赏析数学美

众所周知,数学在我们的基础教育中占有很大的分量,它不但有智育的功能,也有其美育的功能。 1.简洁美。爱因斯坦说:“美,本质上终究是简单性。”他还认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这个美学论断,在数学界也被多数人所认同。朴素、简单,是其外在形式,只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美。 欧拉给出的公式:V-E+F=2,堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少没有人能说清楚,但它的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式。一个如此简单的公式,概括了无数种多面体的共同特性,令人惊叹不已。由它还可派生出许多同样美妙的东西,如:平面图的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2,这个公式成了近代数学的两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。 2.和谐美。数论大师赛尔伯格曾经说,他喜欢数学的一个动机是以下的公式:π/4=1-1/3+1/5-……这个公式实在美级了,奇数1、3、5……这样的组合可以给出π,对于一个数学家来说,此公式正如一幅美丽图画或风景。 欧拉公式:e~(iπ)=-1,曾获得“最美的数学定理”称号。欧     

对一个富有启发思维的求和公式的探究

高中新课程教科书数学选修2-2中有这样一个求和公式:12+22+32+42+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1). 显然它是高中数学非常重要的一个公式,课本中只用数学归纳法对它进行了证明,而对这个公式的形式来源未归纳推导,至于应用更是未曾提及,因此绝大多数学生对该公式记忆不深.笔者在教学中进行了如下的拓展,教学效果较好.     

因式分解中的数学思想

数学思想是数学解题的灵魂.在因式分解过程中蕴含着许多数学思想,如果能灵活地运用这些数学思想,往往能更好地解决因式分解问题.一、整体思想用整体思想分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.例1把多项式(x2-1)2+6(1-x2)+9分解因式.分析:把(x2-1)看成一个整体,利用完全平方公式进行分解,最后再利用平方差公式分解.解:(x2-1)2+6(1-x2)+9=(x2-1)2-6(x2-1)+9=[(x2-1)-3]2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.例2把多项式(a+b)2-4(a+b-1)分解因式.分析:此多项式既无公因式可提,又无公式可套用,似乎无从入手.若视a+b为一个整体,局部…     

浅谈数学整体思想的应用

数学思想是数学中处理问题的基本观点,是对数学基础知识和基本方法本质的概括.整体思想恰是数学思想的一种重要思想,是数学解决问题的重要策略,为此,本文以初中阶段的部分数学典型习题为例,从十个方面浅谈一下整体思想的应用.1在有理数运算中的应用我们知道,对算式中的数,若是分数凑成整数,若是整数凑成零,或是整十、整百等,然后再进行运算,这样既能提高速度又能提高正确率,方便快捷.例1计算:1.6-12.8+2.5+5.9-8.6+25.8-7.9-2.5.解原式=(1.6-8.6)+(25.8-12.8)+(5.9-7.9)+(2.5-2.5)=-7+13-2+0=4.2在乘法公式中的应用运用好乘法公式可以迅速简…     

关于Fibonacci数列的求和公式

13世纪初,意大利数学家Fibonacci在一本题为《算盘书》的数学著作中,给出了著名的Fibonacci数列.它的许多有趣性质,引起了许多人的兴趣,不仅是因为它在数论、几何、概率、数据处理、信息检索等数学中有很多应用,而且在自然界和生活中也常见到它的影子.因此有人说:Fibonacci以他的兔子问题猜中了大自然的奥秘,而他的种种应用正是这个奥秘的不同体现.[1]本文将给出关于Fibonacci数列的若干求和公式.设{Fn}是适合条件F0=1,F1=1,Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N)的Fibonacci序列,则有公式1　∑nk=0Fk=Fn+2-1.证明:由Fn的递归关系式得到F0=F2-F1,F1=F3…     

高阶等差数列的简易求和法

在中学阶段可用数学归纳法证明下列公式:1+2+3+…十?毛=儿(儿+1) 2(1)12一卜22+32+…+几, =音儿(。+‘)‘2、+‘,·‘2, ‘·+2吕+3a+…+?!:一专,!·(,!+,):(3) 然而这些公式是如何求得的呢?(1)是等差数列的和,(2)、(3)是高阶等差数列的和.关于高阶等差数列的求和问题,在中学教材中未作专门介绍.本文将给出求各种高阶等差数列前二项和的一种简易方法. 一、从一个组合公式谈起 利用组合数的性质,不难证明一个组合公式: 嘿十嘿、1+鳃*2十…十C器卜,二鳃段(4)公式(4)可缩写成: 必+,,峨+:,C聋*。,…,C史+:_,(6)由归纳假设知,(6)为k阶等差数列,…     

求和公式在图形问题中的应用

<正>数的计算中有这样一个公式:1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2.这是一个求和公式,这个公式具有很强的概括性和实用性,将这个公式稍加变形将会有更好的应用.如:(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=n(n-1)/2.下面     

