判别函数图象对称性的一组命题及应用

常用于判别函数图象对称性的命题可归纳如下:命题1　若函数y=f(x)满足f(a x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a b2对称.证　在y=f(x)图象上取A(a x0,y0),B(b-x0,y0),则AB中点为(a b2,y0),且对任一x0都成立,由x0任意性可知f(x)的图象关于直线x=a b2对称.推论1　若函数y=f(x)满足f(a ωx)=f(b-ωx),则y=f(ωx)关于x=12ω(a b)对称,即y=f(x)关于x=a b2对称.证　设ωx=t,则f(a t)=f(b-t),从而函数y=f(t)关于t=a b2对称,即y=f(ωx)关于直线x=a b2ω对称,或y=f(x)关于直线x=a b2对称.命题2　函数y=f(x)若满足f(a x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于…     

“准对称”函数问题的本源与化解

<正>一、"准对称"函数的概念我们知道,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a-x)=f(a+x)(或f(x)=f(2a-x)).倘若引入二元变量x_1、x_2后,该命题又可表述为:若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则x_1+x_2=2af(x_1)=f(x_2),比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.假设上述对称函数y=f(x)在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变,此时得到新的函数y=g(x)的图象必然呈现非轴对称     

三次函数图象对称中心的一条性质

正引理(1)若函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a))对称 函数y=f'(x)的图象关于直线x=a对称;(2)三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象Γ关于点A(-b/3a,f(-b/3a))对称     

例析满足“f(x)=f(2a-x)”的函数的图象的对称性的应用

定理定义在R上的函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称的充要条件是f(x)=f(2a-x)(a∈R)证明:(1)充分性由f(x)=f(2a-x)可知若点A(x,y)是y=f(x)的图象上的任意一点,则点A′(2a-x,y)也在其图象上∵点A与A′关于直线x=a对称∴函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(2)必要性设A(x,y)是y=f(     

关于函数图象对称性的几个重要结论及应用

结论1设a、b为常数,则函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x=a+b/2对称的充要条件是:对任意实数x,都有f(a+x)= g(b-x)．证明:(1)充分性:设点P(a+x0,y0)是函数y=f(x)的图象上任意     

两类不同的轴对称问题

在高中数学《函数》一章的学习中,我们经常会遇到形如以下题型的轴对称问题:[问题1]设x∈R,则函数y=f(1-x)和y=f(1+x)的图象关于().A.直线x=0对称B.直线x=1对称C.直线y=0对称D.直线y=1对称[问题2]设x∈R,函数y=f(x)满足f(1-x)=f(1+x),则y=f(x)的图象关于().A.直线x=0对称B.直线x=1对称C.直线y=0对称D.直线y=1对称有很多同学会认为这两道题的本质相同,答案都是B.而事实上,它们是两类不同的轴对称问题:前者是两个函数图象之间的对称问题,后者是一个函数图象内部的对称问题.为了让学生能够认识这类问题的本质,本文就这类问题作出探讨.[命…     

函数图象的对称性问题

函数图象的对称性反映了函数的特性 ,是研究函数性质的一个重要方面 ,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。现将其系统归纳出来 ,以便对此有一个比较清晰的认识。一、同一个函数本身的对称性1.二次函数 y=ax2 + bx+ c(a≠ 0 ,且 a、b、c∈ R)的图象关于直线x=- b2 a对称。2 .奇函数的图象关于原点对称 ;偶函数的图象关于直线 x=0 (即y轴 )对称。3.函数 y=Asin(ωx+ Φ)的图象的对称中心是点 (kπ-Φω ,0 ) ,对称轴是直线 x=1ω(kπ+ π2 -Φ ) (k∈ Z)。函数 y=Acos(ωx+ Φ)的图象的对称中心是点 …     

函数y=f(x+1)的反函数是y=f~(-1)(x+1)吗

如果函数y=f(x)有反函数y=f~(-1)(x),那么函数y=f(x+1)的反函数就是y=f~(-1)(x+1)吗? 例已知f(x)=2~x,函数y=g(x)的图象与函数y=f~(-1)(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(2)。     

两类函数图象对称轴的辨析

下面是两个常见的有关函数图象对称的问题: 1．定义在R上的函数y=f(x)满足f(a -x)=f(a-x),那么y=f(x)的图象关于直线 _____对称; 2．定义在R上的函数y=f(a x)与y= f(a-x)的图象关于直线_____对称．这两个问题,外形相似,极易混淆．实际上,第1题是一个函数的自对称问题,答案是关于直线x=a对称;第2题是两个函数的互对称问题,答案是关于直线x=0对称．     

