一个三角不等式的简证

设 x,y,z 是任意实数,在△ABC 中,则有不等式x~2 y~2 z~2≥2xycosC 2zxcosB 2yzcosA(1)其中等号当且仅当 x:sinA=y:sinB=z:sinC 时成立.不等式(1)即三角形中著名的 Wolstenholme 不等     

一个三角不等式的简证

本刊1997年第4期上刊出《一个三角形不等式的加强》一文后,编辑部陆续收到了浙江富阳中学许康华老师(邮编:311400)、山东淄博四中艾志刚老师(邮编:255100)、河南新郑市一中刘银峰老师(邮编:451150)、陕西绥德中学王炜老师(邮编:718000)等来稿,他们均对此不等式提出更为简捷的证法,且证法都相同,现把他们提出的证法刊登出来,供大家参考.     

关于一个三角恒等式的简证

《中学数学》92年第8期胡绍培用三种方法证明了第五届国际奥林匹克竞赛第五题,《中学教研》(数学)93年第2期杨士俊也给出了一种证法,本文采取另外两种简易的方法证明。     

一个类欧拉隔离式的简证及推广

1问题的提出 《数学通报》2009年第2期刊出的1773号问题是：若a1,a2,a3∈R＋,求证：     

一个三角等式的拓宽与巧用

通过探究,开拓了被一般人认为只有在三角形中才能成立的一个三角等式,从而扩大了原等式的应用范围     

两个三角等式的应用与推广

高一代数课本中,有这样的两个式子:eos(n+1)a.51,一na艺、inkx=5--l“=去〔n一同理可得:5 Ina〕士(n+1)x sin告nx 5 in告戈eos左x=e‘〕s士(,+1)x。in士nx 5 in去x “只。。·’“一晋+5 innx,e‘,5(n+1)工 2 sin劣·E‘、产、.产咬工9曰‘了.、了.、 下面就它的应用与推广,作三方面的阐述。 一、将上列两个等式当作公式直接应用,可以大大简化运算。 例2.求证sinlo“+eos290“+51::30。+eos310“+sin50。=去sin25Oe、es“。 证5 in10。+eos290“+、11,30。+ eos310。+511150“ =5 in10。+51一120“+。in30。+ 5 in40“+sin50“ 二、应用这…     

一个几何定理的简证与推广

《中学数学教学》1994年第2期刊载了《关于三角形垂心性质的一个定理)一文,提出了如下定理和引理.定理 锐角三角形中,D、E、F是BC、CA、AB上的点,AD、BE、CF交于O,若O为△DEF的内心,那么O是△ABC的垂心.引理 D、E、F分别为锐角三角形边BC、CA、AB上的点,AD、BE、CF交于一点O,若DO平分∠FDE,则AD⊥BC.     

一个条件等式的妙证、推广及应用

文 [1]、[2 ]证明了下面的等式 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,且 c+d=1,c2a+d2b=1a+b,求证 :c4a3 +d4b3 =1(a+b) 3 . 1文 [2 ]还把 1式推广为 :cm + 1am +dm + 1bm =1(a+b) m. 2本文给出 1的不等式证法 ,并把 1,2式的条件推广 ,同时给出其应用 .1　简证　由 x2y≥ 2 x- y知c2aa+b≥ 2 c- aa+b,d2ba+b≥ 2 d- ba+b.因为 c+d=1,所以 c2aa+b+d2ba+b≥ 2 (c+d) - (aa+b+ba+b) =1.由等号成立条件知 c=aa+b,d=ba+b,故 c4a3 +d4b3 =a4a3 (a+b) 4 +b4b3 (a+b) 4 =1(a+b) 3 .2　推广定理　设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,m,n∈N* ,m≠ n,若 c+d=1且 cm + 1am …     

