巧用对称变换方法解题

对称问题是中学数学中常见的一类问题,它涉及函数、不等式、数列、排列组合、解析几何、立体几何等诸多内容.对称变换思想也是一种常用的数学思想方法,是近几年高考考查的热点问题之一.一、函数中的对称问题根据函数的奇偶性、周期性、光的反射定律、互为反函数图象的性质等所具有的对称性,解答高考试题.例1将y=2x的图象(),再作关于直线y=x对称的图象,可以得到y=log2(x+1)的图象.     

二元函数的条件最值问题的解几计算法

最值问题是中学数学教材中的主要内容之一.多元函数的条件最值问题可以通过约束条件使其变成一元函数的最值问题求解.本文拟给出某些二元函数条件最值问题的两种简捷、明晰的解几计算方法.例1若x²+y²=k（k>0）,求x+y的最大、最小值.分析:题目的几何意义十分明显,x²+y²=k表示圆心在原点,半径为k^1/2的圆.若令x+y=m,即y=-x+m（m为参数）,它表示斜率为-1的直线族.求x+y的最值,即求直线和y轴交点的最高,最低位置,但因受条件的约束,该直线不能离开圆,故必切于此圆（图1）.于是得解法如下.     

反函数问题求解的步骤与方法

反函数是高一数学的重点知识,也是高考常考内容之一.综观高考试题,主要从五个方面考查:给出函数y=f(x)的解析式,求出它的反函数y=f-1(x);利用“函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称”解决有关问题;求反函数的定义域或反函数的某一值.下面结合具体例子加以说明.     

从高考命题谈二次函数条件最值的教学

对于二次函数,若将自变量范围缩小到某一特定的区间或附加其它限制条件(如取自然数等),研究相应条件下的最值,则成为中学数学中一种典型的最值问题——二次函数条件最值问题。在恢复高考以来历年的高考试题中,直接考查二次函数条件最值的试题有之;利用化归思想间接考查二次函数条件最值的试题更为多见.它已成为高考命题中的“热点”之一。一、考情分析现将78年～92年文、理科高考试题中有关二次函数最值试题的分布列表如下; 从表中可以看出,对二次函数最值问题的考查呈现三个“高峰期”:一是78～79年;二是82～85年;三是89～92年。具体分析研究表中所列各相关试题,可以将它们归纳为以下三类: 第一类是关于实数集R上的二次函数最值.如题1(79年文1) 求函数y=2x~2-2x 1的极小值。题2 (78年理七(1)) 已知函数y=x~2 (2m 1)x m~2-1(m为实数),m是什么数值时,y的极值是0?     

一道二元函数最值问题的多种解法

<正>二元函数最值问题是高中数学的一大难点,近年来高考试题中也屡有考查.本文试从不同的角度去思考一道二元函数的最值问题,呈现如下,以期与广大读者交流.题目已知x,y>0,且x+3y+3xy=8,求x+3y的最小值.解法1不等式法由一次式x+3y与二次式3xy,联想基本     

求函数值域的常用策略

求函数值域问题是高中数学的重点和难点,也是高考的热点.本文对求函数值域常用方法作些归纳,供同学们参考.一、分离常数法例1求函数y=x2-xx2-x+2的值域.解:y=x2x-2-x+x2=1-x2-2x+2,而x2-x+2=x-212+74≥47,所以0相似文献   

函数最值问题例析

函数作为高中数学的主干知识,在历年高考中始终是“重点内容重点考查”.而函数最值问题作为函数知识考查的热点,在近年高考试题中屡见不鲜.现就实例进行剖析,展现函数最值问题求解的几种常用方法.例1求函数y=sinx cosx sinx·cosx在x∈[0,π2]上的最大值、最小值,并求出相应的x取值.分析在函数解析式中同时出现了正弦、余弦两个基本函数,分别以和、积形式出现.如何将两个不同变化规律函数统一呢?正弦、余弦函数和与积之间的特殊关系为我们提供了思路,即2sinx·cosx=(sinx cosx)2-1,采用换元法.令t=sinx cosx,则t=姨2sin(x π4),又x∈[0,π2]…     

关于条件极值求解的一些注记

中学数学中二元函数x=F(x,y)在G(x,y)=0约束条件下最值问题的求解方法,部编高中课本和常见的高考复习用书都很少提到.但在国家高考试题的解答中却屡有应用,如90年全国统考试题理科第10题、第25题(分别是文科的第20题和第26题)都是典型的二元函数的条件最值问题.求解这类问题不少高中学生感到无章法可循,解决它比较困难,本文试图就这类问题的解题思路和方法作一探讨,供老师和学生参考. 求解二元函数条件最值的基本思想是通过约束条件转化为求一元函数的最值问题. 下面通过对一些例题的分析和解答来说清楚这个问题. 例1 设x、y为实数,且满足条件y~2-4x=0,求函数F(x,y)=x~2+y~2-8x+16的最小值.     

