用函数思想解决数列问题

数列性质的研究主要是通过其通项公式、前n项和公式及相邻项的关系来进行的，我们还可以把数列看成是一种以正整数n为变量的函数，数列的性质就可通过函数的性质反映出来，这样，我们就可以用函数的思想、方法解决数列问题，这为数列问题的解决提供了一种新的方向，以下是笔者在教学过程中一点体会，希望对同学的复习有所启迪。     

关于数列的通项公式的探究

对于数列的通项公式，教材是这样定义的：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式是数列的基础知识，是数列教学的重要内容，本对数列的通项公式的教学提出如下两点补充意见。     

一道高考模拟题的研究性教学过程

1问题的提出 题目已知数列{αn}满足α1=5，α2=5，αn＋1=αn＋6αn-1（n≥2,n∈N^＊）,若数列{αn＋1＋λαn}是等比数列，求所有λ的值，并求数列{αn}的通项公式。     

由Sn=f（an）求an的策略

在有关数列问题中，经常要求数列的通项，许多同学对此类问题感到困难．特别是给出Sn与an的函数关系，即Sn=F(an)型，其中Sn表示数列{an}的前n项和，an表示数列的第n项．此类题难就难在关系复杂，不便转化．下面笔者根据自己的教学实践谈一谈此类问题的解题策略．     

数学问答

63.问:数列1,1,2,3,5,8,13,21,……从第三项起,它的每一项都是前两项之和,求其前n项和. (重庆市钢城中学高一(2)班唐大君)答:由递推关系a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3)所确定的数列称为斐波那契数列,通过特征方程可求出其通 .现在,你     

数列通项公式求法

数列的通项公式是一个数列的第n项(即an)与项数n之间的函数关系，知道了数列的通项公式就可以求出数列的每一项，即这个数列就是确定的，因此求数列的通项是解数列题的突破口、关键点。     

等差数列与等比数例的一题多解

数列是中学数学教学的一个主要课题，是初等数学与高等数学的一个衔接点，并且很多数列题的技巧性强，从而难度大。等差数列与等比数列是两种特殊数列，主要涉及到的有a1，an，d(q)，n，Sn这五个基本量，五个基本量中任知其中三个，就可求出其余2个，但在实际数列题中，题目并不会如此简单，它总有一些值得深思与发掘的东西。本文通过两个例题的分析，希望能给数列中一题多解的教学和学生的学习一些启发。     

巧用数学思想解答数列问题

1.归纳思想归纳思想是数列学习过程中的重要思想方法之一,教师要重视学生观察、发现、猜想、归纳等学习过程的体验,强调归纳思想的具体运用.例1写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30……的一个通项公式,并验证2563是否为该数列中的一项.解:数列每项由两个数的和组成,第1个数都是13,第2个数分别为2,6,12,20,30,……,都是两个连续自然数的乘积:1×2,2×3,3×4,4×5,5×6…….∴该数列的通项公式为an=13+n(n+1)(n∈N+).令13+n(n+1)=2563,即n2+n-2550=0,解得n=50或n=-51(舍去).     

运用函数与方程思想解决数列问题

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都是n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的n的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决．     

利用数列的单调性解题

判断数列{an}的单调性只需比较a(n+1)与an的大小，若a(n+1)&;gt;an，则称数列{ab}是递增数列；若a(n+1)&;lt;an，则称{an}是递减数列．数列的单调性在解题中有广泛的应用．     

数列前n项和的若干求法

数列求和是数列部分研究的重要内容之一,许多数列问题,尤其是数列综合性问题,往往都涉及求数列的前n项和.为此,有必要对数列前n项和的求法作一研究.以下笔者列出6种常用方法.方法1公式求和法例1（2011年天津卷）已知{a n}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,S n为{a n}的前n项和,n∈N＊。     

例说交数列

若c∈{α１，α2，α3，…，αn，…}∩{b1，b2，b3，……bn，…}，则称c为数列{αn}与{bn}的公共项．将数列{αn与{bn}的所有公共项，按它们在原数列{αn}中的先后顺序排成的数列{cn}，称为数列{αn}与{bn}的交数列．这是一个有趣而又值得研究的问题．尽管这类问题难度大，综合性强，但大多可以转化为整除性问题，下面举例说明．     

数列中的探索性问题分类解析

数列中的探索性问题，常以探求数列的通项，前n项和及比较大小关系等为背景，考查学生运用数列有关知识和“观察，分析，归纳，猜想，用数学归纳法证题”的能力。下面对这类问题的求解进行探讨。     

例析数列求和的常用技巧

正数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列求和都需要一定的技巧.下面,笔者就列举一些常用的数列求和的技巧.一、倒序相加法在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n项和公式的推导方法).     

用构造法求数列的通项公式

在数列中除了等差数列和等比数列外．还有很多其它数列，它们的特点是通过数列的递推公式给出，我们恰恰可以根据此递推公式构造出一个新数列，通过求新数列的通项公式或前n项和或前n项积来间接求出原来数列的通项公式，对于不同的递推公式，我们可以采用不同方法构造不同类型的新数列，下面给出几种常见的构造新数列的方法。     

巧用牛顿恒等式及推论解题

牛顿恒等式对于数列{αn}，αn=Ax2^n Bx2^n，若x1、x2是方程x^2 px q=0的两根，则     

数列中与Sn有关的问题解法

作为数列的解答题，经常碰到与前n项和Sn有关的题型，由于其解法灵活，方法多变，数学思想联系密切，考查知识面广，因而值得重视．     

例析运用定积分证明有关正整数的不等式

在高中数学教学中,介绍了一些求特殊数列前n项和的方法,但当遇到一些非特殊数列的前n项和的时候,就往往不能用这些特殊的求和方法.而当某些数列的前n项和不易求出时,可考虑用定积分的性质,通过其上下界来解决不等关系.     

a（n＋1）=pan＋r型数列的求解方法

题目 设a1=5，a(n 1)=2an 3，求数列{an}的通项公式．这是一道非常有研究价值的常见数列题，其不同解法涵盖了求数列通项公式的主要方法和知识点，不仅可以加深“形如a(n 1)=pan r(p≠0，p≠1)的递推数列问题”的认识，而且对解题能力的提高和训练思维的灵活性都大有益处．     

例说数列前n项积的求法

在前几年的高考中，对于数列的考查，经常性的两个问题是：（1）求通项，（2）求和．这两个简单的问题模式随着新课程改革的进行，风光渐渐退去．新高考对于数列的考查也逐渐渗透了新的考查方式．特别是福建省的高考，近年经常出现对数列前n项积的考查．通过类比联想，我们猜想数列前n项积的求法应该可以类比于数列前n项和的求法．数列前n项和的求法，通常的技巧为：（1）倒序相加；（2）错位相减；（3）裂项相消等方法．那么数列前n项积的求法是否也有这样的一些技巧呢？下面对两种数列前札项积的求法进行分析和总结．