一个三角恒等式的简证及其它

第5届国际数学竞赛有这样一题: 证明:cosπ/7-cos(2π)/7+cos(3π)/7=1/2,①①式可等价变换为: cosπ/7+cos(3π)/7+cos(5π)/7=1/2, ②文[1]中用复数方法将②式推广为: cosπ/n+cos(3π)/n+cos(5π)/n+…+cos(n-2)/nπ =1/2(n为奇数,且n≥3)。③本文用纯几何构造方法更简洁的证明③式,其证明过程可作为③式的几何解释,并同时得到n为偶数时的两个恒等式。如图示,作∠XOY=π/n。     

也谈一个三角恒等式的简证

文[l〕、「2〕、[3]都谈及了如下一道国际数学竞赛题: 证明:十( 5叮.C仍一二一十侣川 ic昭下一“谓2叮,-月一十C(呢 I(1)即一l+2(既令+娜 I臀)+(c图臀一;考,一0竿+姗臀,一0.所以 本文用韦达定理给出一个非常简易的证明,并不尺易推广到一般情况. 首先,(I)式可变形为c璐下 3汀.5汀!十Cos二二十cos二二二一二. JI乙 。。、号+C‘其次,我们考虑方程 x73汀.5汀l下了十COS一二=气丁, 了I乙对于。=2介+l,无妻l,我们考虑方程 户卜‘十!一0.用同样的方法,则不准得出:以万只一十C璐 乙‘,-l 3万Zk十l十…+c*(2左一1)汀Zk+!一奋+l=0,它的所有根…     

一个条件等式的推广

有一道流行题：已知a√1-b^2 b√1-a^2=1① 求证：a^2 b^2=1．②     

一个不等式的简证及推广

文献[1]给出了一道有关不等式的乌克兰竞赛题的简单证法，并在文末提出了如下不等式：     

一个不等式的简证及推广

文[1]给出如下不等式猜想：若a,b,C是正实数,且满足abc=1,则a~2/2＋a＋b~2/2＋b＋c~2/2＋c≥1.很多数学杂志给出了这个不等式的证明,下面笔者再给出一个简单的证明,证法1：由二元均值不等式得a~2/2＋a＋2＋a/9≥2/3a（？）a~2/2＋a≥5a/9-2/9,同理得到b~2/2＋b≥5b/9-2/9;     

一个不等式的简证及推广

文[1]给出如下不等式猜想:若a,b,C是正实数,且满足abc=1,则a~2/2+a+b~2/2+b+c~2/2+c≥1.很多数学杂志给出了这个不等式的证明,下面笔者再给出一个简单的证明,证法1:由二元均值不等式得a~2/2+a+2+a/9≥2/3a(?)a~2/2+a≥5a/9-2/9,同理得到b~2/2+b≥5b/9-2/9;c~2/2+c     

一个不等式的简证及推广

由苏州大学主办的《中学数学》九一年第六期所载刘健老师的《锐角三角形的一个不等式》一文提出并化了近两千字的篇幅证明了如下不等式: 在锐角三角形ABC中,     

一个不等式的简证及推广

本刊94年8期刊载的许兴华老师的《不等式的构造性证明例说》一文中,有如下一个例子: 例 已知a,b,c∈R,求证:((a~2 b~2 ac)~2 (a~2 b~2 bc)~2)/(a~2 b~2)≥(a b c)~2 原文对上述不等式进行变形,构造解几距离模型给出了一个证明,并指出此题若按常规证法,将不胜繁琐。实际上,该题有一个简单的代数证明,并能很容易的将它推广。     

一个问题的简证和推广

贵刊2001年第12期<一个十分有用的恒等式>一文引用恒等式: (a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ay-bx)2(1) 证明了下面这一个很有趣的问题:     

一个不等式的推广及简证

本文来源于《数学通报》2010年2期问题栏中的第1833号问题.问题已知a,b>0,且a+b=1,求证:(1/a~2-a~2)(1/b~2-b~2)≥((31)/8)~2.