圆的多解问题分类解析

圆是初中几何的重点内容之一.在解圆的相关问题时,由于图形位置关系和形状、大小等因素的不确定,经常会出现多解的情况.现就圆的多解问题进行分类解析,帮助同学们掌握这类题的解法.P.ABO图3M NC'一、点与圆例1已知点P到⊙O的最近距离为3cm,最远距离为13cm,求⊙O的半径.解析:点P既可能在圆内,也可能在圆外如图1,设点P在⊙O的内部,过点P作直径AB,由题意可知AB=AP PB=16cm,则⊙O的半径为8cm;如图2,设点P在⊙O的外部,连结PO并延长,与⊙O分别交于A、B两点,由题意可知AB=PB-PA=10cm,则⊙O的半径为5cm.所以⊙O的半径为8cm或5cm.例2…     

解答圆问题“勾股”很给力

与圆的直径或与圆的切线有关的问题时学习中的一个重点和难点,在中考中屡见不鲜,解答它们,除了灵活利用圆的有关性质或定理外,别忘了利用勾股定理,有时它可助你一臂之力. 例1(2016年宁波市中考题)如图1,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)求DE的长.     

浅谈平几中切线的证法

平面几何《圆》一章中关于“切线的证明”是教学中的难点,教师难教,学生难学。为了突破这一难点,使学生充分掌握“切线证明”的思路和方法,可从以下两方面入手。1.明确切线的判定方法。当直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切。如图1,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线l和圆O相切d=r。因此用下述方法都可判定直线是圆的切线。(1)经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径,直线l与⊙O相切。(3)直线l与⊙O只有一个交点时,直线l与⊙O相切。2.分清切线的类型。平几中圆的切线大…     

两圆位置关系中出现的两线平行及其应用

两圆位置关系中,在一定的条件下图形中常常会出现两线平行的情况.解题时,如果抓住了两线平行,那么也就找到了解题的钥匙.1两圆相交出现的两线平行性质1:如图1,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D;经过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点     

圆中双解面面观

1.点和圆的位置关系不确定例1若点P到⊙O的最长距离是9,最短距离是3,则⊙O的半径为.解:此时点P可能在圆外,也可能在圆内,因此应该是双解,即⊙O的半径为6或3.2.点在弦上的位置不确定例2已知⊙O的两条弦AB和CD在圆内相交于点P,AP=3cm,PB=4cm,CD=8cm.则CP=cm.解:由相交弦定理得PA.     

对一道中考几何题的思考和探讨

题目如图1,已知两个等圆⊙O1、⊙O2相交于A、B两点,一条直线经过点A,分别与两圆相交于点C、D,MC切⊙O1于点C,MD切⊙O2于点D.若∠BCD＝30°,则∠M＝____.     

关于圆的两解问题

纵观近年来各省市中考试题,不难发现有关圆的两解问题经常出现.这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况.如果解题时考虑不严密,形成思维定势,就容易漏解.下面我将对圆中常见的两解问题举例分析,希望给同学们一点启示.一、点与圆的位置不确定【例1】在同一平面内,点P到⊙O的最长距离为8cm,最短距离2cm,则⊙O的半径为.思路提示:由于点P与⊙O的位置关系有如图1两种可能,所以⊙O的半径应为5cm或3cm.图1【例2】⊙O的直径为6cm,如果直线a上的一点C到点O的距离为3cm,则直线a与⊙O的位置关系是.思路提示:题中只涉及点C到圆心的距离,…     

涉圆最值问题归类解析

<正>前几年中考中常考的几何最值是"将军饮马"模型及其变式,动点轨迹是直线型,近几年中考中常考的几何最值常常与圆有关,动点轨迹是圆.基本模型如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.     

浅谈“切点三角形”的性质及应用

两圆外切时,该切点和一条外公切线与两圆的两个切点构成的三角形称为“切点三角形”.如图1,⊙O1与⊙O2外切于点P,AB为⊙O1和⊙O2的外公切线,A、B为切点.则△APB为切点三角形,它有一个重要的性质,即∠APB=90°.为了证明这一性质,不妨过点P作⊙O1和⊙O2的内公切线PC,交AB于点C.因     

两个尺规作图问题初探

本文探讨2个尺规作图问题:1?过圆外一点,作直线与圆相切.2?过圆外两点(这两点与圆心不共线),作圆与已知圆相切.希望能起到抛砖引玉的作用,让更多的尺规作图问题得到关注讨论.1过圆O外一点A作与圆O相切的直线问题已知:⊙O以及⊙O外一点A,求作直线过点A且与⊙O相切.作法:1?连结AO;2?取线段AO的中点B;3?以点B为圆心,BA长为半径作⊙B,交⊙O于点C、D;4?作直线AC、AD;则,直线AC、AD为所求.     

