谈悖论对数学发展的影响

在数学史上,悖论对数学的发展产生了深远的影响。在解决悖论的过程中,各种理论应运而生：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。     

数学基础学派中的逻辑主义

十九世纪末,为了寻找数学的基础,数学家康托创立了著名的集合论。然在随着一系列悖论的发现,尤其是罗素悖论的发现,使得刚刚建立起来的令数学家激动的现代数学大厦的基础又发生了崩塌(第三次数学危机),引发了当时数学界关于数学的(哲学)基础的一场大辩论,并由不同的哲学观点而产生了逻辑主义、直觉主义及形式主义的三大学派。本文只就罗素、怀特海为代表的逻辑主义观点作些粗浅     

浅议集合论悖论

悖论的出现引起了数学领域的三次危机,特别是集合论悖论的出现所引发的第三次数学危机对数学界的震动最大、影响最深.数学家和逻辑学们在寻求解决办法的过程中形成了各种的学派,在不同领域促进了数学和其他科学的发展.     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于“无穷”的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论．还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于"无穷"的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论,还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

数学悖论对数学发展的影响

数学史上的三次数学危机都是由数学悖论引起的。论述了数学悖论及其引发的三次数学危机的产生与发展,及数学悖论对数学发展的作用。     

亦真亦幻话悖论

人们通常认为“数学真理是绝对真理”,“数学是逻辑推理严格性的典范”,然而正是在数学的严密中却隐藏着一颗定时炸弹——悖论。它不定时地引爆,一次又一次地引发数学危机,而危机的克服又无一例外地引起数学深刻的变革。因此,数学悖论以其神秘、深奥     

文化视角下的第二次数学危机

数学是一种文化,数学危机事实上就是一种在数学层面发生的文化危机.由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次危机。     

数学教学中制作CAI课件值得注意的几个问题

计算机辅助教学(CAI)在中小学数学教学中已经得到愈来愈广泛的应用,目前,由于教育媒体的变革以及由此而引发的现代教育技术的发展已经被称为继文字体系的出现,印刷术(特别是活字印刷术)的发明,广播、电视在教育中的应用后,在教育史上引发的"第四次教育革命".     

数学无穷思想的发展历程(续二)

柳暗花明又一村:无穷小重返数学舞台 17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学,用了无穷小量的概念,但因对其解释含糊不清,出现了贝克莱悖论,导致数学史上的“第二次数学危机”。19世纪,柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论,使微积分理论严格化,从而避免了贝克莱悖论,圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时,极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为“消失了量的幽魂”被排斥在数学殿堂之外了。     

数学史上的三次危机

数学的发展史同人类社会发展史一样，总是充满着矛盾，当矛盾激化到危及数学的基础时，就会产生数学危机，伴随着矛盾的解决，因而也就引发了数学的变革，推动着数学的发展，数学也就会增添新的内容和活力．历史上数学曾有三次大的危机．     

试论数学危机与数学的发展

数学这门学科始终围绕着数与形而展开。数学的发展并非一帆风顺,而是处处充满了危机。数学在其发展过程中经历了三次大的危机。探究这三次数学危机的历史根源、思想背景,分析危机的解决给数学带来的巨大促进作用,对了解数学这门学科的发展脉络、领略数学的旖旎风光与思想方法无疑具有十分重要的意义。     

论“物元分析(MEA)”对数学的开拓

一、数学的几次重大开拓 世界上有些科学家论述数学的重大进展或转折点时有所谓数学危机(Mathemati-cal crisis)的说法,认为第一次危机是公元前400年Hippasus发现不可通约性,对古希腊的数学观点有很大的冲击,他的同伴把他抛进了大海,这次“危机”导致无理数的出现。第二次危机是无穷小量引起的,反映数学内部有限与无穷小的矛盾、连续与离散的矛盾,与很早的Zeno悖论(运动不存在)相呼应,导致微积分的诞生(1665),第三次危机由Cantor集合论(1874)引起,出现了Russell悖论,导致数学基础的研     

实数理论的建立

数学史上出现过三次数学危机,并且,第三次危机直到现在都没有完全解决,这都是由于某些数学知识的逻辑基础不甚牢固引起的.因此,千百年来,数学家们都在为整个数学大厦寻找一个可靠的逻辑基础而不懈努力.然而分析的算术化,是以实数为基础的.如果不弄清实数的本质,不给实数一个明确的定义,建立实数的大小、运算等理论,数学中的许多知识将无法彻底弄清,如微积分中的连续函数的性质、柯西收敛准则的严格证明等.这就使得数学家们加快了建立实数理论的步伐.     

悖论与数学的三次危机简介

数学的变化、发展与其内在的矛盾——悖论是密切相关的,正是这些矛盾,导致了数学一次又一次的危机,又正是通过这些矛盾的解决,使得数学这个古老的机体一次又一次地从危机中崛起而更趋成熟壮大,本文拟通过简介悖论与三次危机,展示数学的变化发展及其逐步深化的过程.     

集合悖论再议

集合悖论的出现引发了世界数学界的震惊,史称第三次数学危机。针对集合论初创阶段逻辑结构还不够完善现象,数学家们尝试从逻辑上去寻找问题的症结,ZFC公理集合理论的提出,暂时避免了引发数学史上集合悖论的出现,但也不能说,危机就此完美解决。悖论破译的过程就是数学大发展之时,ZFC公理集合理论、模糊数学、集对分析等分支就是探索一种解决和处理集合的新方法。集对分析仍处于发展之中,若将经典微积分求系统变化率与集对分析理论求层次演化率相结合研究,定会促进集对分析向前发展。     

“同途”何以“异归”——从“认识厘米”的情境导入所想的

我校开展的一次同课异构活动:由同年级教师对同一节课(苏教版数学第三册第48～49页认识厘米)分别进行教学设计、上课,虽然教学内容相同,但由于教师的教学理念和对教材的理解不同,教学情况也不同。在此活动中的不同的新课导入引发了笔者对数学教学价值的一些思考。     

牛顿也有不谨慎的时候

“大自然与它的规律为夜色掩盖,上帝说,让牛顿出来吧,于是一切出现光明!” 在诗人波普给牛顿作的这个墓志铭里,表露了人们对历史上最杰出的科学家牛顿的无限敬仰和赞美之情。 牛顿在科学上的贡献的确很少有人能与之比拟。恩格斯说:“牛顿由于发现了万有引力定律而创立了科学的天文学,由于引进了光的分解而创立了科学的光学,由于建立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学,由于认识了力的本性而创立了科学的     

逻辑悖论随笔"第一次数学危机"是如何引发的--谈希帕索斯悖论与芝诺悖论

大约在公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了:等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约.这个不可通约量的发现和芝诺悖论一起引发了"第一次数学危机".     

现代数学与数学教育

数学是一门充满活力的科学．虽然在它的发展过程中出现了三次危机，并且目前仍处在第三次危机中，但这并不影响它强大的生命力．20世纪以来，数学又取得了长足的进展，展现出许多新的特点，从而跨入了现代数学时代．它以崭新的面貌出现在我们的眼前，它在改变世界，也在改变数学教育．