三角形的欧拉线

(本讲适合初中)任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线,并且GOHG=12.这就是三角形的欧拉线的定义及性质.欧拉线是一条直线.掌握欧拉线性质须注意两点:(1)外心、重心、垂心三点共线;(2)定比1∶2.欧拉线的常用表示法有三种:(1)外心、垂心法,即欧拉线OH;(2)外心、重心法,即欧拉     

欧拉线的发现与证明

读初中的时候,偶然在一本课外书上看到了欧拉线：如图1,任意三角形的外心（二）、重心G、垂心日三点共线（此线被称为欧拉线）,并且2OG=GH．当时觉得很有意思,希望记下来,     

从直角三角形中的欧拉线谈起

读初中的时候，在一本课外书上偶然看到了欧拉线：如图1，任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线（此线被称为欧拉线），并且2OG=GH．当时觉得很有意思，希望记下来，反复好几次，都没记住，经常把三个点的位置记错，甚至有时候还将内心也扯进来了．无意中想到，既然是对任意三角形成立，那么对直角三角形也应该成立啊，于是便得到图2，     

新“欧拉线”

定理 1　三角形的内、重、界三心共线且重心在中间 ,重界距离等于重内距离的 2倍 .证明 :设△ABC的内心为I,重心为G ,界心为J ,M为BC的中点 ,连结AJ、MI、IJ,AM ,IJ与AM交于G′.由 [1 ]知AJ∥IM ,由[2 ]知 ,AJ=2IM ,从而AG′ =2G′M .可见G′就是重心G .进而知三心共线 ,且JG =2GI.定理 2　三角形界心与重心的连线 ,平行于外心与内心的连线 ,且等于其 2倍 .证明 :在△ABC中 ,设I、O、G、H、J依次为内心、外心、重心、垂心和界心 ,由欧拉线性质知GH =2GO ,由定理 1知JG =2GI,从而知JH∥=2OI.新“欧拉线”$安徽省枞阳…     

球面上有限点组的欧拉线

在平面几何中，有这样一个定理：“三角形ABC的外心O、重心G、垂心H三心共线，且OG=1/3OH”。     

欧拉线向圆内接四边形推广

从三角形中的欧接线出发，利用位似变换的性质，得出了一些重要的结论，最后得出欧拉线在圆内接四边形中的推广。     

欧拉线的再推广

众所周知,三角形的外心O,重心G,垂心H共线(欧拉线),G在线段OH上且OG∶GH=1∶2．人们进而又推出与欧拉线类似的性质：三角形内心I,重心G,奈格尔点N(也称三角形的界心)共线,G在线段IN上,且     

正交四面体中的欧拉线定理

研究了正交四面体中的垂心、重心和外心的位置关系 ,证明了正交四面中的欧拉线定理。     

正交四面体中的欧拉线定理

研究了正交四面体中的垂心、重心和外心的位置关系，证明了正交四面中的欧拉线定理。     

欧拉线定理的推广

采用质点几何学的方法证明了欧拉线定理，并将其推广到高维以及位似形的情况，并讨论了四面体的外心、内心及奈格尔点．     

三角形的欧拉线与边的位置关系

本文探讨了三角形欧拉线与三边的位置关系,揭示了欧拉线平行于三角形一边的条件．     

欧拉线向圆内接四边形推广

从三角形中的欧接线出发，利用位似变换的性质，得出了一些重要的结论，最后得出欧拉线在圆内接四边形中的推广。     

欧拉线与两边所围成三角形的性质

揭示原△ABC和其欧拉线与选定的两边所围成的新△AB₁C₁的一种对称关系.既有文献已经证明△AB₁C₁外心与△ABC欧拉线的逆斯坦纳点连线过两三角形的公共顶点A.通过探究证明△ABC外心与△AB₁C₁欧拉线的逆斯坦纳点连线有同样的性质.亦给出△AB₁C₁的欧拉线平行于边BC的新证明.列出可能的三个新△AB₁C₁、△BC₁A₁、△CA₁B₁与△ABC四者的一些关联性质.     

用向量法证明欧拉线问题

设三角形 ABC外心为 O,重心为 W,垂心为 H ,则 O,W,H三点共线 ,且 |OH |=3|OW|,这便是著名的欧拉线问题 .但平面几何证法较麻烦 ,笔者用向量坐标法去证 ,感觉过程较为简洁 .证　以外心 O为原点 ,过 O平行于 BC的直线为 x轴 ,BC的中垂线为 y轴 ,建立直角坐标系 .设 AD是 BC上的高 ,并设各点坐图 1标如下 :A(a,b) ,B(- c,d) ,C(c,d) ,H (a,y) ,则 BH =(a+c,y- d) ,AC=(c- a,d- b) ,因为 BH⊥ AC,有 BH· AC=0 ,即 (a+c) (c- a) +(y- d) (d- b) =0 ,解之得 y=- a2 +c2 +bd- d2- d+b .因为 O是外心 ,所以|OA|=|OB|=|OC|,即 a…     

也谈“欧拉线”与“欧拉圆”

《中小学数学》(初中版)2012年第4期刊载了沈杰的《欧拉与"欧拉圆"》(以下简称沈文).细细研读,觉得解法新颖,收益匪浅.特别是沈老师从中学生的角度进行研究,探寻简洁证法值得学习.笔者对此也产生浓厚兴趣,查阅了相关的一些解法,对解法及其性质进行了一些探究下面进行简要的介绍,请同行指导.任何一个三角形的垂心/重心、外心在同一条直线上,且重心与垂心的距离两倍于重心与外心的距离.人们称此线为欧拉线.     

三点共线向量式的巧妙运用

三点共线向量式：P是平面OAB（O∈AB）上的一个动点,OP→=xOA→＋YOB→（x、y∈R）,若P、A、B三点共线,则x＋y=1;反之．若x＋y=1,则P、A、B三点共线．     

平面向量中三点共线定理的推广及应用

平面向量中三点共线定理：如图1,在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：     

对一个三点共线问题的进一步探究

文[1]证明了如下定理： 如图1,△ABC的外接圆圆心为O,内切圆圆心为I,且内切圆分别切三边于D,E,F,△DEF的重心为M,则O,I,M三点共线.若△ABC的外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,     

平面向量三点共线定理的推论及空间推广

一、问题的来源 平面向量三点共线定理：对于共面向量OA,OB,OC,OC=xOA＋yOB,则A、B、C三点共线的充要条件是x＋y=1.     

一道MO试题的另证和变形

题目在△ABC中,AB≠AC,设D是△ABC的外接圆在点A处的切线与BC的交点,E,F分别是过B,C作BC的垂线与AB的中垂线、AC的中垂线的交点.求证:D,E,F三点共线.