三棱锥顶点的射影与三角形的“五心”

本文仅讨论特殊的三棱锥(即四面体)顶点的射影位置与底面三角形的“五心”的位置关系。 命题1 在三棱锥中,若三条侧棱的长相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。 证明(略)。 由此还可得推论. 推论:在三棱锥中,若侧棱与底面所成的角都相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。 例1 有—三棱锥的高是h,侧棱与底面所成的角都是φ,底面是两个角分别为α和β的三角形,求它的体积(α、β都为锐角).     

特殊三棱锥的顶点在底面上的射影

熟悉各种特殊三棱锥的顶点在底面上射影的位置,对于解答有关三棱锥问题是有益的,为此,我们把常见的几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影的位置归纳为以下几个命题,并给出简单的证明. 命题1:若三棱锥的侧棱都相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心.     

在解题教学中培养学生的发散思维

数学教学的目的之一是培养学生的创造性思维 ,而发散思维是创造性思维的核心成分 ,因此 ,在数学教学中对学生进行发散思维的培养是非常重要的。一、利用一题多改 ,培养学生的发散思维一题多改 ,就是保持原题目的结论而变换其条件。例 1:在三棱锥 P— ABC中 ,如果三侧棱相等 ,则点 P在底面ABC上的射影位置如何 ?学生很快答出 :点 P在底面上的射影是△ ABC的外心。在此基础上 ,教师要通过一题多改 ,引导学生进行如下练习 :(1)如果点 P到△ ABC三边的距离相等 ,则点 P在底面上的射影位置如何 ?(2 )如果三侧棱两两垂直 ,则点 P在底面上…     

直角四面体的若干性质

我们称三条侧棱两两互相垂直的四面体叫直角四面体，直角四面体具有对棱互相垂直且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心等性质，在教学中发现这种四面体还具有一些美妙独特的性质，现归纳如下，仅供参考。     

一道“墙角问题”中的“问题”

问题:三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面积为1,三侧面与底面所成的角分别为30°,45°,60°,求棱锥的侧面积．解一:如图,因为三条侧棱两两垂直,所以△ABC在侧面ADC,ADB,BDC上的射影分别是△ADC,△ADB,△BDC．     

“三心二线”话射影

点和直线在平面上的射影位置是立体几何中的常见问题,许多立体几何问题往往都需归结为确定点或直线在平面上的射影.要作射影并不难,难的是射影的位置究竟在哪里?确定点或直线在平面上的射影位置没有统一的方法,在学习中我们可以利用几个常见的结论来解决问题.常用的结论涉及到“三心二线”.一、三心三棱锥的顶点在底面三角形上的射影位置是我们常常遇到的问题,归纳它们的特点并加以应用,对我们解决问题有很大的帮助.1.垂心(1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其顶点在底面的射影是底面三角形的垂心.(2)若三棱锥的三组对棱分别垂直,则其顶点在…     

高考数学会出什么题？

解析：条件给我们启示,由于四条侧棱长都相等,所以,顶点P在底面ABCD上的射影O到梯形ABCD四个顶点的距离相等。即梯形ABCD有外接圆,且外接圆的圆心就是O。显然梯形ABCD必须为等腰梯形。     

侧面两两垂直的三棱锥的一个性质——由一道流行的错题得到的

高三复习立体几何时,遇到这样一道题:三棱锥三条侧棱两两垂直,三个侧面与底面所成的角分别为30°,45°,60°,底面积为1,则此三棱锥的侧面积为多少?(答案为1 √2 √3/2,提示用面积射影定理).     

一道错题的反例

在某资料上有这样一道选择题: 满足下列哪一个性质的三棱锥必是正三棱锥: (A)顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等; (B)侧面都是等腰三角形; (C)底面三角形的各边分别与相对的侧棱垂直; (D)底面为正三角形,并且侧面所成的二面角都相等。 由于(A)(B)(C)明显为迷惑枝,所以根据排除法,当然选择(D)为正确枝。 基于上述思想,有人把此题改为证明题     

2003年高考数学（理科）（18）题另解

2003年高考数学(全国和新课程理科)第18题:如图1,在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA_1=2,D,E分别是CC_1与A_1B的中点,点正在平面ABD上的射影是     

正四棱锥三个特征量角余弦间的关系

命题:任一正四棱锥S-ABCD,侧棱SA为α,底面边长为b,两个相邻侧面所成二面角的平面角为β,侧棱与底面夹角为α,侧面与底面夹角为θ,则有     

三棱锥中一个有用的结论

一、一个有用的结论三棱锥A-EFG的三条侧棱AE,AF,AG两两互相垂直,三侧面与底面所成二面角分别记为α,β,γ,则有cos~2α+cos~2β+cos~2γ=1．证明：如图1,O是A在底面EFG上的射影,连接EO,FO,GO并延长,分别交三边于P,Q,R,连接AP,AQ,AR．∵AE,AF,AC两两垂直,∴AE⊥面AFG,因此AE⊥FG．     

侧面两两垂直的三棱锥的一个性质——由一道流行的错题得到的

高三复习立体几何时,遇到这样一道题:三棱锥三条侧棱两两垂直,三个侧面与底面所成的角分别为30°,45°,60°,底面积为1,则此三棱锥的侧面积为多少?(答案为1 2 32,提示用面积射影定理).此题实为一道老题,在多本复习资料中都出现过,其实这是一道错题.图如图,三棱锥S-ABC,SA、SB、     

一道2003年立体几何高考题的推广

题目如图1所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,侧棱AA1＝2,D是CC1的中点.在A1B上是否存在点E,使点E在平面ABD上的射影恰好是△ABD的内心、垂心及外心?如果存在,试求A1B与平面ABD所成角的大小;如果不存在,试说明理由.     

用向量法解立几问题举例

已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长和侧棱长均为2，M是BC中点，N在侧棱CC1上，     

突破难点,提高立几教学质量

一、问题的提出最近两年,我们从高考阅卷的抽样分析中发现,学生做立体几何题的能力较差,无论是空间想象能力,还是逻辑推理能力,都存在着不少问题。1983年,我们抽样分析了1000份高考试卷,发现第6题(一道立几题,附原题如下)零分率达17%,仅略好于最难的第9题,两极分化的现象比较严重。第6题:“如图,在三棱锥S—ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC。求证SC垂直于截面MAB。”学生主要的     

一类特殊三棱锥的性质

本文给出三条侧棱两两互相垂直的三棱锥的一些性质: 性质1 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,侧面与底面的夹角依次为α、β和γ,则cos~2α     

全国卷Ⅰ（理）第18题别解

题目 如图1,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=√2,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°.     

多面体外接球半径常见的四种求法

公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9/8,底面周长为3,则这个球的体积为____.     

正棱台中有关角的三角关系式

定理:在正n棱台中,若侧棱与底面所成的角为a,侧面与底面所成的角为β,相邻两侧面所成的角为γ,则有