一道数学综合题的繁解、错解及简解

问题已知函数f(x)=x2 2x alnx.(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.     

一道高三调考题的繁解、错解、简解

问题:(武汉市2007年高三二月调考理科数学第21题)已知函数f(x)=x2 2x alnx．(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t) -3恒成立,求实数a的取值范围．此题主要考查利用导数知识作工具．研究     

一道高三调研考试题的繁解、错解、简解

问题:(2007年武汉市高三2月份调研考试数学理科第21题)已知函数 f(x)=x~2 2x aln x.(Ⅰ)若函数 f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围;(Ⅱ)当t≥1时,不等式 f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数 a 的取值范围.     

一道高三调考题的繁解、错解、简解

【问题】(武汉市2007年高三二月调考理科数学第21题)巳知函数f(x)=x~2 2x alnx.(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;(2)当t≥1时,不等式f(2_t—1)≥2f(t)—3恒成立,求实数a的取值范围.此题主要考查利用导数知识作工具,研究函数的单调性,处理不等式恒成立问题,综合性强,思想方法深刻,能力要求较高.其中第(2)小题难度较大,考生的答题情况并不理想.现就此小题的解法分析如下.     

定义域、值域问题中的错解例析

例1 已知函数y=f(x)的定义域是[0，1]，求函数y=f(2x) f(x 2/3)的定义域．     

1．《速解一类周期题》有误（高一、高二、高三）

《数理天地》高中版99年6期发表的《速解一类周期题》一文主张，对于形如f(x)=f(x)+f2(x)的函数的周期，可以利用下列结论快速求解：若f1(x)的周期是T1，f2(x)的周期是T2，则函数f(x)=f1(x)+f2(x)的周期是T1、T2的最小公倍数(以上指的均是最小正周期),可惜，这个结论在不少情况下是失败的,请看.     

导数在解数学题中的应用

一、利用导数求单调区间例1已知函数f(x)=x3 bx2 cx d,它的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y 7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.解析(1)由函数f(x)的图像过点P(0,2),可知d=2,所以f(x)=x3 bx2 cx 2,则有f′(x)=3x2 2bx c.由函数f(x)在     

函数与导数解答题的错解分析

易错点1:混淆“在某点的切线”与“过某点的切线”例1定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.(1)过点(1,1)作函数f(x)的图像的切线,求切线的方程.(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.难度系数0.65错解(1)由f(x)=x2+x,可知当x=1时,f(1)=2.     

“函数”错解例析

一、函数概念上理解致错例1、函数f(x)=1-x2姨｜2-x｜-2是()(A)奇函数而不是偶函数.(B)偶函数而不是奇函数.(C)奇函数又是偶函数.(D)非奇非偶函数.错解:∵f(-x)=1-(-x)2姨｜2+x｜-2=1-x2姨｜2+x｜-2,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.故选(D).评析:①错在忽略了函数定义域.函数定义应满足1-x2≥0,｜2-x｜-2≠0 .即-1≤x≤1,x≠0 .则f(x)=1-x2姨(2-x)-2=-1-x2姨x.∴f(-x)=-1-x2姨-x=1-x2姨x=-f(x),f(x)为奇函数.故选(A).②判断函数奇偶性,首先要注意函数的定义域是否关于原点对称,是关于原点对称再判断f(-x)与f(x)的关系…     

一个容易忽视的解(高一、高二、高三)

题a、b为常数,且a≠0,函数f(x)=x/(ax+b),同时满足条件: (1)f(2)=1; (2)方程f(x)=x有唯一的解.求a、b的值.     

特殊化是解函数方程的思维主线

<正>现行人教版教材高中《数学》必修1中有道这样的试题:已知f (x)=3x,求证:(1)f(x)·f(y)=f(x+y);(2)f(x)÷f(y)=f(x-y)。这道试题是让验证f(x)是指定函数方程的解。那么,什么是函数方程?如何解函数方程呢?所谓函数方程就是含有未知函数的等式,使函数方程成立的函数叫函数方     

用函数对称性解2012年全国高考四川卷(文、理)12

y=f(x)的抽象函数方程中,有些方程有特定的几何意义,如f(x)=f(2a -x),f(x)+f(2a-x)=2b分别是轴对称(对称轴x=a)中心对称(对称中心(a,b))函数,特别地,a=b=0时,分别是偶函数和奇函数,f(x+T)=f(x)是周期函数,记住它们对解决问题很有意义.本文用这几个抽象函数方程给出2012全国高考四川卷(文、理)数学12题的快捷解法.     