应用乘法公式解竞赛题

某些初中数学竞赛题,与教材的联系十分紧密.如果注意应用归纳、类比的方法,挖掘试题的内涵,对于拓宽我们的视野,是有一定帮助的.下面我们应用乘法公式来解决竞赛试题,从中可以领悟到数学公式应用的广泛性.例1计算200120002200119992+200120012-2的结果为.(江苏省2002年初中数学竞赛试题)分析:直接计算是很困难的.考虑把分母中的2拆成两个1,利用平方差公式来处理.解:原式=200120002(200119992-1)+(200120012-1)=200120002(20011999+1)(20011999-1)+(20012001+1)(20012001-1)=20012000220012000×(20011999-1+20012001+1)=12.例2设a、b、c、d…     

赏心悦目的美妙算式

数学中,有许多美妙的式子令人陶醉,如:①②丫2+丫2+、仃干下一:.万二1+一一-退-一一 2十一一2一一- 2十一工~ 乙.十,·平一1一李+粤一粤+奥一、、、.任J 0 1 11 据著名美籍数学家、沃尔夫奖(数学上的最高奖之一)获得者赛、尔伯格(A段lberg,1 917一)回忆,他大约在13岁时见到了③式,,觉得它实在美极了,惊奇之际,便对数学心驰神往,决心想知道这个’公式是怎样来的.事实上,在学习高等数学之后,便可以证明③式二 现在我们简略地证明①式(不是非常严格):设,丫2十v俪万舜于一x,则侧厄干万一二,2+二一尹,尹一二一“一‘0,(x一2)(x+1)一0,因x>0,故x…     

用sum from k=0 to ∞ (a_1q~k)=a_1/(1-q)(|q|<1)解一类竞赛题用

我们知道,无穷递缩等比数列{a_1q~(n-1)}的各项和公式为∑∞k=0a1qk=1a-1q(|q|<1).对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成1-a1q(|q|<1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式1n∑ni=1ai≤m1n∑ni=1aim或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明.例1设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1.求证:11-x2+1-1y2≥1-2xy.(第19届莫斯科数学奥林匹克)分析:由x2<1,y2<1,知1-1x2和1-1y2能展成无穷递缩等比数列各项和的形式.证明:因|x|<1,|y|<1,所以,x2<1,y2<1.于是,有11-x2=1+x2+x4+…,11-y2=1+y2+y4+….从而,1-1x2+1-1y2=(1+x2+x4+…)+(1+y2…     

巧用乘法公式解计算题

乘法公式是初一代数中的重要内容之一 ,应用十分广泛 .现向大家介绍如何应用这些公式的一些常用的技巧和方法 .一、套用分清题目中那些数或式可以看作公式中的字母 ,对号入座 ,套用公式 .例 1　计算 :( 5x2 + 3 y2 ) ( 5x2 -3 y2 ) .分析　将 5x2 与 3 y2 分别看作为平方差公式中的a、b,直接套用平方差公式 .解　原式 =( 5x2 ) 2 -( 3 y2 ) 2=2 5x4-9y4.二、选用有的题目能用几个公式计算 ,这就需要仔细观察 ,全盘考虑 ,合理选用公式 ,才能使运算简便 .例 2　计算 :(x-1 ) (x+ 1 ) (x2 -x+ 1 ) (x2 +x+ 1 ) .分析　若先用平方差公式计算 ,则…     

纠正教材中的一个错误——兼谈复数集中一元n次方程的韦达定理及应用

人民教育出版社中学数学室编著的全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 )《数学》第三册 (选修Ⅱ )的第 2 2 7页介绍了复数集中一元n次方程的根与系数的关系 :如果方程 :anxn +an-1 n-1 +… +a1 x +a0 =0　在复数集中的根为x1 ,x2 ,… ,xn.那么x1 +x2 +… +xn =- an-1 an,x1 x2 +x2 x3 +… +xn-1 xn =an-2an,x1 x2 x3 +x2 x3 x4+… +xn-2 xn-1 xn =- an-3 an,……x1 x2 …xn =( - 1) n a0an.这个定理是一元二次方程根与系数关系的推广 .显然 ,这个定理是错误的 ,错误之处在于对公式的理解和表达 ,我们不难举出如下反例说明其是错误的 :对于…     

两个重组公式的妙用

完全平方公式 (ａ±ｂ) 2 =ａ2 ± 2ａｂ +ｂ2 中含有两个等式 ,若用“加减法”对它们重新组合 ,则容易得出以下两个重组公式 :ａ2 +ｂ2 =12 (ａ +ｂ) 2 +12 (ａ -ｂ) 2 ,①ａｂ =14 (ａ +ｂ) 2 - 14 (ａ -ｂ) 2 .②如能灵活运用上述重组公式 ,则可较为简捷地解决一类竞赛题 .1　解含有Ａ2 +Ｂ2 和Ａ +Ｂ的竞赛题例 1　 (天津市“中华少年杯”初中数学竞赛题 )已知 :△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足 (1)ａ >ｂ >ｃ ,(2 ) 2ｂ=ａ +ｃ ,(3)ｂ是正整数 ,(4)ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =84 .求ｂ的值 .解　对 (4)运用重组公式① ,得12 (ａ+ｃ) 2 +12 (ａ-ｃ) 2…     