互为反函数的一个充要条件

<正>关于反函数有以下众所周知的性质:函数y=f(x),x∈A(y∈C)的图象与它的反函数y=f-1(x),x∈C(y∈A)的图象关于直线y=x对称.近期发现有多家杂志提及到了它的逆命题:如果两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数是互为反函数.这几家杂志的作者的观点均以为这是一个假命题,但都没有反例显示.笔者考虑到这是一个有意思的问题,很     

由条件f(ωx+ψ)≡f(x)确定的函数f(x)

本文的f(x)是定义在A上的函数,对于任何一个x∈A,都有f(ωx+ψ)=f(x)(其中ω、ψ为常数).众所周知,在上式中当ω=1、ψ≠0时,f(x)是T=ψ的周期函数;当ω=-1时f(x)的图像关于直线x=-ψ/2对称;当ω=0时f(x)是常值函数y=f(ψ).那么,当ω≠±1、0时f(x)又是如何的函数呢?     

抽象函数的两个性质

性质一一个偶函数的图象若关于直线x=a(a≠0)对称,则这个函数为周期函数,且2a为它的周期. 证明设f(x)是偶函数,因其图象关于y轴对称,所以,如果点(x,y)在图象上,则点(-x,y)也在图象上,即f(-x)=f(x).又因其图象关于直线x=a对称,所以点(x+2a,y)也应在图象上,即f(2a+x)=f(-x),于是f(x)=f(-x)=f(x+2a)对于一切x都成立,f(x)为周期函数,2a为它的周期.     

容易混淆的两种“对称”

先看一个例子(97全国文科高考题)。设函数y=f(x)定义在实数集上,函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于………( ) (A)直线y=1对称;(B)直线x=0对称; (C)直线y=0对称;(D)直线x=1对称。 解:用(x 1)代替f(x-1)=f(1-x)式中的x,可得f(0 x)=f(0-x),由对称性定     

函数周期性与图象的对称性应用例谈

课本中给出了奇偶函数的定义:f(x)是奇函数f(-x)=-f(x),f(x)是偶函数f(-x)=f(x).它们的图象特征是:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.关于原点(y轴)对称的函数是奇(偶)函数.把以上结论加以推广:就有:命题1:设函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a2 b对称.命题2:定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x a)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点a2 b,0对称.这两个命题是关于同一个函数图象本身的对称性,对于两个函数图象之间的对称性,有下列结论:命题3:定义在R上的函数y=f(x),函数y=f(a x)与y…     

函数中的有关对称问题

函数中的对称问题是函数的重要性质之一 ,它是研究函数的性质 ,作出函数图象的重要依据 ,也是高考试题中常考的考点之一 ,处理函数的有关问题要注重研究其对称性 ,利用数形结合的方法解决问题 .函数图象的对称性有图象关于点的对称及关于直线的对称 ,下面分别讨论 .一、函数 y =f (x)的图象成轴对称图形命题 1:设函数 y =f ( x)的定义域为 R,且满足条件 :f ( x a) =f ( b - x) ,则函数 y =f ( x)的图象关于直线 x =a b2 成轴对称图形 .证明 :设函数的图象上任一点 P( x,y) ,它关于直线 x =a b2 的对称点为 P′( x′,y′) ,则 x =a b- x…     

函数图象的对称

对称是函数图象的重要性质之一。 1.若函数 y=f(x)适合条件f(-x) =f(x)(偶函数),则函数图象关于y轴成轴对称图形。 (包括多值函数,下同) 2.若函数y=f(x)适合条件f(m-x)=f(m x),则函数图象关于直线x=m成轴对称图形。 3.若函数y=f(x)适合条件f(x)=-f(x),则函数图象关于x轴成轴对图形。 4.若函数 y=f(x)适合条件x=f(y),则函数图象关于直线y=x成轴对称图形。     

一类分段函数解析式的求法

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数 .已知一个函数在某一区间上的解析式 ,求它在另一个区间上的表达式 ,这是分段函数中最常见的问题 .由于给出条件的不同 ,常有如下分类 .1　关于直线 x=a对称若题设中有函数图象关于直线 x=a对称的条件 ,则有 f (x) =f (2 a- x) ,特别地 ,当 a=0时 ,则 f (x) =f(- x) ,即此函数为偶函数 .例 1　已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 ,若当 x≤ 1时 ,y=x2 + 1,则当x>1时 ,y=.(1991年上海高考题 )解　当 x>1时 ,则 2 - x<1,依题设有f(2 - x) =(2 - x) 2 + 1.又 y=f (x)的图象关于 x=1对称 ,…     

例析函数对称性和周期性

<正>一、函数的对称性定理1:若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。定理2:若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图像关于点     

偶函数的周期性和对称性

引理如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a与直线x=b(a≠b)都对称,那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=2(a-b)     

一道反函数题的错解剖析

例已知f(x)=2x 3/x-1,若函数g(x)的图象与y=f-1(x 1)的图象关于直线y=x对称,则 g(3)=__.