不等式(a b)/2≥ab~(1/2)(a,b∈R~ )的几种巧妙证法

不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2).     

浅谈利用a b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )求最值

不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:…     

二维柯西不等式的教学后反思

1柯西不等式的证明定理(柯西不等式)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.证法1(比较法)因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2     

用不等式定理证立体几何中的不等关系

高二代数不等式的证明中列出如下定理和推论: 定理如果a、b都是实数,那么a,+bZ》Za‘(当且仅当a=b时取“二”号)。 推论:如果a、b都是正数,那么去(a+b)》侧而(当且仅当a二b时取“=”号)。 推论:如果a、b、‘都是正数,那么去(。+b十‘)》刀J肠(当且仅当a二b二:时取“二”号)。 因为立几中的线段一般均为正,它适合定理和推论中的要求,用上面定理证立儿中的不等式,可使证法简捷,现举例阐明。 例1设A、B、C、刀为空间的四点,求证:ACZ+BD‘+ADZ+BCZ》ABZ+CDZ。 证明取CD的中点M,连AM、BM。在△ADC和△B DC月中,根据中线性质: 2(A …     

a~2+b~2≥2ab的五个重要推论及应用

如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).证明∵a2+b2=…     

不等式sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8的几何证法

这是△ABC中较为常见的一个不等式,证法较多,本文给出它的平几证法: 如图,在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,作∠BAC的干分线AF,则∠CAF=∠BAF=譬,过B,C两点作AF的垂线,交AF和AF的延长线于D,E两点,(当且仅当b=c时等式成立).     

勾股定理所引起的(2)

(续上期)勾股定理来源于实践,但它终需理论的证明.由于勾股定理本身的强大生命力,去论证它的人一直络绎不绝.迄今为止,据说人们已创造了400余种证法,这恐怕是任何定理都无法与之相比的给出这些证明的不但有数学家、天文学家,还有物理学家,甚至美国第20届总统伽菲尔德于1876年也提出了一种证法:图1是由三个直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ拼成的直角梯形(上底为图1a,下底为b,高为b+a)·S梯形=21(上底+下底)×高=21(a+b)(b+a)=21(a2+2ab+b2);另一方面,S梯形=SⅠ+SⅡ+SⅢ=21ab+12c2+21ab=21(c2+2ab)·图2两相比较,立得a2+b2=c2·如果你把一只火柴盒推倒…     

再谈a~3 b~3 c~3≥3abc 的多种证法

读贵刊(中教版·月刊)2000年第3期 P_(23)刊登的“a~3 b~3 c~3≥3abc 的另外两种证法”一文,受到启发.这是一个著名不等式,是高中课本上的一个重要定理:“如果 a,b,c∈R~ ,那么a~3 b~3 c~3≥3abc(当且仅当 a=b=c 时取“=”号).”笔者给出除上文证法外的另外八种证法,作为对该文的补充及对证法的进一步探讨,多角度地透视这一著名不等式所蕴含的     

“a·b=c·d±e·f”型命题的三角证法

在平面几何中,求证线段等式a·b=c·d±e·f一类命题,是比较繁难的问题之一。本刊84年第1期发表的《“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法》。介绍了这类命题的几何证法,本文谈谈这类命题的三角证法。这类几何命题,可用正弦定理证明,也可用余弦定理证明。设a、b、c、d、e、f都是已知图形中的线段,用正弦定理证明a·b=c·d±e·f,其方法是: 第一步,利用正弦定理,考察已知图形中有关的边和角之间的关系,写出c·c±e·f/a·b的三角表达式; 第二步,根据已知条件,将这个三角表达式化简,证明它的值等于1。例1 在△ABC中(图1),已知∠A=2∠B, 求证BC~2=AC~2 AB·AC。证明设∠B=θ,则∠A=2θ,∠C=180°-3θ。在△ABC中,由正弦定理得     

直角三角形的一个性质

性质 若直角三角形的直角边的长为a和b,斜边长为c,则a＋b≤在c（当且仅当a=b时等号成立）． 证法1 如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,延长CB至D,使BD=AC=b,作ED⊥DC于点D,使ED=BC=a,     

一道IMO备选题的几个新证法

第31届IMO中有这样一道备选题：设a，b，c，d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证近几年来．中学数学刊物上经常介绍这一选题的各种证法（参阅本刊93年第11期P37），本文将给出它的几个新证法．为了行文方便，我们记待证式左端为I，令a b c d=e、a2 b2 c2 d2=E证1利用柯西不等式，证2利用二元均值不等式．四式相加，得证3利用配方法．证4利用基本不等式a2 b2≥2ab（a、b∈R）的变形：a（a-b)≥b(a-b）等号当且仅当a=b时成立．一道IMO备选题的几个新证法@王福楠$昆山市正仪中学…     

三角形射影定理的向量证法

射影定理:在△ABC中,若角A、B、C所对的边分别是a、b、c则: a=bcosC ccosB b=acosC ccosA c=acosB bcosA 在新教材中,余弦定理是用向量方法推出的,人教社蔡上鹤先生在文[1]中是把射影定理作为余弦定理的推论给出的,下面笔者直接给出它的向量证法.     