一道全国数学竞赛题引出的两个公式

2005年全国初二数学竞赛中有一个问题,从这个问题的解法中不难推出两个公式,下面给出推出的过程:问题已知(2x-3)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0.求代数式a1+a2+…+a7的值.解显然x=0时,有(-3)7=a0.(1)当x=1时,(-1)7=a7+a6+…+a1+a0.(2)(2)-(1)得:a1+a2+…+a7=(-1)7-(-3)7=2186.推广一下,我们不难求得:当x=-1时,(-5)7=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0.(3)(3)-(1)得:-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(-5)7-(-3)7=-75938.把指数推广到n,当(2x-3)n=a0+a1x+…+anxn时,则不难得出(-3)n=a0,(4)(-1)n=a0+a1+…+an,(5)(5)-(4)得:a1+a2+…+an=(-1)n-(-3)n,(-5)n=a0-a1+a2-…+(-…     

乘法公式的巧用

乘乘法公式是由形式特殊的多项式相乘总结出来的规律,共有两种:1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式(1)完全平方(和)公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)完全平方(差)公式(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行计算可大大提高运算速度,它的应用非常广泛.下面举例说明乘法公式的巧妙运用.一、巧换位置例1计算(-3t+4)2.解:原式=(4-3t)2=16-24t+9t2.二、巧变符号例2计算(-2a-3)2.解:原式=[-(2a+3)]2=(2a+3)2=4a2+12a+9.三、巧变系数例3计算(2x+6y)(4x+12y).解:原式=2(x+3y).4(x+3y)=8(x+3y)2=8(x2+6xy+9y2)=8x2+48xy+72y2.四、巧变指数例4计算(a+1)…     

因式分解中的变换技巧

因式分解的方法很多 ,灵活性大 ,因此 ,同学们在牢固掌握课本上所介绍的 4种基本方法的基础上 ,还需掌握如下的一些技巧 .1　拆项、添项例 1　分解因式x2 y2 -x2 -y2 -4xy +1.分析 :本题难于直接应用 4种基本方法进行分解 .然而 ,经观察不难发现 ,只要将 -4xy拆成 ( -2xy -2xy) ,分组后 ,便可利用公式法分解 .解 :原式 =(x2 y2 -2xy +1) -(x2 +y2 +2xy)=(xy -1) 2 -(x +y) 2=(xy +x +y -1) (xy -x -y -1) .例 2　分解因式x4+4 .分析 :只须添上 4x2 和 -4x2 ,即可利用公式 .解 :x4+4 =x4+4x2 +4 -4x2=(x2 +2 ) 2 -( 2x) 2=(x2 +2x +2 ) (x2 -…     

运算技巧例谈

想学好数学,首先要会算,而且要算得好,既正确,又迅速灵活,这就要求我们除了要熟练掌握加、减、乘、除的基本运算,善于运用运算定律与性质(包括正用、逆用、连用等),还要掌握一些运算技巧。一、分组法例1.计算:2004+2003-2002-2001+2000+1999-1998-1997+…+4+3-2-1     

自然数k次方的求和

自然数的求和以及自然数平方的求和 ,在普通高中教材中均有详细的证明过程 ,并给出了相应的求和公式 ,而自然数的更高次方的求和 ,在一些专业性较强的文献资料中也给出了一些求和公式 .但自然数k(k为自然数 )次方的求和 ,是否能用一个统一的公式来表示呢 ?笔者经过长时间的探索 ,得出的结论是 :自然数k次方的求和公式能够用一个统一的求和公式来表示 ,用这个公式可以求出自然数k次方的前N项和 .下面先给出求和公式 ,然后加以证明 .Sk=1k + 1 [( 1 +n) k+1-(n + 1 ) -(C2 k+1Sk- 1+C3k+1·Sk- 2 +C4 k+1Sk- 3+… +Ck- 2k+1S3+Ck - 1к+1…     

数学竞赛训练题

~~《数学竞赛训练题》参考答案1D.221.37.4C.598.6239.7a与e,b与d,c与f是对面.8当0相似文献   

巧用“积化和差”公式

<正> 在初一数学中,大家学习了下面的两个完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.两式相减得如下的“积化和差”平方差公式: 定理1 4ab=(a+b)2-(a-b)2. (1) 由于(a-b)2≥0,故由(1)式又得下面的积化和的完全平方不