集合模型巧解充要条件

充要条件是重要的数学概念,它主要讨论命题的条件与结论间的关系,因条件的充分性和必要性与命题的四种形式有密切的联系,所以在数学教学与解题过程中,通常以原命题及其逆命题是否成立来证明条件的充分性与必要性。由于较复杂命题的判断难度很大,所以解题正确率受到限制,若我们以高中所学集合知识解充要条件问题,则可简单且准确。     

从必要条件的一次争论谈起

某中学的一次数学教研会上对一个题的解法出现了争论。题:两条不同的直线l_1和l_2的斜率k_1=k_2是l_1∥l_2的什么条件?(用充分、必要回答) 两部分人对条件的必要性分别提出了如下两种不同解法和结论。解法1 充分性显然。关于必要性。由于l_1∥l_2时,斜率可能不存在,所以不一定有k_1=k_2,于是条件不必要,因此结论是充分但不必要的条件。解法2 充分性显然。关于必要性,研究必要性只要研究充分性命题的逆命题即可。我们改成研究与逆命题等价的否命题,即考察命题“若两条不同     

反证法一例

反证法一例许智应用反证法证明数学命题时一般分下面几个步骤：第一步：分清命题“若Ａ则Ｂ”的条件与结论。第二步：作出与命题结论Ｂ相矛盾的假定Ｂ。第三步：由Ａ和Ｂ出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果。第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定Ｂ不...     

数学命题的四种形式

数学命题的四种形式孙援朝命题一般表现为“如果……则……”的假言形式。简单地说，就是“若Ａ则Ｂ”，其中的Ａ称为条件，Ｂ称为结论。数学中的命题形式可以更简略灵活，如“对顶角相等”、“三角形三条中线交于一点”等等，都不表现为“若Ａ则Ｂ”的形式，对这样的命题...     

谈反证法

一、反证法的概念反证法是数学中的一种间接证法，它不是直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立．我们知道，一个命题与它的逆否命题是等价的．一个命题“若Ａ则Ｂ”成立，显然它的逆否命题“若不Ｂ则不Ａ”也必成立．例如：“等腰三角形的底角相等”，它的逆否命题“两底角不相等的三角形不是等腰三等形”，两者是一致的，也是等价的．因此，我们要证明“若Ａ则Ｂ”，可以间接地去证明它的逆否命题“若不Ｂ则不Ａ”．Ｂ是原命题中的结论求证．今将“若不Ｂ”作为已知，经过推理达到“不Ａ”，也就是说…     

两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等吗

有的同学认为命题“两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等”是假命题，理由是根据由已知画出的图形不能判断出三角形全等．其实不然，这是一个真命题，虽然由已知不能直接推出三角形全等，但是通过作辅助线，却能证得结论，请看下面的证明：如图，在西△ＡＢＣ和△Ａ’Ｂ’Ｃ’中，ＡＢ＝Ａ’Ｂ’，ＡＣ＝Ａ’Ｃ’，ＡＤ、Ａ’Ｄ’分别是两三角形的中线且ＡＤ＝Ａ’Ｄ’．求证：△ＡＢＣ≌△Ａ’Ｂ’Ｃ’．分析　　依据已知图形不能直接证明两个三角形全等，因此我们须作适当的辅助线：分别延长ＡＤ到Ｅ，Ａ’Ｄ’到Ｅ’，使ＤＥ＝…     

例说充要条件在解题中的应用

充要条件是进一步学习数学时常用的重要概念,课本对此概念的介绍仅限于能判断给定命题中条件的充分性或必要性,但学习掌握各种条件的目的决不仅仅是为了能够对给定命题中的条件作出判断,更主要的是要能够运用概念去研究新的问题,本文举例说明充要条件在解题中的应用.     

它们全等吗?

