平均值的统一处理——基于一有启发性的几何模型

在“数学教师”杂志的一篇文章中(Ercolano1973),作者要人们注意两个正数的调和平均值及其对这两个数的算术平均值和几何平均值的关系.他说明了如何用几何方法构造出这些平均值,但是人们仍希望对这样一个平均值能有一个解释或例子.事实上,除了 a 和b 的算术平均值外,那些完全不明白为什么要引入其他的平均值的学生,对这些平均值的理解看来是模糊的.     

利用构造图形证明不等式

在不等式的证明中,根据不等式的结构特点,构造图形,运用图形几何特征证明不等式,往往可以避免繁琐的计算,以达到证明不等式的目的.现提供几个例子,以供读者赏析.一、构造图形,用面积关系证明     

探索镶嵌与正多边形之间的关系

在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现有些地板是用各种正多边形地砖铺砌成的美丽图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空隙,又不互相重叠(称为平面镶嵌).那么就请同学们结合实际观察,给出一种平面镶嵌的例子.这对同学们一定不困难,你一定会很快画出一个图.有了这种体验,现在问问自己,还可以做什么?(希望同学们先不要看下面的内容,自己列几个问题,做一做,说不定你会发现自己还很有创造力呢!)首先同学们可以继续探索,画出一些用两种或两种以上正多边形进行平面镶嵌的图形.下面的例子仅供同学们参…     

极坐标系下求平面图形面积的技巧

求平面图形的面积是定积分在几何中的一个最基本的应用,当某些平面图形的边界曲线以极坐标方程给出时,我们可以考虑直接用极坐标来计算这些平面图形的面积。本文就从具体的几个例子出发,探讨了如何在极坐标下求平面图形的面积问题。     

平面几何图形滚动的奥秘

近年来高考中出现了平面图形的滚动问题,试题难度大,得分率低问题通常包括求滚动轨迹,求围成图形的面积或者周长等方面;又涉及在直线上滚动、在平面图形外部滚动和在平面图形内部滚动等类别求解这类问题的关键点是弄清楚滚动的轨迹,而同学们常常因画不出滚动的轨迹而无从下手,只能凭空猜测.下面笔者以几个例子说明求滚动轨迹的方法和技巧,与读者共     

对一个成图的改进

图1、图2是人们熟知的两个图形,它们显示了两个正实数a和b的算术平均(AM)、几何平均(GM)和调和平均(HM)之间的关系.巴布斯在公元320年就在一个半圆图形中作出了这三个均值。本文将引入一个更简单而有趣的图形,它不仅包含了这三个平均,而且包含了平均的一个完整的连续统。算术平均≥几何平均≥调和平均(AM≥GM≥HM)这一熟知的顺序关系,也在包含其它平均的类似顺序关系中一起显示出来。     

两个重要不等式的一般化

对于任意两个正数a和b,它们的算术平均值A、几何平均值G、调和平均值H三者之间有如下关系A≥G≥H,即式中等号当且仅当a=b成立.这两个重要不等式是中学生熟悉的.将这个结论推广到任     

最值问题中的几何方法

数形结合是基本的数学思想方法 ,数形结合可以将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题 .本文所介绍的几个例子说明代数、三角中的最值问题 ,也可以借助几何方法来获得解决 .一、利用平面几何图形例 1　求函数ｙ=ｘ2 + 4+ｘ2 -4ｘ + 5的最小值 .分析　本题要求无理函数最值 ,用代数方法比较困难 .若将函数表达式变形为ｙ =(ｘ-0 ) 2 + ( 0 -2 ) 2+ (ｘ-2 ) 2 + ( 0 -1 ) 2 ,则函数表达式呈现为坐标平面上两点间的距离之和 .设Ｐ(ｘ ,0 )为ｘ轴上的点 ,Ａ( 0 ,…     

探讨特殊图形上的点的存在性问题

<正>在初中数学中,有一类题目经常让学生感觉比较棘手,那就是特殊点的存在性问题.如在平面直角坐标系中,给定两个点,试求出第三个点,使以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形,是直角三角形,或者是等腰直角三角彤.再如在平面直角坐标系中,给定三个点,试求出第四个点,使以这四个点为顶点的四边形是平行四边形、是梯形、是直角梯形、或者是等腰梯形.学生解答的时候经常不清楚如何分类,不太会构造图形,求出的点也时有缺漏     

用构造法解数学题

一、构造图形解题例1 在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两互相垂直,D是平面ABC内的一点,点D到平面PAB、平面PBC、平面PAC的距离分别是3、4、5.求点P到D的距离. 解析如图所示,利用点D到三个平面的距离的特点来构造长方体,把所求问题转化为求长方体的对角线的长.     

