充满活力的韦达定理(上)

一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理,是初中数学中一个充满活力的定理,应用极为广泛.本文以1996、1997两年全国各地中考试题为例,介绍它的应用. 一、求一元二次方程根的对称式的值若x_1、x_2是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,应用韦达定理,可不解方程直接求得x_     

点击“△”应用的思维盲点

<正> 关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,我们知道有三个方面的应用: 1.不解方程,判别一元二次方程根的情况; 2.证明一元二次方程有无实数根; 3. 根据方程根的条件,求方程中待定系数的值. 我们在解与实数根相关的问题时,也常常使用“△”,但又常常被     

九年级“判别式和根与系数的关系”知识点解答

<正>中考数学试卷中,判别式和根与系数的关系是常考题．对于此类问题,同学们要先掌握一元二次方程综合性问题的解题思路,然后再正确使用数学思想解答问题．下面分析“判别式和根与系数的关系”知识点,并以此讲解几道解答题,希望可以帮助同学们熟练利用判别式和根与系数的关系知识点解答问题．一、一元二次方程判别式和根与系数的关系知识分析(一)一元二次方程根的判别式一元二次方程的一般式为ax²+bx+c=0(a≠0),判别式Δ=b²-4ac,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根．     

构造一元二次方程解题

一元二次方程是初中数学的重要内容.巧妙地构造一元二次方程,可以解决许多难度较大的问题.现以几道典型的竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的常用方法.一、应用方程根的定义例1若ab≠1,且有5a2+2001a+9=0,9b2+2001b+5=0,则ba的值是().(A)95(B)59(C)-20501(D)-20901(2001年全国初中数学联赛试题)解:显然b≠0,由9b2+2001b+5=0,得5b1#$2+2001·1b+9=0.又5a2+2001·a+9=0,由ab≠1知a≠b1,所以a、1b是方程5x2+2001x+9=0的两个根.由根与系数的关系知a·b1=95,即ba=59,选(B).二、应用根的判别式例2已知41(b-c)2=(a-b)(c-a),且a≠0,则b+a c=.(1999…     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a,这就是一元二次方程根与系数的关系,又称韦达定理.根与系数的关系在解题中有着广泛的应用.     

一元二次方程中的数学思想

一元二次方程是初中数学的重要内容,也是中考的热点.下面以2013年中考题为例,说明一元二次方程中常用的数学思想. 一、整体思想 例1 (2013年黔西南卷)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是____. 解析:∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根, ∴12+a+b=0,∴a+b=-1, ∴.a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1. 温馨小提示:本题主要考查一元二次方程解的概念,把根直接代入方程,即可求得a+b的值,然后整体代入求出代数式的值.     

一元二次方程根与系数的关系的应用

一元二次方程的根与系数的关系是中学代数的重要内容之一,也是一个难点。每年全国各省市中考数学试题中,都有与一元二次方程的根与系数的关系有关的试题。因此,本文介绍一元二次方程根与系数的关系的简单应用。 一、已知一根求另一根及待定系数的值 例1 已知方程2x~2+kx-10=0的一个根是-2,求它的另一个根及k的值。 (2000年江西省南昌市中考题)     

根与系数的关系在解题中的应用

以一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根与系数的关系为考点的中考试题 ,题型多样 ,解法灵活 ,且常考常新 .本文以 2 0 0 0年部分地区中考试题为例 ,说明根与系数的关系的应用 ,供同学们参考 .一、已知一元二次方程的一个根 ,求另一个根及参数的值例 1　已知方程 2ｘ2 +ｋｘ -1 0 =0的一个根为 -2 ,求它的另一个根及ｋ的值 .( 2 0 0 0年江西省中考题 )解　设另一个根为ｘ1 ,那么-2ｘ1 =-5.∴　ｘ1 =52 .∵　 -2 +52 =-ｋ2 ,∴　ｋ =-1 .∴　方程的另一个根为52 ,ｋ的值为 -1 .注　这种类型的题也可将根-2代入原方程 ,先求出ｋ的值 ,…     

一元二次方程根与系数关系题型示例

一元二次方程根与系数的关系是初中数学的重要内容之一,也是中考数学中经常考到的一个知识点.有关一元二次方程根与系数的关系的题目有很多类型,现举例说明,供大家参考. 一、讨论已知方程的根的性质、求根或根的代数式的值1.讨论方程根的性质例1 当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根?(2002年广东省广州市中考试题)解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,解得x=14.①(2)当a≠0时,Δ=42-4a(-1)=16+4a,令16+4a≥0,得a≥-4.∴当a≥-4且a≠0时,方程有两个实数根.②设方程的两个实数根为x1、x2,由根与系数的关系,得x1x2=-1a,x1+…     

