怎样运用三角代换解题

1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值.     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

错在哪里

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.     

注意隐晦条件

因忽略题中的隐晦条件而造成解题失误,是许多同学解题时易犯的一种错误。例 已知实数x,y满足等式x~2 4y~2-4x=0,求x~2-y~2的最大值和最小值。 有的同学求解如下: 解:∵ x~2 4y~2-4x=0, ∴ y~2=x-1/4x~2。 (1) ∴ x~2-y~2=x~2-(x-1/4x~2) =5/4x~2-x=5/4(x-2/5)~2-1/5 (2) 由(2)式可知,x~2-y~2没有最大值;当x=2/5时,x~2-y~2有最小值,其最小值为-1/5。     

挖掘几何背景巧解题

题 若实数x,y满足x~2 y~2-2x 4y=0,则x-2y的最大值是()(A)5~(1/2)(B)9(C)5 25~(1/2) (D)10分析 方程x~2 y~2-2x 4y=0,即(x-1)~2 (y 2)~2=5,所表示的曲线是一个圆,圆心为P(1,-2),半径为5~(1/2)(如图1),这个圆的一个特点是通     

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下最小值的方法及其推广

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下的最小值,通常有如下几种解法: 解法一 应用一元函数的配方法 由条件x十y=1,得y=1—x,将其代入f(x,y)=x~2 y~2,得到一元函数 f(x)=x~2 (1—x)~2=2x~2-2x 1=2(x-1/2)~2 1/2(1)因为(x-1/2)~2≥0,故由(1)式知,当x=1/2时,函数f(x)取最小值。将x=1/2代入y-1—x,得y=1/2。因此,当x=1/2,y=1/2时,函数f(x,y)-x~2 y~2在条件x y=1下取最小值(1/2)~2     

一类取值问题的转化

有条件限制的双变元取值问题,涉及领域宽,知识面广,需要善于转化,可以通过消元转化为函数求值域问题,但是当题目具有一定特殊形式对,也可通过另外两种常用方法转化.一、消元变函数例1 已知3x~2+2y~2=6x,求 u=x~2+y~2的取值范围.分析:为了求出 u 的范围,需将变量 x,y 用一个变量 x 表示出 u,此时要注意 x 的范围.解:由3x~2+2y~2=6x,得y~2=(1/2)(6x-3x~2)∵y~2≥0,∴x∈[0,2]u=x~2+y~2=x~2+(1/2)(6x-3x~2)=-(1/2)(x-3)~2+(9/2)结合二次函数的图象可知,u∈[0,4]     

多元函数最值问题的求法

多元函数最值问题不仅蕴含了丰富的数学思想和方法,而且有利于培养学生联想、化归的解题能力,下面通过例题介绍几种求这类最值问题的方法。一、配方法例1:求函数 f(x,y)=x~2-2xy 6y~2-14x-6y 72的最小值。解:f(x,y)=x~2-2xy 6y~2-14x-6y 72=(x-y-7)~2 5(y-2)~2 3≥3因此当 x-y-7-y-2=0即x=9,y=2时,f(x,y)的最小值为3     

二次曲线切线问题的一种简便解法

我们知道,与椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1相切于(X_0y_0)点的切线方程是x_0x/a~2+y_0y/b~2=1 ①我们把直线y=kx+(m≠O) ②变形为 -ka~2x/m/a~2+b~2/m~y/b~2=1 ③如果直线②与椭圆也相切于(x_0,y_0)点,则①和③表示同一条直线,所以有 x_0=-ka~2/m,y_0=b~2/m (Ⅰ) 用同样的方法,可类似地求出圆x~2+y~2=r~2双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和抛物线y~2=2px与     

离心率对圆锥曲线间的影响

笔者根据多年的教学经验,发现离心率对圆锥曲线形状的影响较大,讨论这个问题时,我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来．1．椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆(x~2/a~2)+(y~2/b~2)=1(a＞b＞0)按向量(a,0)平移得到((x-a)~2/a~2)+(y~2/b~2)=1,即y~2=(2b~2/a)x-(b~2/a~2)x~2.     

北师大版八年级(下) 第2章 分解因式

一、精心选一选(每小题3分,共24分)1.下列变形,属于因式分解的是( ).A.2xy(x+3x~2y)=2x~2y+6x~3y~2B.(x-4)~2=x~2-8x-16C.5a~2-10a=5a(a-2)D.ax~2+bx+c=x(ax+b)+c2.把多项式-5ab+10abx-25aby 因式分解的结果是( ).A.-ab(5+10x-25y) B.-5ab(1-2x+5y)C.-5ab(2x-5y) D.-5ab(1-2x-5y)3.多项式-4xy~2+12x~2y~2-16x~3y~2z 的公因式是( ).     

