解析几何的变换(续) 第四章 几个矩阵变换

§19放大平面上将一个图形映射为另一个图形的变换也可用矩阵表示。例如,一次绕原点的旋转与一次关于过原点的直线的反射都可用矩阵表示,称为矩阵变换。应注意,一个矩阵变换至少有原点为不动点;有的矩阵变换是不等距的。例如,下列矩阵变换就是不等距的:     

导函数对称性的充要条件及应用

1 可导函数f(x)与其导函数f′(x)的对称性的有关结论 定理 设x0为函数f(x)定义域内的一点,n=f(x0)+f(2m-x0)2,则 (1)函数f(x)关于直线x=m对称的充要条件是f′(x)关于点(m,0)成中心对称;     

“关于直线X=a对称”专题复习

(Ⅰ)基础知识点 A(x,y)关于直线x=a 对称的点为 B(2a-x,y)。(Ⅱ)知识应用 (Ⅰ)中知识可应用于两个方面:1.将一条曲线 C_1:y=f(x)变换为关于直线 x=a 对称的曲线 C_2:y=f(2a-x);2.若点 A(x,y)和点 B(2a-x,y)的坐标都适合一条曲线 L 的方程 y=f(x),即,有 f(x)=y=f(2a-x),或 f(a x)=f(a-x),则可判定这一曲线 L(自身)关于直线 x=a 对称。反之,亦然。     

函数中的有关对称问题

函数中的对称问题是函数的重要性质之一 ,它是研究函数的性质 ,作出函数图象的重要依据 ,也是高考试题中常考的考点之一 ,处理函数的有关问题要注重研究其对称性 ,利用数形结合的方法解决问题 .函数图象的对称性有图象关于点的对称及关于直线的对称 ,下面分别讨论 .一、函数 y =f (x)的图象成轴对称图形命题 1:设函数 y =f ( x)的定义域为 R,且满足条件 :f ( x a) =f ( b - x) ,则函数 y =f ( x)的图象关于直线 x =a b2 成轴对称图形 .证明 :设函数的图象上任一点 P( x,y) ,它关于直线 x =a b2 的对称点为 P′( x′,y′) ,则 x =a b- x…     

例析满足“f(x)=f(2a-x)”的函数的图象的对称性的应用

定理定义在R上的函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称的充要条件是f(x)=f(2a-x)(a∈R)证明:(1)充分性由f(x)=f(2a-x)可知若点A(x,y)是y=f(x)的图象上的任意一点,则点A′(2a-x,y)也在其图象上∵点A与A′关于直线x=a对称∴函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(2)必要性设A(x,y)是y=f(     

应用伸缩变换解几道高考题

<正>新课程在选修4系列的《坐标系与参数方程》中介绍了有关坐标系伸缩变换的概念.定义设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:x'=λx(λ>0)y'=μy(μ>0){的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),则称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.在这种变换下,有性质1直线与曲线的位置关系保持不变;性质2直线l变成l',且kl'=μλkl;     

变量最值与直角三角形的不解之缘

<正>变量最值问题常常直接或间接地以直角三角形的存在为条件,本文分类说明如下.一、平面内直线上点到该直线同侧两点间的路径最值【破解】1作一点关于已知直线的对称点,连结它与另一点——最短路径;2将已知线段向最短路径两端平移成直角三角形,解直角三角形求得最短路径——斜边.例1(2014年黔东南州)在如图1所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的     

轴对称变换在解题中的应用

轴对称变换是指以题设中已知或隐形的某直线为轴,将图形翻折所进行的全等变换.它是利用全等形的性质来迁移题设条件及弥补题设之不足而达到解决问题的有效方法.下面举例说明轴对称变换的应用.一、轴对称变换在平面直角坐标系中的应用例1在平面直角坐标系中,已知点A(-4,1)和B(2,在轴上求一点P,PA PB最小.5),x使解析:作点A关于yx轴的对称点A',A'则B的坐标为(-4,-1).连接A'B x交轴A P于P,则PA=PA'.由x O“两点之间,线段最短”,知PA PB=PA'A' PB=A'B为最小.设过A'(-4,-1)、B(2,5)的直线解析式为y=kx b.-4k b=-1,∴k=1,∴y=x 3.则2…     

函数的一个性质及应用

函数图象的性质给我们解题提供了很大的方便。函数图象的主要性质有 1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形。 2.偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。 3.互为反函数的图象关于直线y=x对称。 上面三个性质及应用在教材中均已介绍,这里不再叙述。下面主要讨论函数图象的另一性质及应用。 4.已知函数y=f(x)满足f(a x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 证明 设M(x′,y′)是函数y=f(x)图象上的任意一点,M关于直线x=a的对称点为M′(2a-     

函数对称性的探究

函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a.b)对称的充要条件是:f(x) f(2a-x)=2b推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是:f(x) f(-x)=0定理2.函数f=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是:f(a x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)推论:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是:f(x)=f(-x)定理3①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4｜a-b｜是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f(x)与y=2b-f...     