『面积和面积单位』教学评析

“面积和面积单位”是人教版小学《数学》第六册的内容.[教学片段](出示课件1:两个大小相同的平面图形,如下图.)(□)(□)师:它们是围成的平面图形吗?你能比较它们的大小吗?生:是,把两个平面图形叠在一起就知道谁大谁小了.(课件演示:将左边的平面图形平移至与右边的平面图形重合,如图)(□)(→平移)(□)师:谁大?生:一样大.师:对,因为它们完全重合了.(出示课件2:两个大小不等的平面图形,如下图)(□)(□)师:以上我们用重叠的方法比较了两个平面图形的大小,现在你还能用此方法比较这两个平面图形的大小吗?     

两个基本原理的推广及应用

原理1 夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的长度总相等,那么这两个平面图形的面积相等.推广1 夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的比总是一个常数.那么这两个平面图形的面积比等于这个常数.原理2(祖暅原理)夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的两个截面的面积总相等.那么这两个几何体的体积相等.     

构造空间图形妙解题

把平面图形放到空间，借助丰富的空间关系，左右逢源，游刃有余，使问题变得容易解决，下面举两个别开生面的例子．     

图形变换:对称平移共演绎

知识梳理1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,我们所学的平移是指平面图形在同一平面内的变换.2.图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据.3.图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形与原图形相比只改变了位置,而不改变图形的大     

从传授知识到发展思维——“长方体的认识”教学设计与思考

一、在比较中初步认识长方体 师:图1中右边的长方体与左面的这些图形有什么不同? 生:左边这些图形都是平面图形,而长方体是立体图形,它有6个面. 师:图2中的两个图形也是立体图形,长方体与它们相比有什么不同? 生:长方体是由6个长方形的面围成的立体图形. 师:今天这节课我们来研究长方体的特征.     

有效教学从找准学生的认识起点开始——"平移和旋转"教学片段剖析

平移和旋转这两种基本的图形变换是新课程新增的一个内容.小学阶段主要研究的是平面图形的平移和旋转,其目标定位是直观感知平移和旋转现象,不对概念进行理性分析和阐述.因此,教材在介绍这两种现象时,注意结合学生的生活经验,以生活中丰富的例子引导学生观察、比较,使学生初步感知平移和旋转并体会出它们不同的特点.教材还通过在方格纸上将图形进行平移,让学生来感知平移的几何特征.     

挖掘新教材内涵巧求距离和直线与平面所成角

根据课本(新教材)中对距离与直线与平面所成角的定义与性质，即平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角．而距离则是两个图形F1内的任一点与图形F2内的任一点间的距离中的最小值，利用新教材定义的这一新特点，可把求此两种值转化为求某一函数的最值，下面分别举几例来加以说明。     

由数学中考谈“基本图形”的学习

正大家知道近些年数学中考试题中几何部分所占比例为40%左右,呈现形式为填空题、选择题、解答题.几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题.下面就最近几年各地中考试卷出现的平面几何试题谈谈个人看法.1.通过抓基本图形,让学生熟悉几何证明的基本套路掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组     

美术教学实践中色彩调配的艺术效果探析

在平面图形设计过程中,通过对色彩原理、配色技术和艺术审美的分析,可以发现平面图形设计中关于配色的要求是极其重要的,设计者要善于运用色彩和非色彩的调和功能,通过精心设计与构思,将色彩的自然和谐与绚丽多彩巧妙运用在平面图形设计中,使设计的作品获得生命的力量,从而给人以视觉冲击力、美的吸引力和强烈的感召力,达到语言无法企及的艺术效果。     

介于调和平均和算术平均间的平均值链

n个正数a_1,a_2,…,a_n的调和平均值H,几何平均值G和算术平均值A的序关系式H≤G≤A (1)是一个相当重要的不等式.本文在引进一些新的平均值后,将(1)扩充的序关系链(4),并且进一步指出新的平均值定义的几何意义.