方程(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)=k的一种解法

本刊84年第一期曾译介苏联《数学教学》刊登的解法.本文给出方程 侧ax+b士订‘e劣+房=无(1)的另一解法.不妨设无护0.将等式 (a劣+b)一(e劣+d)=(a一c)x+(b一己)两边除以(1)的两边:、而丁不了干、而丁万丁_a一C 无b一‘ 垂(1)十(2),两边平方即得二次方程.(2)4(a劣+b)二(罕·朴竺书二).例1解 (3).解方程侧3x十1一了:+4=1.今3)’袱一;份飞、钟叭‘:=5·验知:=5是原方程的根. 例2.解方程召矛丁牙二及+侧万恋万丽不了二3。 解等式(护一:一2)一(x2一3:+5)=2‘一7两边除以原方程两边,再与原方程相加,平方整理: 8劣2一1 12一19二0。解得:x,=一1,x:=…     

关于椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1与抛物线y=px~2-q公共点问题

设P>o,由y~P尹一q中解出尹,代入椭圆方程整理得a ZPyZ+b,夕+(占2叮一a’bZP)=0.记△一夕一4a’p(b,q一aZ护p),则两曲线 1.△,时,相切于两 乙“点. __b_._,、___。匕△夕O且P乡耳孤万,q夕b盯,父寸四点· 乙〔遥对双曲线荟一答一1与抛物线,2一,二 “U一q可类似讨论.关于椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1与…     

利用结论 巧解赛题

结论若a+b+。~0,ab‘笋0,则l,1 .1-石一十兀下一.十一花一~a“O“‘.,1,1 .1、,L—日一下尸~卜—,“. a口‘二,l,1 .1、,一气—叶~~下-州卜—,“ aD‘ 1,l,12一一不刃日一一了犷州卜一下一州卜一-丁一La十白叫卜c少 a“O“f一aD汇,a十b+c~0,十告+告一(告+含+分·若a,b,乙为两两不等的有理数,明L证·二例求证理数 了1,1 .1、,一:^l,二ee一一了二二十一万厂一--万了十-丁一一-二二刀有 V气况一口,“又口一门“气亡一d,“-.(北京市1991,初二数学竞赛决赛题)证明’.’(a一b)+(b一。)+(。一a)~0, 1‘1 .1 ,厂一一一下不丁歹十一万二一一一二…     

介绍形如(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)=k的无理方程的一种解法

解形如 了ax+b土了ex+d=k(.)的无理方程时,通常采用的方法是把方程的两边平方两次(包括移项过程),然后解一个一元二次方程。这样做往往要进行较烦琐的运算。下面介绍一种解法,其基本思想是,设法建立一个关于训ax十b和亿石不而的二元一次方程组,解出亿石玉下下或、‘丽不万,再求出x. 不难验证下列等式成立:.’.x=52一8了39.方程无其它根,这是由于方程丫告“石+了介而=一了譬无根。 检验:亿55一8侧而+衍I石刃瓜扇二杯(了59一凌)’+亿(s一丙。)2二4(、/ax+b士切ex+d)“=(丫誊“石干了+‘一,(令一导). 由本例可以看到,利用这种方法麻方程(·)时…     

巧求轮换对称式的值

例l已知歹牵夏一“窗子诬一‘,,求i译石十击+r认的值· 解根据已知条件,由合比性质,得 忍x+y一‘,x十y十二并①②③ X劣+y+艺 yx+y十二 之 二+y+之①十②十③,得 召1十a’ b1+b’ C1十c. 己1+a b .c州卜万-节产一下.十二一气下一,一1。 1.,we夕1.冲一‘~_一一.,_,,_~了1‘1),!Z匕‘为1口一卜口一卜c~V,a口c7:U,习陀al几歹.州一一丁{一卜 、口‘,州告十引+c暗+翻+3的值· 解将3写成号十会十含,则原式一誉十令+含+粤+含十冬+生十口口至b十三 1,,.、.1,:,.、,1,.;.、八一一仁ad一D月一‘户七卜下万戈“一卜o--t esc夕一r气、“月一o州一c夕…     

数学练习题(十二)解答

日T.设0《a,b,c(1,求证 a .b,c.,J_、,J,、,J、,J一丁-一丁一;尸一下-气二十下一一泞一二一下一一,十,丁-下一一,一下下,卞Li一a少LI一0少(i一‘少荟盏1。1十O十‘1十‘十al十“十口证设O‘a(b(‘(1,由于刁门+。+。)(z一。)(i一。)镇二工土兰土互立二里二兰上立上全曰-一2. J (1+a+乙)(1一a)(1一乙)(1. :、一1以{J Ll一a少气1一Uj尧;二~;兀不~厂. 1卞“勺卜U (1一a)(1一b)(1一e 一1一C1妥》、— 一1十a+b工一a1一+1一万+(1一“)(1一b)(1一c)(1a+b+e气万一一一不面一十气1一1~卜a十Oa)(1一乙)(1一c)(1.石一否一 一 一 a1+b+e 1+1十C+…     

