特殊化和一般化的思想方法和解题功能

特殊化和一般化是一种重要的解题策略，同时也是一种重要的思维方法，本通过对具体实例的分析，论述了特殊化和一般化的思维方法及解题功能。     

一般化——一种解题方法

“由特殊到一般”,“由一般到特殊”是人们认识事物的两个基本过程．我们可以通过特殊去探索一般结论,也可以从一般结论去研究特殊问题．用特殊化解决数学问题的方法已司空见惯,这是因为习惯上人们认为特殊问题较一般问题容易解决,特殊问题具备的条件多且有很多性质可以利用．事实上决非所有问题都是如此,正如G·波利亚在《怎样解题》中所说：“一般化也许有助于解题,越一般化的题目可能越容易解答．”这是     

运用一般化、特殊化解题的实践与思考（续）

（接第9期） 2．4作为思想方法的理解与领悟 特殊化与一般化是矛盾的两个方面，它们互相对立又互相统一．同时它们也是反映与认识事物的两种重要的思想方法．对于数学解题，丝毫没有例外．这两种思想方法，有时可以单独使用，有时又必须结合起来使用．     

运用一般化、特殊化解题的实践与思考

1 一般化、特殊化的基本认识 1．1 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式 郑毓信、梁贯成老师在《认知科学、建构主义与数学教育》一书第二章第二节“高层次数学思维的研究”第115页中指出，“从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用。具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式。     

论一般化思想在数学解题教学中的作用

“由特殊到一般,由一般到特殊”是人们认识事物的两个基本过程．在数学学习中,特殊化和一般化更是常常交替呈现、循环使用（如图1）．解选择题和填空题时,特殊化是学生常用的策略之一,而对于一般化,学生的体会并不是很深,但不可否认,在数学教学中,一般化思想有着其它任何思想方法都无法替代的作用．那么,什么是一般化？     

一般化的解题策略

一、一般化的思想 波利亚在其<怎样解题>中阐述的一般化思想是:一般化就是从考虑一个对象,过渡到考虑包含该对象的一个集合,或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该小集合的更大集合.或者也可以说是从考虑常见的问题过渡到考虑变元的问题.     

数学竞赛解题策略——特殊问题一般化

特殊问题一般化是指将一个特殊问题转化为一个一般问题来处理.一方面,由于特殊问题的结构过于简单,使得它不能反映有关问题的原貌,而将其一般化,可使问题顺利获解;另一方面,有些特殊问题经过一般化后须再进行特殊化才能使问题得以解决.一般化的实质是为特殊问题寻找赖以成立的大前提,而这个大前提就是一般性命题.由于前提蕴含条件,因此只要一般性命题得证或得解,那么所给的特殊条件也就得到了证明或求解.本文试通过几例竞赛试题阐述特殊问题一般化的解题策略.     

运用整体思想解题

运用整体思想求解某些数学问题，往往可以避免繁琐的运算或推理，其主要方法如下：     

一般化方法的解题功能探究

用一般与特殊的关系解决问题是最常用的思想方法之一.对特殊的问题就事论事地讨论,常受到客观因素的干扰,而不易发现解决问题的途径.论述了一般化方法的含义、作用,给出了几种常见的解题功能.     

利用勾股定理解题应注意思想方法的运用

数学思想方法是解决数学问题的灵魂．正确地运用数学思想方法也是成功解题的关键。尤其是在运用勾股定理解题时．更应注重思想方法的运用．那么你知道运用勾股定理解题应注重哪些思想方法吗？为了帮助同学们清楚地知道这一问题．现就常用的思想方法举例说明．供同学们学习时参考．     

运用分类讨论的思想方法解题

分类讨论是指在解答某些数学问题时，会出现多种情况，需要对此进行逐一讨论的一种求解方法．它既是一种逻辑方法，也是一种数学思想，实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练思维的条理性和概括性，如何正确而恰当的分类是掌握分类讨论的关键．     

利用解后追问培养学生一般化思想与能力

一般化是一种重要的数学思想,对学生的抽象概括能力、逻辑推理能力的培养起到关键作用.部分教师在解题教学中,对学生的一般化思想和能力的培养还存在诸多不足.文章基于教学实例,利用解后追问,顺应学生解题思路,创设拓展性问题,旨在有效培养学生一般化数学思想与能力.     

特殊与一般的思想在解题中的运用

一个问题可能在整体上模糊到难以认识与鉴别,但在特殊情况下有时却十分清楚明白.既然如此,我们解题时,何不以退为进,由一般退到特殊呢?用特殊与一般的思想解客观题是特别有效的,特殊与一般的思想还是解答某些解答题的绿色通道.     

高三复习中应加强指导学生运用数学思想方法探求解题思路

解题是学生巩固所学知识 ,提高应用能力 ,培养良好思维品质的重要手段 .解题思路的探索过程 ,解题方法和规律的概括过程中无不凝集着数学的精髓和灵魂———数学思想方法 .在高三数学复习教学中 ,加强学生对数学思想方法的领悟和运用 ,有利于学生提高数学思维的起点和扩大数学思维空间 ,迅速找到解题思路 .1　运用数学思想方法探求解题思路例 1　 (1998年浙江省五校联考题 )已知四点 :A(- 1,0 )、B(1,0 )、C(x ,0 )、D(x ,1-x2 ) ,那么 ,当且仅当x属于区间时 ,边长分别等于线段AC、BC、CD的长度之三角形是锐角三角形 .这是我们对学生进…     

特殊与一般的思想在解题中的运用

一个问题可能在整体上模糊到难以认识与鉴别,但在特殊情况下有时却十分清楚明白．既然如此,我们解题时,何不以退为进．由一般退到特殊呢？用特殊与一般的思想解客观题是特别有效的,特殊与一般的思想还是解答某些解答题的绿色通道．     

例析数学思想方法在高考解题中的渗透

函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象．解题中渗透这种思想．可以把表面上非函数问题转化成函数的有关问题，并利用函数的性质去解决问题．     

一般化——一种居高临下的解题策略

拙作“特殊化——一种以退为进的解题策略”（《中学数学学习与研究》2002年第2期）中,对于特殊化解题策略进行了一些探索,一般与特殊是矛盾的两个方面．一般化的解题策略可给人以居高临下,一览众山小的感觉．本文对此也做些探讨．     

有关数学问题的解题思想与方法

我们从中学就开始接触各类数学问题,而要解决这些数学问题,最重要的就是找出问题的精髓也就是所运用的思想与方法,并且这些思想与方法在实际应用中也非常广泛,因此,在这里我们主要介绍几种重要的解决数学问题的思想与方法。