勾画“隐圆” 破解最值

<正>1几个结论1.如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.2.如图2,P是⊙O内的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.3.如图3,当点P在圆上时,直线PO交⊙O于点     

求解圆中常见问题时的几种“疏忽”

<正>在解答关于圆的问题时,正确的作图是一大难点,而在没有图形的情况下,同学们常常会出现如下的几种疏忽.一、关于点在优弧或劣弧上的疏忽例1在⊙O中,∠AOB=100°,点C在⊙O上,且点C不与点A、B重合,求∠ACB的度数分析如图,∠AOB把圆分成两部分,一部分为优弧AB,一部分为劣弧AB,点C可能     

例析分类讨论思想在圆中的应用

<正>由于圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;既具有对称任意性,又具有旋转不变性,因此往往给解题带来一定的复杂性.为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解,本文将分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析,供同学们学习时参考.一、点与圆的位置关系不唯一性例1已知点P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别为A,B,点C是⊙O上的任意一点(不与A,B重合).若∠APB=50°,求∠ACB的度数.分析解题时若对点C位置理解不透,     

一道课本例题的引申与运用

题目如图1,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.作两圆的内公切线,即何证明本题.如果把此题作为“基本     

开世定理的推广与应用

开世定理设⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4按逆时针的次序均内切于⊙O,对于1≤i相似文献   

利用圆的一个结论求一类线段最值

<正>圆中有一个结论,利用该结论可以求一类线段的最值.结论圆外或圆内一点到圆上各点间的线段中,当线段所在直线过圆心时取得最值.如图1、图2,若点P不在⊙O上,射线OP交⊙O于B,射线OP的反向延长线交⊙O于A,则点P到⊙O上各点之间的线段中,PB最短,PA最长.     

等幂轴及其应用

设平面上有定点P和半径为R的定圆⊙O,过P点向定圆⊙O作任一割线PAB,与⊙O交于A、B两点,由圆幂定理知PA^→·PB^→=PO^2-R^2为常数,则常数k=PA^→·PB^→=PO^2-R^2称为点P对⊙O的幂．平面内与两圆等幂的点的轨迹称为两圆的等幂轴或根轴．     

探索下去,趣味无穷(初三)

例1 如图1,AB是⊙O的直径,MN⊥AB于T,点D在MN上,连结AD交⊙O于点C. 求证:AC·AD=AB·AT. 分析本例只要连结BC,证△ABC∽△ADT就能推出AC·AD=AB·AT. 探索1 图1中的点D在直线MN上,但却是在⊙O外.根据点与圆的三种位置关系,可把点D沿着DM的方向移动,使它移到⊙O上(如图2).此     

巧用图形性质求解与圆有关的最值问题

<正>探究圆上的动点或与圆相交动线构成的线段的最值问题新颖别致,形式不拘一格,解决问题的方法灵活多变,造成许多同学产生畏难情绪.本文分类例说如何利用图形性质求解此类问题,以帮助同学解除疑惑.1.利用"直径是圆中最大的弦"求最值例1如图1,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两     

“一石双鸟”巧解圆

在解决某些数学问题的时候,需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准分成若干类,逐类讨论,才能得出正确的解答.这种解题方法称为分类讨论法.“圆”的内涵丰富,组合与变形可说是五彩缤纷,因此有关“圆”的问题常常是一题双值,需要采用分类讨论法.AB和CD在圆心O的同侧AB和CD在圆心O的异侧P在圆外P在圆上(不合题意)P在圆内1.点与圆的位置关系例1平面上一点P到⊙O上的点的距离最长为6cm,最短为2cm,求⊙O的半径.分析:点P的位置是在圆外、圆上还是圆内没有确定,因此对点P的位置要讨论:本题答案是r=2cm或r=4cm.2.弦与圆的位置关系例2直径为…