用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

比较11~(1/2)-3~(1/2)与10~(1/2)-2~(1/2)大小的方法

1 .公式法因为 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,又因为 11+3 >10 +2 >0 ,所以11-3 <10 -2 .2 .倒数法由 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,有　 111-3 =11+38,110 -2 =10 +28.由于 11+3 >10 +2 ,所以111-3 >110 -2 .故 11-3 <10 -2 .3 .求差法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11+2 ) -( 10 +3 ) .由于 ( 11+2 ) 2 =13 +2 2 2 <　　 ( 10 +3 ) 2 =13 +2 3 0 ,故 ( 11+2 ) -( 10 +3 ) <0 .所以 ,11-3 <10 -2 .4.找规律法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11-10 ) -( 3 -2 ) .由于 1-0 >2 -1>3 -2 >4-3 >… ,有　 3 -2 >11-10 .…     

第十届“希望杯”数学邀请赛(初二 第2试)

(初二第2试) 一、选择题(每小题6分,共60分) 1.下列五个多项式: ①。Zb“一。2一夕一1;恒)一9。护+27二“一27二“; ③x(b十c一d)一y(d一卜一2c十Zd一2如 ④3m(m一、)+6、(。一,);⑤(x一2)“+4x,其中在有理数范围内可以进行因式分解的有().(A)①,②,③(B)②,③,④(C)③,④,⑤(D)①,②,④2.关于二,y的方程尹y~180的正整数解有((A)1至且(B)2建且(C)3组(D)4组3.已知实数x满足条件x>、万x+1,那么v交二不面i+般x一3)3的值等于(). (A)Zx一1(B)一Zx+1(C) 4.已知。,b,c为正数,且。共b,若一5(D)1十l一一而 一一 y 1:1 .1一—叶~代井州卜—, C…     

y=~(1/2)ax ~(1/2)ax~2 bx c(a>0)一类函数的值域

文〔1〕通过反例(xx 丫妥万一0)指出;用y~x十试了二万牙干厄的定义域(一co,1」U〔2, 当x妻一b2a时,,>、(2二十音) ︶一、少 二‘。7一a 一︻.云口一卜︸产b一护/甲"一2~.一,2b多弓丫a弋一万一 乙a b、十-万少~一 乙co)及解得的x~vZ一2Zy一3建立不等式料毛当x<一b2a时,y>丫万(一1或料刃,求出此函数的值域M一(一,晋,日(晋, \)是错误的;并用图解法了即求直线系y~一x十y(y为参数)与双曲线y一丫牙二石不厄(y)0)存在交点的条件),得出此函数的正确值域M一〔1,普)。〔2,?)·本文先剖析上述错解的错误原因,然后用代数方法…     

中考模拟试卷(2)

选择题(将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内. 每题2分,共30分)一(一3)2一().(A)一9(B)9(C)一8(D)一6一种细菌的半径是3.5又10一”米,用小数表示为(单位仍用米)().(A)0 .035(B)0.0035(C)0.00035(D)0.000035已知实数。、b在数轴上表示的点A、召的位置如图所示 AB一一J一一一一一一一一一‘一一月卜 a Ob,则、认一bl等于((A)己+b(B)口一b(C)b一“(D)一伍+b)下列多项式中,能运用公式法进行因式分解的是().(A)倪2一10口+20(B)一(一m)2一9刀2(C)8x3+少12(D)4“2十6己b+9b2下面说法中正确的是().(A)正整数和负整数统称整数(B)…     

1990年全国高校招生考试数学(理)试题

一、选择题(共15题,每下题3分)(i)方程21og3x一于的解是()‘A)x一;;‘”)x一粤;‘C)x一侧。;(“卜9(2)把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋 转2兀邝,所得到的向量对应的复数是 (),‘、1一了3气2飞夕一一舀一一 ‘丫百 一1+了j十一一二一 艺艺;(B)一1+了互一1一训3:’ 2(C)一1‘侧亏 21一训亏2一勺,。、1一侧豆气」夕夕—又一一 ‘(A)圆,(B)椭圆,(C)双曲线一支;(D)抛物线.(。)设全集I={(x,刀)【x,万〔R},集合材 、,万一3 二{(x,万)渭…一秀二1};N={(x,窗)1刀笋 口‘’x一2‘声’一’、““’口‘’口’ x十l}那么五了百可等于()(A)必多(…     

一组解析几何试题(1982年日本高考题选译)

