习题的改编题(一)数字的改编1.理(1)、文(1):已知集合M={x｜x2<4},N={x｜x2-2x-3<0},则集合M∩N=()A.{x｜x<-2}B.{x｜x>3}C.{x｜-1相似文献   

不等式lnx≤x-1的类似及加强

用导数容易证得定理1lnx≤x-1(x>0)(当且仅当x=1时取等号).普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)第32页的习题第1题的第(3)小题"证明不等式:ex>1+x(x≠0)"的结论与该不等式是等价的.笔者认为,该不等式因其形式简     

2007年浙江省高考数学卷中函数问题的特点与评析

函数是高中数学的重要内容和主干知识,也是学习高等数学的基础,在每年的高考中都占有较大的比重.2007年浙江省高考数学卷的函数题很有特色,理科第8、10、22题及文科第11、15、22题着重考查了函数的定义域与值域;分段函数、二次函数的性质;函数的单调性;函数的导数、导数的几何意义等,并以函数为载体考查了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等重要的数学思想方法,对考生的理性思维能力和创新意识的要求较高,从而使高考命题由知识立意向能力立意的转化迈出了可喜的一步.1 重视对函数概念的考查数学概念是构建数学知识的基础,正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提;也是学好数学定理、公式和掌握数学方法及提高解题能力的基础.2007年浙江省高考数学卷理科第10题,要求考生深入理解函数的定义(定义域、值域和对应法则),领会分段函数、复合函数的概念,考查函数的本质特性.例1 设 f(x)={x~2,|x|≥1 x,|x|<1,g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域是[0, ∞),则 g(x)的值域是     

函数中比较大小问题

<正>函数中有一类常见的题型——比较大小,下面结合2014年江苏高考数学第19题总结这类题的常见解法,探究这类题的解题规律.引例-x:(2014年江苏第19题)已知函数x f(x)=e+e,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;-x(2)若关于x的不等式mf(x)≤e+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足     

人教B版高中数学教材中六个值得商榷的问题

1．必修1．[1]第94页第6题：“用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的3／4,写出存留污垢Y与漂洗次数x的函数关系式,若要使存留的污垢不超过原有的1％,则至少要漂洗几次？”笔者的观点是：解答此题需要取对数,而学生此时还未学对数,应将其放入《指数函数与对数函数的关系》的课后习题中或放入章末巩固与提高中．     

两道课本习题的拓展与应用

高中数学人教版选修2-2"导数及其应用"第32页有这样两道习题: 利用函数的单调性,证明不等式: (3)ex>1+x(x≠0); (4)lnx0). 对于这两个不等式,文[1]已经对它作了研究,本文对这两个不等式做一下拓展并运用它来解答几道高考导数题.     

教学难点的阶梯式处理

一、问题的提出 先来看一个例子:已知函数f(2x 1)=x2-2x,求:函数y=f(x)的表达式.象这类"已知复合函数f[g(x)]和g(x)的表达式,求f(x)"的习题,在高中数学教学中是十分常见的.这类题的一般处理方法是:令t=2x-1,则x=t-1/2,代入原式即得f(x)的表达式.这种解法对于初学者来说是难以理解的,学生会问"t=2x-1这一代换是如何想到的?"他们并不满足于"这是固定的解题方法,是人们通过成百次的尝试而找到的"这样的回答,学生需要的是一个能让他们容易理解的说明.     