关于一类三角形的面积及其性质

讨论下述课题;中心在原点,焦点在X轴上的椭圆方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1设点p(x,y)是椭圆上的一点;且随圆(1)的顶点排除在外,很显然,任意选择椭圆中的两个顶点,并与点p(x,y)连结,都能构成三角形,指出这些三角形面积的性质.同样的,对于共轭双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1,-x~2/a~2+y~2/b~2=1也有相应结果.     

巧设“增量元”解弦中点问题

对平面上点A、B,若线段AB之中点P的坐标是P(x,y),从而可设A、B坐标分别为(x-Δx,y-Δy)及(x Δx,y Δy),其中的Δx,Δy∈R。这种设元方式我们不妨称之“增量设元”,为此显然有两个重要的结论:(1)当Δx≠0时,Δx/Δy表示A、B所在直线的斜率。(2)|AB|=2(Δ~2x Δy~(2±1))~(1/2)。本文通过数例浅谈这种手段在解几中的巧妙运用。一、解圆锥曲线上有关中点弦问题例1 已知椭圆x~2/16 y~2/4=1和定点     

椭圆与“渐近线”的密切关系

<正>众所周知,椭圆与双曲线的第一定义与第二定义相似,性质也有很多类似的,然而双曲线却独有渐近线,而椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的渐近线y=±b/ax又有什么紧密的关系呢?本文就以焦点在x轴上的椭圆C:x~2/a~2+y~2/b~2=     

一个不等式的推广

文[1]证明了一个不等武:0≤x,y,x_1,y_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,则L_2=(x~2 y~2)~(1/2) (x~2_1 y~2)~(1/2) (x~2 y~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2_1)~(1/2)≤2 2~(1/2),并根据L_2的几何意义提出了猜想.设0≤z,y,z,x_1,y_1,z_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,z z_1=1,则L_3=(x~2 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2_1)~(1/2)     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

高等数学(下)的复习要点与练习 (2)

二、单项选择题1、直线3x-5z=5 y=0 与平面 3x 7y-5z=8是( ).A.平行但不重合 B.重合C.重直 D.斜交2、曲面是旋转抛物面的是( ).A.X~2 2y~2一3z~2=9 B.X~2 y~2=4zC.x~2/9 y~2/16-z~2/9=-1 D.x~2=2z 3、在空间直角坐标系下,方程2x-3y=0的图形是( )     

直线和椭圆相切的充要条件

我们熟知,直线f(x,y)=0和椭圆F(x,y)=0如果相切,在解方程组{f(x,y)=0 F(x,y)=0过程中得出的一元二次方程的判别式等于零。这就是直线f(x,y)=0和椭圆F(x,y)=0相切的充要条件。我们发现,如果直线方程形式为Ax By=1,椭圆方程形式为x~2/a~2 y~2/b~2=1,那么,直线和椭圆相切的充要条件就是a~2A~2 b~2B~2=1。用这个式子解题往往很方便。下面给出这个式子的证明和应用举例。     

函数值域、范围问题常见错解剖析

一、忽视定义域致错例1求函数y=x-(1-2x)~(1/2)的值域.错解由y=x-(1-2x)~(1/2)得X~2 (1-y)x y~2-1=0.因为关于x的二次方程恒有实根,所以有△=[2(1-y)]-4 (y~2-1)≥0,解得y≤1.故函数的值域为(-∞,1).剖析△=[2(1-y)]~2-4(y~2-1)≥0只能保证方程x~2 2(1-y)x y~2-1=0在整个R上有实根,而不能保证在(-∞,1/2](函数的定义域)上也有实根.     

巧用方差(初三)

方差用于衡量一个样本数据波动的大小,计公式为:S~2=1/n[(x_1-(?))~2 (x_2-(?))~2 … (x_n-(?))~2]=1/n[x_1~2 x_2~2 … x_n~2-1/n(x_1 x_2 … x_n)~2]。显然S~2≥0,仅当S~2=0时,x_1=x_2=…=x_n。例1已知实数x,y满足求xy的最大值。解视x,y为一组数据,其方差为S~2=1/2[x~2 y~2-1/2(x y)~2]=-1/4a~2 1/2a 3/4≥0。即(a 1)(a-3)≤0,所以或解得-1≤a≤3.所以xy=(x y)~2-(x~2 y~2)/2=5/2(a-2/5)~2-9/10。当a=3时,xy有最大值,为16。例2已知a,b,c三数满足方程组