2003年CMO试题解答

一、设点,IH分别为锐角△ABC的内心和垂心,点11,BC分别为边,ACAB的中点,已知射线1BI交边AB于点2B2()BB,射线1CI交AC的延长线于点2C,22BC与BC相交于k,1A为△BHC外心,试证:1,,AIA三点共线的充分必要条件是△2BKB和△2CKC的面积相等. 证明 ∵H是 △ABC的垂心,1A 是△BHC的外心, ∴BHC? 180BAC?? 12BACBAC=? 又由题设知ABAC, 从而 1,,AIA共线,即1A在BAC平分线上 1A在ABCD外接圆上 1180BACBAC+=?0BAC=? 现证22BKBCKCSSDD=60BAC=? 作IDAB^于,DIEAC^于E, 设 ,,BCaCAbACc===,则 2ABCSIDIEabcD==…     

2002年CMO试题解答

一、△ABC的三边长分别为a,b,c,b相似文献   

一道CMO试题的联想

1996年CMO的第一题是罗增儒教授提供的一道平面几何题，笔者研究发现此问题有多种变形，可设计出很多新颖的问题，故很多MO试题都与此题相关．     

一道CMO试题的简证

题目设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证:     

一道CMO试题的简证

20 0 3年CMO第六题:设a、b、c、d为正实数,满足ab cd =1 .点Pi(xi,yi) (i =1 ,2 ,3,4 )是以原点为圆心的单位圆周上的四个点.求证:　　(ay1 by2 cy3 dy4 ) 2 (ax4 bx3 cx2 dx1) 2≤2 a2 b2ab c2 d2cd .证明:记α=ay1 by2 cy3 dy4 ,β=ax4 bx3 cx2 dx1.由柯西不等式得　　[(ady1) 2 (bcy2 ) 2 (bcy3) 2 (ady4 ) 2 ]·　　ad2 bc2 cb2 da2≥(ay1 by2 cy3 dy4 ) 2 =α2 ,即　α2 ≤(ady21 bcy22 bcy23 ady24 )·ad bc cb da .同理,β2 ≤(adx24 bcx23 bcx22 adx21)·ad bc cb da .将以上两式相加,并利用x2i y2i…     

一道CMO试题的另解

题目 已知集合X={1,2,…,100｝,函数f：X→X同时满足。     

一道CMO试题的简证

题目设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点p(x_(i)y_(i))(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证: (ay_(1)+by_(2)+cy_(3)+dy_(4))~2十(ax_(4)+bx_(3)     

一道CMO试题的不同证法

原题（2006年中国数学奥林匹克）Rt△ABC中,∠ACB-90°,△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP．若∠BPC-90°,求证：AE＋AP=DD．     

一道CMO试题的另解

题目 设锐角△ABC的三边长互不相等，O为其外心，点A＇在线段AO的延长线上，使得∠BA＇A=∠CA＇A．过A＇作A＇A1⊥AC、A＇A2⊥AB，垂足分别为A1、A2，作AHA⊥BC，垂足为HA．记△HAA1A2的外接圆半径为RA，类似地可得RB,RC.求证：1/RA＋1/RB＋1/RC=2/R，其中，R为△ABC的外接圆半径．     

对一道CMO试题的讨论

题目 给定整数n≥2.设n个非空有限集A1,A2,…,An满足: |Ai△Aj|=|i-j|(i、j∈{1,2,…,n}), 规定 XAY={a|a∈X,a(∈)Y}U{a|a∈y,a(∈)X｝. 求|A1|+|A2|+…+|An|的最小值.[1] （2013,中国数学奥林匹克） 文[1]给出的参考解答,采用配对思想, 简洁有效地得出了所需的下界估计.下面给 出另外两种解法.     

一道试题的解答

在一份小学语文试卷中,有一道选择题引起了阅卷老师的争论。这道题是这样的;“(只有、只     

一道试题的解答

在今年七月二日全省师范院校《数学分析》统测中,渭南师专牛怀岗、孙民成等同学在解答第九题时,用设辅助函数的方法,解法新颖,步骤完整,证明正确。超出本题参考答案,表现了学生综合运用知识的能力。     

一道CMO试题的加强及应用

2002年加拿大数学奥林匹克（CMO）竞赛中有一道试题：     

一道CMO试题的纯代数证法

题目 在Rt △ABC中，∠ACB=90°，△ABC的内切圆⊙0分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD，与内切圆⊙0相交于点P，联结即、CP．若∠BPC=90°，求证： AE＋AP=PD．[第一段]     

一道1996年CMO试题的简证

1996年中国数学奥林匹克试题1. 题 设H是锐角△ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ,切点分别为P、Q,求证:P、H、Q三点共线. 用解析法简证如下: 证 以BC为x轴,BC的中垂线为y轴建立直角坐标系,设B(-1,0),C(1,0),A(x_0,y_0),(x_0~2 y_0~2>1)则以BC为直径的圆的方程为x~2 y~2=1.     

一道竞赛试题的解答

2000年8月12日,在巴伦支海参加军事演习的俄罗斯北方舰队“库尔斯克”号核潜艇,意外沉没,所有舱室都灌满了海水,艇上118名官兵全部遇难．引起了国际社会的普遍关注．     

一道小学毕业模拟试题的解答和建议

一、题目展示及解答《少年智力开发报》曾刊登了一道这样的推理填空题:四位外国朋友住在十八层高的饭店里,他们分别来自埃及、法国、朝鲜和墨西哥。     

一道CMO试题的简证与引申

08年中国数学奥林匹克第一题：设锐角△ABC的三条边长互不相等,O为其外心,点A’在线段AO的延长线上,使得∠BA’A=∠CA’A．过A’作A’A1⊥AC、A’A2⊥LAB,垂足分别为A1、A2,作AHA⊥BC,垂足为HA,记△HAA1A2的外接圆半径为RA,