从智慧数中获智慧

今年《读书时报》21期刊登的“创新杯”全国中学生数学知识竞赛八年级试题中,有这样一道题:如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为智慧数.根据你的判断下列四个数不是智慧数(指能表示成两个自然数的平方差的自然数)的是(摇).A.2001摇B.2002C.2003D.2004粗看这道题,似乎只能尝试拼凑求解,但回顾学习平方差公式后用简便方法计算104×96,就不难发现下面的定理:任何两个正整数的积都可以表示成两个数的平方差.因为:a×b=(a+b2-a-b2)(a+b2+a-b2)(a、b是正整数,a≥b)有了以上定理,那么:任何一个正整数m只有两种可能:①m…     

不定方程1/x~2+1/y~2=1/A~2(A∈N)的正整数解

不定方程1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)(A∈N)是否有正整数解?文[1]给出“无正整数解”的论断;文[2]提出反例,并给出1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)有正整数解的一个条件:“对方程1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2),如果对A的两个互质的约数A_1、z_1、存在正整数y_1满足y_1~2=A_1~2+z_1~2那么1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)有正整数解,且其解可表示为x=ry_1A_1,y=ry_1z_1,其中,A=rA_1z_1,r∈N”。试问A为何值时,方程才有正整数解?能否根据A的值直接判定方程有正整数解?本文将给出1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)(A∈N)有正整数解的充要条件;并把问题推     

一种矩阵幂的算法

对一种可逆矩阵A,给出了A的正整数次幂与负整数次幂的统一计算公式,所得结果在组合数学中有重要应用.     

1987年全国高中数学联合竞赛试题解答

第一试一、选择题 1.对任意给定的自然数n,若n~6+3a为正整数的立方,其中a为正整数,则 (A) 这样的a有无穷多个; (B) 这样的a存在,但只有有限个; (C) 这样的a不存在;     

第七届美国数学邀请赛(AIME)

1.计算。2.在圆上标出10个点,用这些点(全部或部分)能构成多少个不同的凸多边形?(只有顶点完全相同时才是相同的多边形)。3.设n是一个正整数,d是10进位数中的一个数码,若=0.d25d25d25…,试求n.     

二元一次方程组的正整数解的确定与运用

每个二元一次方程组都有无数个解,但是其中的正整数解在许多的实际问题中有着广泛的应用,如何求出二元一次方程组的正整数解就成了解决实际问题的关键,下面谈谈如何求二元一次方程组的正整数解.一、寻找正整数解的方法     

2003美国数学奥林匹克

第一天1.证明:对任何正整数n ,存在一个各位数码都是奇数且能被5 n 整除的n位数.2 .平面上的一个凸多边形P ,被它的所有对角线分割成小凸多边形.若多边形P的所有边和对角线的长度都是有理数,证明:分割而成的所有小多边形的边长也都是有理数.3.设n≠0 ,对任何整数数列A ={ai} ,0 ≤ai≤i,i=0 ,1,2 ,…,n ,定义另一个数列t(A) ={t(ai) } .这里t(ai)表示数列A中,在ai 之前且不同于ai 的项数.证明:从任何给定的数列A出发,经过少于n次t变换,就可得到一个数列B ,使得t(B) =B .第二天4 .一个圆通过△ABC的顶点A、B ,分别交线段AC、BC于点D…     

完全平方数的性质及其应用

一、选择题 1.设n个连续整数的平方和是一个完全平方数尸(n为正整数),则n的最小值是(). A .1 1 B.13 C.17 D.19 2.使。2+刀十7是完全平方数的所有整数n的乘积是(). A .14 B.42 C.84D一84 3.两个正整数的和与积的和为2005,并且其中一个是完全平方数,则较大数与较小数的差为(). A .1 1 B.101 C.1001 D.101或1001 4.设N=23a+92b为完全平方数,且N不超过2392.则满足上述条件的一切正整数对(“,的共有(). A .5对B.22对C.27对D.34对 5一个四位数具有这样的性质:用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数字是零,就只…     

关于逻辑式化简的一点注记

找出逻辑式F的全体质项的方法是:(1)首先把F化为范式;(2)将F的全体最小项分组;(3)合并.合并按公式A B+A B= A进行.如果将字母和字母的非写成对应的二进制数码,则这公式的意思是:如果两个二进位数,只有一个数位上的数码不同,其余各数位上的对应数码都分别相同,则这两个二进位数所表示的最小项可合并为一项.例如0000与0001它们表示的最小项分别为A B C D和A B C D,这两项可以合并为一项A B C,用二进制数码表为000*,“*”表示这个位置的字母不出现.     