多元函数最值问题的处理策略

<正>最值问题是高中数学的重点内容,也是高考考查的重点内容.近年来江苏高考试题中多次出现多元函数最值问题,这些问题字母多、式子繁、难度大、综合性强,很多学生感到无从下手.其实只要把握整体思维思想,利用消元降次,数形结合等解题方法,许多问题往往迎刃而解.1多元函数的定义及有关概念定义1平面点集:建立了坐标系的平面称为坐标面.二元有序实数组(x,y)的全体,即R2=R×R=     

浅谈函数的值域的几种求法

<正>函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一,也是考试的热点和难点之一.函数值域的求法有很多种,但是对于这种带有根号的函数的值域问题,对学生来说是难题,所以我们剥茧抽丝地把这类函数的值域的求法一一解出来,供大家参考.例1求函数y=-x2槡+x+2的值域.解析:因为-x2+x+2≥0,可得函数的定义域为-1,2][,又因为-x2+x+2=-x-12()2+94,利用二次     

简单线性规划的应用浅议

“简单线性规划”是高中数学新增内容,在高考中占有较重要的地位,考察线性规划的直接应用或间接应用,从近几年高考命题的情况分析,在高考复习中,有必要在教材内容的基础上,作出适当引申.其一是约束条件不限于一次不等式,可以是二元二次不等式或其它形式;其二是利用目标函数的几何意义解题,而且目标函数可以是非线性的.1联系直线在y轴或x轴上的截距解题例1已知实数x,y满足2│x-1│-y=0,求z=x+2y的最小值.解它的可行域的边界为一折线y=2│x-1│,目标函数z=x+2y的值就是直线x=-2y+z在x轴上的截距的值;令x+2y=0,它表示的直线为l,平移直线l到l′使l′过点M(1,0),此时,目标函数z取得最小值,zmin=1.例2已知实数x,y满足x2+y2=2x-2y+1≤0,求z=x-y-1的最大值和最小值.解它的可行域的边界是一个圆(x+1)2+(y-1)2≤1,(是非线性的可行域)目标函数z的值就是当直线y=x-z-1与可行域有公共点时,在y轴上截距的相反数再减1,因而截距最小时,z最大;截距最大时,z最小.图1令x-y=0,表示直线l:y=x.平移直线l到l′和l″,使l′和l″与圆(x+1)2+(y...     

巧求分式型目标函数最值

<正>函数最值问题是历年高考的必考内容.其中有一些基础题,也有一些小综合的中档题,更有一些难题,特别是最近几年函数最值问题从目标函数的形式上看变化越来越多,从二次函数最值到无理函数最值,而其中分式型目标函数学生在解题过程中相对来说比较困难.下面,我们举例说明如何求解分式型目标函数的最值.一、条件、结论巧分析例1设x2+y2=4,则2xy x+y-2的最小值为.分析本题中目标函数为2xy x+y-2.从形式上看,含有两个变量x,y,并且为分式形     

最值问题类型及破解方法

最值问题是高中数学的重点内容,也是历年高考的热点之一,主要涉及函数、三角、线性规划、立体几何等知识. 一、利用导数、函数的单调性破解函数中的最值 例1 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值.     

初中最值问题的常用解法

最值问题是一个古老而又崭新的课题,它渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见的方法.1　配方法将代数式配成平方和的形式,利用平方是非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同时取得最值.例1　求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为主元来进行配方.解:原式=5x2+6xy+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5[x2+6y-305x+(3y-155)2]-(3y-155)2+3y2-…     

解二次函数题常见错误分类剖析

二次函数是中学代数的重点内容 ,各地的中考数学题常以它为核心进行考查 .但是 ,学生在解题时 ,经常会出现因概念不清、忽视条件等原因而错解题目 ,下面就一些常见错误分类剖析 ,以引起大家的注意 .一、概念不清 ,导致错误例 1　函数 y =1+ | x - x2 |的图象大致形状是如图 1中 (　　 )错解 :∵ | x - x2 | =± ( x - x2 )∴原函数可化为 y =1+ x - x2或 y =1- x +x2 ,故选 ( B) .辨析 :错解的原因是函数概念不清造成的 .由函数的定义知 ,x任取一个实数 ,y都有唯一的值与它对应 ,显然 ,B不满足条件 .正解 :当 x - x2 ≥ 0 ,即 0≤ x≤ 1时 …     

三角函数最值的归类求解策略

<正>三角函数是中学数学教材中一种重要函数,是教学的重点内容,是高考中对将基础知识和基本技能的考查的重要内容之一,而三角函数的最值问题是历年高考的重点.因此,理解和掌握求解三角函数最值问题的方法是十分必要的.求三角函数最值(或值域)问题只要注意所给函数式的特征,就可以确定三角变换目标和解题方向;只要合理变换转化为常见类型,就能找到解决问题的途径.一、化为最基本的初等三角函数型例1:求下列函数的最值:     

一个函数问题的多种解法

函数是中学数学的重要内容,函数的思想方法贯穿中学数学的始终.因此历年的高考试题,都贯穿着函数及其性质这条主线,是高考命题的一大热点.函数与方程密切相关,方程f(x)=0,就是函数y=f(x)的零点.方程f(x)=g(x)的解就是函数y=f(x)与y=g(x)的交点.问题 (2009年南京高考模拟题)     

例析圆中的最值问题

有关圆的最值问题,往往知识面广、综合性大、应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质.下面结合例题归纳剖析: 一、到圆心的距离的最值问题 例1 已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是().     

高考对导数问题考查的五大热点

导数进入中学数学教材之后 ,给传统的中学数学内容注入了生机与活力 ,为中学数学问题 (如函数问题、不等式问题、解析几何问题等 )的研究提供了新的视角、新的方法 ,拓宽了高考的命题空间 .近几年的高考 ,在逐年加大对导数问题的考查力度 ,不仅题型在不断变化 ,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大 .下面笔者将结合某些高考题或高考模拟题和自己的教学实践 ,谈谈高考对导数问题考查的五大热点 ,供大家复习时参考 .1　利用导数的几何意义处理曲线的公切线问题例 1　 ( 2 0 0 3年全国高考新课程卷文科试题 )已知抛物线C1 :y=x2 2x和抛物…     

一类导数题型解法初探——一道高考题的多种证法及推广

<正>以下是2011年辽宁的一道高考题.已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.(1)(2)略;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f'(x0)<0.本题考察了形如f(x)=plnx+mx2+nx+c(p,m,n,c∈R)的导数题型.对导数问题,高考重点考查两方面内容:(1)函数的单调