江苏卷第20题别解

第20题设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需要给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.     

解抽象函数题的方法和技巧

抽象函数是指未给出具体解析式的函数,这类问题是高一学习的难点,现行教材中没有举例说明其解法,同学们对解这类题常感到困难,为帮助大家解决这个问题,本文介绍几种方法和技巧,以供参考.一例、1用抽象函数的规律法设函数f(x)的定义域为R,对任意x1、x2∈0,21都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0,求f21及f41.解:因为对于x1、x2∈0,21,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=f2x+2x=f2x·f2x=f22x≥0,x∈[0,1].∴f(1)=f21+21=f12·f21=f122,f21=f41+14=f41·f41=f412.由f(1)=a>0,得f212=a>0,则f21=a12.又f412=f21=a21,所以f41=a41.注:有些题目…     

一道高三调考题的繁解、错解、简解

[问题]（武汉市2007年高三二月调考理科数学第21题） 已知函数f（x）=x^2＋2x＋alnx. （1）若函数f（x）在区间（0,1]上恒为单调函数,求实数α的取值范围; （2）当f≥1时,不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立。求实数α的取值范围．     

一道函数题的错解剖析与解法优化

一、题目设函数 f ( x) =1- 2 x1 x,若函数 g( x)的图象与函数 y =f - 1 ( x 1)的图象关于直线 y =x对称 ,则 g( 2 )= (　　 )( A) - 1.　 ( B) - 2 .　 ( C) - 54 .　 ( D) - 25.二、学生的两种解法解法 1:求得函数 f ( x) =1- 2 x1 x 的反函数为 y =f- 1 ( x) =1- xx 2 ,所     

浅谈函数对称性、奇偶性、周期性之间的关系

研究函数 ,主要是研究函数的性质 .近年来 ,高考试题中抽象函数占有相当的比重 ,给出抽象函数的方法除结构关系式外 ,更重要的则是给出对称性、奇偶性、周期性这“三性”中的两个 .利用已知的两性能否推出第三性呢 ?我们有以下几个命题 .命题 1　偶函数若有非 y轴的对称轴 x=a,则必为周期函数 .证 :设 y=f (x)满足 f (x) =f (- x) ,f (x) =f (2 a- x)(a≠ 0 ) ,则f (x) =f (2 a- x) =f [- (x- 2 a) ]=f (x- 2 a) .可见 ,周期 T=|2 a|.命题 2　奇函数若有非 y轴的对称轴 x=a,则必为周期函数 .证 :设 y=f(x)满足 f(x) =- f(- x) ,f(x) =f(2 a…     

指数函数与对数函数问题错解分析

一、求解有关函数定义域的问题时出现错误例1已知函数f(x)=log_a(-x~2+log_(2a)x)的定义域为(0,1/2),则实数a的取值范围是_____.错解由函数f(x)=log_a(-x~2+log_(2a)x)的定义域为(0,     

一题多解求最值

题目求函数f(x)=!x2 2x 5-!x2 2x 2的最大值.方法一利用函数的有界性求解分析已知函数f(x)是两个根式的差的形式,可以通过分子有理化来寻找解法.解由已知有,f(x)=!x2 2x 5-!x2 2x 2=3!x2 2x 5 !x2 2x 2=!(x 1)2 43 !(x 1)2 1.∵!(x 1)2 4≥2,!(x 1)2 1≥1,∴!(x 1)2 4 !(x 1)2     

用周期性解数学竞赛题例析

高中数学竞赛中的许多问题,若能巧妙地运用周期性进行求解,往往能化繁为简,化难为易.现分类例析高中数学竞赛中常见的用周期性解决的问题.1　运用周期性解决函数问题1 .1　运用周期求函数值例1　已知f( x)是定义在R上的函数,f ( 1 ) =1 ,且对任意x∈R都有f ( x 5)≥f ( x) 5,f ( x 1 )≤f( x) 1 .若g( x) =f ( x) 1 - x,求g( 2 0 0 2 )的值.( 2 0 0 2年全国高中数学联赛题)解　由g( x) =f ( x) 1 - x得f( x)= g( x) x - 1 .则g( x 5) ( x 5) - 1≥g( x) ( x - 1 ) 5,g( x 1 ) ( x 1 ) - 1≤g( x) ( x - 1 )…