光的反射问题的解法及其应用

光的反射问题是数学与物理的一个完美结合点 ,高考 2 0 0 3、1989年均涉及光的反射问题 .由于此类问题为跨学科的综合性问题 ,同学们对它们往往感到束手无策 ,本文举例说明光的反射问题的解法及其应用 .1　求对称点法由光学性质 ,光线自点P1(x1,y1)入射到直线l上 ,则点P1关于直线l的对称点P2 (x2 ,y2 )必在反射光线所在的直线l′上 .例 1　 (2 0 0 3年全国高考题 )已知长方形的四个顶点A(0 ,0 )、B(2 ,0 )、C(2 ,1)和D(0 ,1) ,一质点从AB的中点P0 沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后 ,依次反射到CD、DA和AB上的点P2 、P3和P4 (…     

解析几何中光的反射问题

解析几何中光的反射问题一般与直线方程的求法和点、直线的对称紧密相关. 一、光线被直线镜面反射 1.镜面是坐标轴.光线由点P(-3,6)射到点Q(3,0)后被x轴反射,求入射线和反射线所在的直线方程.     

例说解析几何中的四类对称变换

策划S高二数学爱好者2006·12一、通法指津1.点p(x,y)关于点M(a,b)成中心对称的点是Q(2a-x,2b-y).2.两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)关于直线Ax By C=0(AB≠0)成轴对称的充要条件是Ax1 2x2 By1 2y2 C=0,且-AB·yx22--yx11=-1.特例:点P(x,y)顺次关于直线y=0,x=0,y=x,y=-x,x=m(m≠0),y=n(     

一道高考数学题的三种解法

2004年湖南高考题:如图,过抛物线x=4y的对称轴上任意一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点,点Q是点P关于原点的对称点. (Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为A.证明: (Ⅱ)设直线4B的方程是x-2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆的方程.     

与反函数有关的图象平移(高一)

本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上.     

一道光学背景下的高考压轴题

在椭圆中,有一个非常重要的光学性质,即一束光线从一个焦点射出,经椭圆反射后会射向另一个焦点. 定理椭圆上任意一点的切线和该点的法线分别是通过该点的两条焦半径所成内外角的角平分线. 证明 如图,设直线CD与椭圆切于P点,PM为该点的法线.设椭圆的方程为:x/a2+y/b2=1(a＞b＞0),设P(x0,y0)(y0≠0)为椭圆上任意一点,则椭圆在P点的切线斜率为-b2x0/a2y0,因为法线PM与切线垂直,故其斜率为:k=a2y0/b2x0.     

巧用抛物线的对称性解题

若点(x1,y0),(x2,y0)在抛物线上,则抛物线的对称轴为直线x=x12 x2.巧妙运用抛物线的这一性质,可简捷快速地解答一类试题.一、求点的坐标例1如图1,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),则点A的坐标是.(2005年宁厦)分析与简解显然点A、B关于直线x=1对称,设点A的坐标为(x1,0),则x12 3=1,从而x1=2-3,故点A的坐标为(2-3,0).例2抛物线y=ax2 bx c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标是.(2005年山东)分析与简解由点A(-2,7),B(6,7)的纵坐标相同,知A、B关于抛物线的对称轴x=-2 62=2对称.故设…     

关于直线对称问题的常用方法

对称问题是高中数学中比较重要的内容,它的一般解题步骤是:一、在所求曲线上选一点M(x,y);二、求出这点关于中心或轴的对称点M′(x0,y0)与M(x,y)之间的关系;三、利用f(x0,y0)=0求出曲线g(x,y)=0.直线关于直线对称的问题是对称问题中较难的,但它的解法很多,现以一道典型习题为例给出几种常见解法,供同学们参考.[例题]:试求直线l1:x+y-1=0关于直线l2:3x-y-3=0对称的直线l的方程.解法1:(动点转移法)在l1上任取点P(x′,y′)(P!l2),设点P关于l2的对称点为Q(x,y),则3x′2+x-y′2+y-3=0y′-yx′-x=-13"$$$$#$$$$%&x′=-4x+53y+9y′=3x+54y-3"$$$…     

点、直线的四类对称问题的解法

在平面解析几何中经常见到与对称相关的问题,而与对称相关问题中最基本的有以下四类:点关于点对称;点关于直线对称;直线关于点对称;直线关于直线对称·下面“将数的问题结合形的特点”介绍它们的解题方法·一、点关于点对称求P(a,b)关于点M(m,n)的对称点Q解析:设Q(x,y),结合图形分析·点M一定是线段PQ的中点,由中点坐标公式可得m=a2+x,n=b+2y,得x=2m-a,y=2n-b.∴Q(2m-a,2n-b)【例1】已知点A(1,2),点B(2,3),求点A关于点B的对称点·解:(利用中点坐标公式)设点A关于点B的对称点为A,(x1,y1)则1+2x1=2,2+2y1=3,∴x1=3y1=4∴点A关于点B的对…     

函数对称与周期的有关结论

一、自对称设f(x)是定义在R上的函数,则1.f(a+x)=f(b-x) f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2成轴对称. 特例1 f(a+x)=f(a-x) f(x)的图象关于直线x=a成轴对称. 特例2 f(x)=f(-x) f(x)的图象关于直线x=0成轴对称.