第十届“希望杯”邀请赛初一试题

、选择题(每题0一(O一1999)(A)1 9.996分,共((B)(1999年3月)60分)).一1999 (C)1999).“护丸(D)0下面四个命题中正确的是咬(A)1是最小的正有理数 如;犷_J_11t」一’(C)o是最小的正整数,那与’是最天的负有理数(D)0是最大的非正整数3.若Ia}一1,则少一(〕. (A)1(B)一1(C)O(D)24.设“相似文献   

第40届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

1．若一个正整数的正因数中恰有两个为素数,则称该正整数为“好数”．问：是否存在18个连续正整数均为好数？     

《谁的包裹多》测试题

一、选择题(每题3分,共18分)1.下列方程组中,是二元一次方程组的是()A.4x-3y=6,xy=1"2B.y5 x=4,4x 7y="9C.3xyx- 96yy==4,"4D.xx 2 yy=2=9,"62.方程ax-2y=2有一个解为xy==35,",那么a的值为()A.85B.35C.4D.-853.方程2x y=11在正整数范围内的解有()A.3个B.4个C.5个D.6个4.若7x3y2     

正整数分拆的几个定理

正整数分拆问题是一类古老而有趣的问题,它是数论和组合论的重要内容.在当前的国内外数学竞赛试题中,又经常以各种不同的形式出现.本文给出几个定理,并举例说明它们的应用. 定理1 设正整数S分拆为若干个正整数     

形如15p的非优美指数

目的正整数n的因子与除数函示数d俐的问题，是数论中最基础、最重要的内容之一，有许多猜想与问题若一个整数m可表示为正整数n与它的除数函数d（n）之商，则称m为优美指数A．Murthy定义了优美指数的概念．文章研究了非优美指数．方法利用除数函数的定义和初等方法．结果证明了若p为素数，P≠0则15P为优美指数．结论存在无穷多个正整数m不是优美指数，否定了A．Murthy的猜想，证实了蒲永锋、杨仕椿的一些猜想．     

数学奥林匹克问题

本期问题初287 已知存在2011个正整数,其积与和相等.试求这2011个数中至少有多少个1? 初288 用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图1正八面体的面A、B、C、D、E、F、G、H染色(允许只用其中几种),使相邻面(有公共棱的面)不同色.求不同的染色方法的种数.     

2005年北京市中学生数学竞赛(初二)

一、选择题(每小题5分,共25分)1.在1~100这100个自然数中,质数所占的百分比是().(A)25%(B)24%(C)23%(D)22%2.一个三角形的三边长都是整数,它的周长等于10.则这个三角形是().(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)恰有两边相等的三角形(D)恰有一个内角为60°的三角形3.已知n为正整数,S=     

不等式(组)的考题解析

不等式(组)是初中数学的重要内容之一,其应用十分广泛.现以近两年的中考题为例,分类说明. ;一、求有关整数解的问题; 例1不等式组{:二君一3的整数解是 ( ) A.一1,O B.一l,l C.0,1 D.元解 (2002年厦门市) 简解:解这个不等式组,得一1…     

弗马大定理的初等方法证明

从定义三个正整数的关系数出发,假设aN+bN=cN成立,利用它的特性通过关系数将方程变为一元(N-1)次方程.N=2,有正整数解即勾股定理;N＞2无正整数解即证明了弗马大定理.     

趣题一则

问题有没有这样的正整数,把它加上1994以后恰好是一个完全平方数,把它减去1993以后恰好也是一个完全平方数?如果有这样的正整数,共有多少个?把它们求出来.解设满足条件的正整数为 x,两个平方数分别是 a~2和b~2(a>b>0),依题意有     

一个不定方程解的应用(高二、高三)

定理m元一次不定方程x1 x2 … xm=n(m,n∈N,m,n≥2)的正整数解有C_(n-1)~(m-1)组,自然数解有C_(n m-1)~(m-1)组.证明①若xi为正整数,则这个不定方程正整数解的组数等价于x个小球之间有n-1个空隙,从中放入m-1个隔板,故其正整数解的组数为C_(n-1)~(m-1).