一元二次方程根的判别式的应用

对于实数系一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 ) ,如果 b2 - 4ac>0 ,那么方程有两个不相等的实数根 ;b2 - 4ac<0 ,那么方程没有实数根 .这就是一元二次方程根的判别式定理 ,我们把△ =b2 - 4ac叫做方程 ax2+bx+c=0 (a≠ 0 )的判别式 .这个定理的逆命题也是成立的 .判别式定理揭示了一元二次方程的系数与它的根之间的内在联系 ,它的应用主要有以下几个方面 .1 .判断方程根的性质 .在初中阶段我们研究的是实数系数的一元二次方程 ,有下列命题 :(1 )一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )中 ,如果 a、 b、 c是有理数且△ =b2 - 4ac是一个完全平方数…     

一元二次方程根与系数的关系归类解析

初中教材的根与系数的关系定理是初中代数中最重要的定理之一,应用非常广泛.在学习和应用上述定理时要注意以下几点: 1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系,在运用时需先将一元二次方程化为标准形式ax2+bx+c=0(a≠0). 2.运用根与系数的关系定理的前提是方程有实数根.     

判别式在初中数学中的应用

众所周知,一元二次方程 ax2 bx c=0（a≠0）根的判别式是△=b2-4ac.它不仅在判断一元二次方程根的情况时起着重要作用,而且在数学中还有着广泛的应用.1 判别一元二次方程根的情况对于实系数一元二次方程 ax2 bx c=0（a≠0）,有△>0<=>方程有相异二实根,△=0     

含有字母系数的一元二次方程错解例析

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是初中数学的重点内容.解含有字母系数的一元二次方程时,常常会因对字母系数考虑不周,或对判别式运用不当而产生错误.例1求证:关于方程mx2-(m+2)x+1=0有实数根.错解:当m≠0时,Δ=[-(m+2)]2-4m=m2+4,∵m2≥0,∴m2+4>0.即原方程有两个不相等的实数根.分析:含有字母系数的方程不一定是一元二次方程,所以二次项系数也可能等于0,即应对二次项系数进行分类讨论.应补充:当m=0时,原方程变为-2x+1=0,此方程只有一个实数根x=12.例2关于x的方程mx2-(2m+1)x+m=0,有两个不相等的实数根,求m的取值范围.错解:根据题…     

根与系数的关系的应用

设方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x_1,x_2,那么 x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a).这就是一元二次方程根与系数的关系.由根与系数的关系,我们知道:以两个数 x_1,x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1+x_2)x+x_1·x_2=0.根与系数的关系使我们能够由方程来讨论根的性质;反之,则可以由根的性质来确定方程的系数.因而,根与系数的关系的应用相当广泛.我     

根与系数的关系的应用

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.现以2012年各地中考试题为例,说明根与系数的关系的应用. 一、已知一元二次方程,求两根关系式的值 例1 (2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么x2/x1+x1/x2的值为____.     

竞赛题中一元二次方程根与系数的关系应用举例

我们知道,一元二次方程的根与系数存在这样的关系:如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.根与系数的关系对于解决有关一元二次方程问题非常重要,且在竞赛题中"大显身手".     

根与系数的关系在二次函数中的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0和二次函数y=ax~2+bx+c的关系密不可分。在y=ax~2+bx+c中,当y=0时,就变成了ax~2+bx+c=0。而一元二次方程ax~2+bx+c=0的两根x_1,x_2,就是二次函数y=ax~2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。因此,根与系数的关系不但可以用于方程这中,也常用于二次函数之中。 一 求待定系数的值 例1 抛物线y=x~2-(2m-1)x-2m与x轴的     

容易忽视的“a”与“△”

<正> 一元二次方程的判别式及根与系数的关系是初中数学中的重点内容之一,同学们在应用时,常常忽视方程ax2+bx+c=0的“a”与“△”,错误有以下几种情况:     

构造一元二次方程解竞赛题

一元二次方程是初中数学的重要内容,在数学竞赛中经常出现.它是解决高次方程和其他方程的基础.有些从表面上看不是一元二次方程的问题,通过变形等手段,可以构造一元二次方程来解决.下面以竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的4种方法.一、根据方程根的定义构造例1若a·b≠1,且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0,则ab的值是().(A)95(B)59(C)-20015(D)-20019(2001年全国初中数学竞赛题)解:5a2+2001a+9=0.(1)因为b=0不是方程9b2+2001b+5=0的根,故可得5·(1b)2+2001·1b+9=0.(2)由(1)、(2)和方程根的定义可知a、1b都是方程5x2+2001x+9=0的根,31200…     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ac,这就是一元二次方程根与系数的关系.这两个关系式的应用十分广泛.