一些不等式的新证法

在平均值不等式a~2 b~2≥2ab中,当b>0时,有a~2/b≥2a-b。 (当且仅当a=b时等号成立)。下面我们利用这个不等式给出竞赛中的一些不等式的新的证法。 例1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,求证     

两个重要不等式的内在联系

定理1 如果a,b∈R那么a~2 b~2≥2ab(当且仅当a=b时取等号) 推论如果a,b∈R~ 那么(a b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取等号) 定理2 如果a、b、c∈R~ 那么a~3 b~3 c~3≥3abc(当且仅当a=b=c时,取等号) 推论如果a、b、c∈R~ 那么(a b c)/3≥(abc)~(1/3)(当且仅当a=b=c时,取等号) 以上两个重要不等式,在六年制高二代数上都作了在内容上彼此独立、在方法上各不相同的证明。教材对前者采用综合法证明,后者采用的是比较法。后者证明就其方法可取,但就其过程来讲倒觉得有些冗长。以上两个定理(含推论)有没有联系呢?回并是肯定的,事实上,它们之间是完全可以互相推证。 (—) 用定理1的推论证明定理2     

不等式a^2＋b^2≥2ab的一个变形和应用

高中代数下册第8页给出的均值定理：如果a，b∈R，那么a^2 b^2≥2ab(当且仅当a=b时，取“=”号)．     

对基本不等式a~2 b~2≥2ab证明的探究

人教版高中数学选修系列4-5《不等式选讲》P5中以定理的形式给出了基本不等式:a2 b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.     

巧用不等式 速解物理题

不等式定理之一:如果a、b都为正数,那么(a b)/2≥ab~(1/ab)(当且仅当a=b时,取“=”号)。该不等式表明:变量a、b,当a＞0,b＞0时,若a b=常数,则在a=b     

一道竞赛题的别证

题　证明 :对任意实数 a>1,b>1,有不等式a2b- 1 b2a- 1≥ 8.　　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )《中学数学月刊》1999年第 11期、2 0 0 0年第 5期分别用添加项法或配置对偶式进行了证明 .兹给出另外四种证法如下 :证法 1　 (增量代换 )设 a=1 x,b=1 y,x,y∈R ,则a2b- 1 b2a- 1=(1 x) 2y (1 y) 2x≥(2 x ) 2y (2 y ) 2x =4(xy yx)≥ 8.当且仅当 1=x=y,即 a=b=2时取等号 .证法 2　 (三角代换 )设 a=sec2 α,b=sec2 β,α,β为锐角 ,则a2b- 1 b2a- 1=1cos4α· tan2 β 1cos4β· tan2 α=4(1 cos2α) 2 · (1 cos2β) 2s…     

由基本不等式“a~2 b~2≥2ab”想到的

下面是各类中学数学教材中一个重要的定理: 如果a、b都是实数,那么 a~2 b~2≥2ab (*)(当且仅当a=b时取等号) 笔者对此定理的结构特点很感兴趣,因为a~2 b~2≥2ab=ab ba,对实数a、b来说具有对称美——不等式(*)左右两边字母、项数及次数均相同.由此,极易产生如下普遍化联想。     

二元函数极值存在的充分性定理的一个证明

[1] 文指出,国内一些数学分析或高等数学教科书在二元函数极值存在的充分性定理的证明中,存在着一个类似的错误。本文将给出一个纠正这些错误证明的新证法。为了叙述方便,先将[1]文摘录于下。定理:设函数f(x,y)有稳定点p(a,b),且在点p(a,b)的邻域G内存在二阶连续编导数。设A=f″_(xx)(a,b),B=f″_(xy)(a,b),C=f″_(yy)(a,b),令Δ=B~2-AC,则 1) 若Δ<0,函数f(x,y)在p(a,b)取局部极值。 (ⅰ) 当A>0(或C>0)时,函数f(x,y)在点p(a,b)处有局部极小值。