①②一、昭和医科大学题题设有二曲线,~护(1)(2) 红二尸一Zx+3求①和②的公切线在①上取一点P,在②上取一点口,p和p‘的夕坐标设为yl、一y,,作出直线AP和A’P‘的方程,可以求其交点.利用点(x,,万,)在椭圆上,消去x,、刀,即可. 解答平行于y轴的直线为x~x、,P、p’的坐标一没为②③线段pQ的中点设为R。图示点R所在的区域.解(功所求公切线设为y一ax+乙,对于①、②有 xZ一刀x一乙一O,xZ一(2+。)x+3一b一0。的判别式各为0, 即a“斗4b一0, (2+a)“一4(3一b)一0 解之a~2,b一一1. 答:歹~Zx一1. (2)设P(a,aZ)、Q(口,夕2一2口+3),中点R的坐标(X…     

第28届IMO候选题及解答(2)

5.证明:若a.b,c是三.角形的三边,且25二a+b+e,则。I因为2(a十b+c夕黑D十C十一竺- a+C en~厂2、十~一一一-二一‘二‘耳—} a+D\3/8·n一’.厂二一~十二生一\a+l〕匕+Cn专1丫" 6.给定5个实数U。,明:总能找到5个实数V。足下列条件.U,,U:,U3,U;.121丁,V,,V:.V3,、厂‘i}街及+击〕脚 a竺粤{竺〕〔梦(a一卜b+c)听以「匀(l)得到 (1)U;一V:eN: (2)习(\厂、一\rj)“<4. o‘i相似文献   

代数与初等函数自测试题(二) 参考答案

三函角数(一)1一立;竺竺-;一翌二…; 4 471一犷 9︺43--a 一一丫二;些兰二; .712杯五万 1 195了119。4。三b1 19 O、l‘、少 Z 任 k5·{叫日6.一鲤。二Zk二一红 77.纽:255非奇非偶; 3奇。9。8.奇,偶;_2了3.‘.一︸今山7 JZ ︸.止 1土i。10.{x}x=k二,k任z}。、矛、了、夕 Z 任 动k5厄一’x=Zk二+垫 X了龟,、矛吃x=Zk二+三, 212。<,、,Lr饱、夕 Z 任 卜八>。(二)1 .D。2.C(三)1.丫2 .x(四)1 .1。2.1(六)1 .2。2二‘J之叮 3 .B。4 .B。3。K4.侧5 .x3。esea一seea12一13 3.两角和与差的三角函数(一)1.乙{兰; 26一丝丝鱼; 26 7 17n一—;一…     

和式sum form k=1 to n (k (k 1))~(1/2)界的估计

文【l]中证明不等式 丛写』<一 ~ ……十八又万.沙于卫 卫互卫犷上与位梦广作为和式的上下界是不理想的,因为 达专止一业尸一宁一(,一). (1) 本文拟对(1)的上下界进行改进. 引理1设0相似文献   

(a~2 +b~2 +k_1ab)~(1/2)+(b~2 +c~2 +k_2bc)~(1/2)>(a~2 +c~2 +k_3ac)~(1/2)的探究——反思、与读者也与自己对话

我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1　已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远…     

关于不等式证明的一点注记

考虑不等式的证明题:设a、西任R+,a+石=1,求证 /1\/,1\~25 ‘a十立}(b+一宁一!夕竿。 、“’a八“‘b/2 4.学生在证明中,常用其中箫(燕)’=4等号也在a=b=于时达到,所以(二告)(”一))2{矗+毙x4+2 1__口+一丁中幼事名 “ 1__D+万乡乙, 25=万.而这只能得到(·+告)(”+去),4.如用式子(·+一;)(”+丢)=,6·“+真 ba+万+下如果注意到a+告一2,。+含=2,a+”=1~15ab 二、*_:一(a+b)二1,、~‘。。、、丫。。 升比息a口飞一一不一-二)一七匕川1甘到习〔明 性峙不可能同时满足,所以下界4不能达到,还可进一步改进.由于(a+告)(”+一会)二·。+矗+万+下如…     

关于三角形角平分线的一个不等式

设t:,t、,t。为△ABC止条角平分线长,P二合‘a+“十“,:和R分别为内一切圆和外接圆半径,则,:、,:::,一(一誉一)当且仪当△ABC为正三角形时取等号.证由正余弦定理有乏=白c一 a么bC(b+c)2=吞‘一 a Zbc(ZP一a)2则比十t毛十嵘 =bc+ca+ /a I_+ \(Zp一a)2ab一abc 石(Zp一b)么 c、十~一—一—._ (ZP一c)2/’不妨设a)b)c>O,则 1ZP一召》 土~1——‘弓莽——ZP一b一ZP一c>O由切比雪夫不等式有一一卫一一-十(ZP一a)2 b(ZP一b)名十(ZPC一C))合‘a+”+‘,〔 1(Zp一a)2 1(ZP一b)么(ZP1一c)2〕 1厂1 .1 .1、.__.—-一一字-一一:宁一一—.…