笔者在一次复习课中出了一道选择题，具中一个选择支是要求判断命题“有两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等”的真假，出乎意料的是全班同学竟一致认为它是一个真命题．事实上它是一个假命题，下面举一个反倒来说明：如图，在△ＡＢＣ与△ＡＢＤ中，已知：ＡＥ　ＢＤ于Ｅ，ＡＣ＝ＡＤ，显然ＡＢ＝ＡＢ，ＡＥ＝ＡＥ．但△ＡＢＣ与△ＡＢＤ显然不全等．是什么原因导致出现上述错误呢？关键是同学们忽视了三角形的高有可能在三角形的外部或与三角形的某一边重合，而把三角形的高只局限在三角形的内部．因此，在研究三角形的高时，一…     

二维柯西不等式在解析几何上的应用

二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1　推证几个重要结论命题 1　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明　由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上…     

对《充要条件》的教学意见

在近几年的毕业复习中,我们明显地感到学生对充要条件的理解和掌握是一个薄弱之处。他们对充分条件和必要条件产生混淆,对充要条件的充分性和必要性两方面的证明模糊不清。如何使学生较好地掌握这部分的内容?下面谈几点教学意见。一、利用学生已有的知识基础初中阶段,学生学习了命题和命题的四种形式,并且知道原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别是等价命题。这些是学生进一步学习充要条件等概念的已有基础。教材正是在这些已有知识的基础上,通过实例来阐述条件和结论之间     

一道竞赛题的演变——由题及类

一道竞赛题的演变——由题及类浙江省宁波市芦渎中学吴丽丽《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》中第１１４页的命题为“ＡＢ是⊙Ｏ的非直径的弦，过ＡＢ的中点Ｐ作弦Ａ１Ｂ１、Ａ２Ｂ２，过Ａ１、Ｂ１分别作⊙Ｏ的切线得交点Ｃ１，过Ａ２、Ｂ２分别作⊙Ｏ的切线得交点Ｃ...     

高一数学期末测试题

一、选择题1 已知集合Ｓ ={0 ,1,3,5,7,9},集合Ｂ ={3,5,7},ＣｓＡ ={0 ,5,9},则Ａ∩ (ＣｓＢ)等于 (　　 )(Ａ) {0 ,1,3,9}　　 (Ｂ) {1}(Ｃ) {1,3}　　　　 (Ｄ) {1,3,7}2 如果一个命题是真命题 ,则它的逆否命题 (　　 )(Ａ)一定是真命题　 (Ｂ)一定是假命题(Ｃ)不一定是真命题　 (Ｄ)不一定是假命题3 在从集合Ａ到集合Ｂ的映射中 ,下列说法错误的是 (　　 )(Ａ)Ａ中的每一个元素在Ｂ中都有象 ;(Ｂ)Ａ中的两个不同的元素在Ｂ中的象必不相同 ;(Ｃ)Ｂ中的元素在Ａ中可能没有原象 ;(Ｄ)Ｂ中的某一元素在Ａ中的原象可能不止一个 4 函数ｙ =…     

例析充分性和必要性思想在导数中的应用

充分性和必要性思想是一个很重要的数学思想,给数学解题提供了一个很好的手段和方法．在导数这一章节的教学中,涉及导数的几何意义与函数的单调性、极值、最值等内容,它们都可以运用充分性和必要性思想进行命题的等价转化,如果不善于分析和应用,如只考虑充分性,会导致所求结果范围缩小;或只考虑必要性,就会导致所求结果放大．     

全等三角形中考题精选

一、填空题1 在△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′中 ,∠Ａ =∠Ａ′,ＣＤ和Ｃ′Ｄ′分别为ＡＢ边和Ａ′Ｂ′边上的中线 .再从下列三个条件 :①ＡＢ =Ａ′Ｂ′,②ＡＣ =Ａ′Ｃ′,③ＣＤ =Ｃ′Ｄ′中任取两个为题设 ,另一个为结论 ,则最多可构成个正确的命题 . (2 0 0 1年北京市东城区中考题 )2 如图 1,∠ 1=∠ 2 ,要使△ＡＢＥ≌△ＡＣＥ ,还需添加一个条件 .(只需写一个 )(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )二、选择题在△ＡＢＣ中 ,ＡＣ =5 ,中线ＡＤ =4 ,则ＡＢ边的取值范围是 (　　 ) .(Ａ) 1<ＡＢ <9　　　 (Ｂ) 3<ＡＢ <13　　　 (Ｃ) 5 <ＡＢ …     

一个命题的改进

一个命题的改进本刊１９９７．３期．刊登了一个改进命题（Ｐ４８）为：设△ＡＢＣ为一般三角形，它的外接圆为⊙Ｏ，⊙Ｐ与ＡＢ、ＡＣ两边分别相切于Ｇ、Ｈ，并与⊙Ｏ相内切，Ｋ为ＧＨ之中点．求证：Ｋ为△ＡＢＣ的内心．笔者经思考、探究，发现将上命题进一步改进，便有...     