一道教材课后习题的推广与应用

<正>1课本习题2019年人教A版《数学必修第一册》第87页第13题如下：我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数．     

取整函数考点面面观

<正>一、源于教材的重要函数在新课标人教A版必修1第25页习题1.2有如下习题:函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈[-2,4)时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数图象.本题中的函数f(x)=[x]即为取整函数,又叫高斯函数.在近几年的高考题和模拟题中经常出现以取整     

对两道课本习题的探究性设计

题1(课本96页第4题)△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在的斜率之积等于-49,求顶点C的轨迹方程.(答案:x236+y216=1(x≠±6))题2(课本108页第1题)△ABC边的两端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是49,求顶点A的轨迹方程.(答案:y236-x281=1(x≠0))以上两道题看似简单,但却蕴藏着一定的联系与规律,引导学生对它们进行深入探索,必能有所发现、有所收获,从而能极大地调动学生的积极性,提高学生的探究能力和创新意识.1对习题的探究提出问题上面两道习题的结论是否具有一般性?什么情况下轨迹为椭圆?什么…     

关于新教材一个习题的思考

人民教育出版社编著的<全日制普通高级中学教科书(试验修订)*数学(第一册上)>第89页习题2.8第4题已知:f(x)=lg(1-x)/(1+x),a,b∈(-1,1),求证:f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab)).教学之余,留有如下思考,愿与同仁共同探究.     

一道课本习题的研究性教学偶得

高中数学教材(试验修订本.必修)第119页有 这样一道习题: 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和 此抛物线相交,两个交点的坐标为(x1,y1)和 (x2,y2),求证:x1x2=p2/4,y1y2=-p2. 这道题的结论也被称为抛物线焦点弦的性质. 然而如果在教学中仅把此题作为一道习题来处理或 作为一个性质去介绍就未免有点"入宝山而空返" 了.在实践中由于笔者陈题新讲、大胆放手、适时点 化,收到了意想不到的效果.     

一道习题结论在高考中的应用

人教版数学选修2—2第一章导数应用第32页习题1．3B组第1（3）题：     

谈2007年浙江省高考数学卷理科第22题对函数的考查要求

浙江省高考数学卷理科第22题是一个考查函数内容的试题,它对函数的符号阅读、函数主元的选择和函数思想的运用等提出了比较全面的要求.题目设 f(x)=(x~3)/3,对任意实数 t,记 g_t(x)=t~(2/3)x-2/3t.(1)求函数 y=f(x)-g_8(x)的单调区间;(2)求证:①当 x>0时,f(x)≥g_t(x)对任意正实数 t 成立;②有且仅有1个正实数 x_0,使得 g_8(x_0)≥g_t(x_0)对于任意正实数 t 成立.1 对函数符号语言的阅读转化要求本试题中的函数、不等式都以符号语言呈现,首先对函数的符号语言提出了一定的阅读理解和转化要求,其中 g_t(x)=t~(2/3)x-2/3t 既是关于 x 的函数,又是关于 t 的函数,而 g_8(x_0)是 g_t(x_0)中当 t=8时所对应的函数,即 g_8(x)=4x-16/3.因此,第(1)小题中     

合二为一,化难为易 对孪生高考试题解题方法的总结

正解答数学问题是有规律可循的,在解题时,要注意总结解题方法和规律.在解决每一道习题后,要注重总结与反思,提炼出一些解题方法和规律,从而提升解题能力.下面笔者以一对孪生高考试题为例,谈谈笔者对解题方法和规律的认识.(2013年陕西高考数学第21题)已知函数f(x)=ex,x∈R.()+()()-()     

幂指函数求导的一种新方法——指数微分法

统编高中数学课本第四册上有许多属于幂指函数的求导问题。例如96页的例3,97页的例4及练习第3题,100页的第9(2)-(5)题,111页的8(6)(8)等题均属这一类型。所谓幂指函数,是指形如f(x)~(φ(x))的函数。求这类函数的导数,一般资料上都是用对数微分法,即令y=f(x)~ (φ(x))两边同取对数,得ln y=φ(x)ln f(x)两边同对x取导数,得     

再谈编拟习题时应注意问题的存在性

<正>拙文[1]通过9道例题阐述了"编拟习题时应注意问题的存在性"的观点,本文再通过7道例题进一步阐述这一观点.例1 (《中学数学杂志》2018年第11期第37页变题3)若函数f(x)=ln((x²)(1/2)-x)+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=