一道高考题的推广及其应用

一道高考题的推广及其应用中国科大附中黄严生如图，三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，已知ＰＡ⊥ＢＣ，ＰＡ＝ＢＣ＝ｌ，ＰＡ与ＢＣ的公垂线段ＥＤ＝ｈ．求证：三校锥Ｐ－ＡＢＣ的体积这是１９８７年的一道高考题，此题可以推广成下面的命题。如图，三校推Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ与ＢＣ所...     

探索性问题的分类及解题策略

纵观近几年的高考试题 ,探索性问题 ,一直是命题热点 .这类问题常以新颖的形式出现 ,解题入口较宽 ,而且往往有比较隐蔽的条件 .解这类问题必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索、猜想验证等多种思维形式去寻求解题途径 .本文拟就探索性问题的分类和解法作些肤浅的探讨 ,供参考 .一、探索性问题的分类1 探索条件型问题对于只给出问题的结论 ,需考生完备条件或探求出使结论成立的充分条件的一类问题 ,称之为探索条件型问题 .例 1　如图所示在直四棱柱Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 -ＡＢＣＤ中 ,当底面四边形ＡＢＣＤ满足条件时 ,有Ａ1 Ｃ =Ｂ…     

以必要性分析之矛，攻含参恒成立之盾

<正>含参恒成立问题因综合性强,解法灵活而备受命题者青睐．笔者在教学过程中了解到学生对于参数分类依据的寻找不胜其烦,需要有较强的思维与观察能力．解题时,常从已知条件中推出一些结论,这些结论就是题目的必要条件,若能再论证充分性的成立,则问题得以解决．我们将这个方法称为必要性探路．本文以2022年高考题为例,赏析利用必要性解题的魅力．     

类比推广发现

文 [1 ]指出了我国 2 0 0 0年高中数学联赛一道几何题与ＩＭＯ -1 8的几何题的联系 ,并给出其三角证法。很显然 ,前者是后者的引申。反过来 ,在解题的思路上 ,前者就可以化归为后者 ,并从中得到解题的启示。先来看这两个题目 :命题 1 ( 2 0 0 0年联赛题 )　如图 1 ,在锐角三角形图 1ＡＢＣ的ＢＣ边上有Ｅ、Ｆ两点 ,使∠ＢＡＥ =∠ＣＡＦ ,作ＦＭ⊥ＡＢ ,ＦＮ⊥ＡＣ(垂足为Ｍ、Ｎ) ,延长ＡＥ交△ＡＢＣ外接圆于Ｄ ,证明 :四边形ＡＭＤＮ与△ＡＢＣ的面积相等。题中当角α =∠Ａ/2时 ,就变成了下题 :命题 2 (ＩＭＯ -2 8)　在锐角三角形ＡＢＣ…     

平几证明二法

几何题因果之间悬挂着一层无形的幕帘，如果能借助一定的方法把这遮人眼目的幕帘撩开，那么无论你“由因导果”，还是“执果索因”，都能随心所欲，得心应手。现试举二法如下。 一、把条件汇聚到一个图形中 如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝２∠Ｃ，ＡＤ⊥ＢＣ，Ｍ是ＢＣ的中点，求证： 这道题的特点是已知条件和结论看上去都很分散，应设法把它们汇聚起来。 显然，△ＡＢＤ是直角三角形，ＡＢ是斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，我们取ＡＢ的中点Ｅ，连ＥＤ，则 结论要求证明，这时只要能证出ＥＤ＝ＤＭ就行了。Ｅ、Ｄ、Ｍ可以…