二次曲线的中点弦问题的再讨论

首先来讨论形如:mx2 ny2=1(m,n均为非零常数)的二次曲线C.假设点M(x0,y0)是曲线C的一条弦的中点(其中x0,y0不同时为0),则有如下结论:图1定理1以点M(x0,y0)为中点的弦所在的直线的方程为:mx0(x-x0) ny0(y-y0)=0.证明设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x2=2x0-x1,y2=2y0-y     

用好直线的参数方程

过点M0(x0,y0)、倾斜角为θ的直线l的参数方程为{x=x0+tcosθ,y=y0+tsinθ(t为参数),其中M(x,y)是直线l上的任意一点.当点M在点M0的上方时,|MM0|=t,当点M在点M0的下方时,|MM0|=-t.课本介绍如何用直线的参数方程求线段长、中点弦的方程,其实,还有很多问题可以利用直线的参数方程来解决.     

也谈中点弦所在直线方程

很多数学报及兄弟刊物都介绍过中点弦所在直线方程问题.有的甚至给出了公式式的结论,但结论较为复杂不易记忆.本文介绍两种更为行之有效的方法. 我们先证明一个命题:二次曲线F(x,y)=0,以定点P(x0,y0)为中点的弦所在的直线方程为:F(2x0-x,2y0-y)=0.然后便可套用结论,直接得出方程. 证明:设以P(X0,y0)为中点的二次曲线F(x,y)=0的弦的两个端点分别为A、B,且A(x,y),则B(2x0-x,2y0-y),由于A、B均是二次曲线F(x,y)=0上的点,从而可得 F(x,y)=0 ① F(2x0-x,2y0-y)=0 ②     

用直线的参数方程解弦的中点问题

直线l过点M(x0，y0)，倾斜角为α，则其参数方程是x=x0 tcosα,y=y0 tsinα，其中参数t表示该直线上任意一点N对应的有向线段MN的数量，没该直线与圆锥曲线交于A、B两点，当定点M（x0,y0）是弦AB的中点时，有t1 t2=0；当某点P是弦AB的中点时，则点P对应的t=1/2（t1 t2），利用上述两个结果求解与弦的中点相关的问题时，相当简便．     

一道高考试题的探究与推广

2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=…     

二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程

1 知识简介 记G（x,y）=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F.1.1 二次曲线中点弦的方程     

弦长公式的三种形式

设曲线C：f(x，y)=0截直线l所得的弦P1P2的两端点是P1（x1，y2)和P2（x2，y2)，则弦长     

一道中点轨迹问题的七种解法

题目 圆x^2＋y^2=8内有一点P（-1，2），过点P的弦交圆于A、B两点，M为AB的中点，求点M的轨迹方程．     

中点弦斜率的一个公式及应用

[命题 ]设二次曲线方程为 Ax2＋ By2＋ Dx＋ Ey＋ F=0,则以点 M(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率为 k=－ . 证明：设以 M(x0,y0)为中点的弦与二次曲线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), (x1≠ x2)则有 (1)－ (2),得 A(x2＋ x1)(x2－ x1)＋ B(y2＋ y1)(y2－ y1)＋ D(x2－ x1)＋ E(y2－ y1)=0, ∴ 2Ax0(x2－ x1)＋ 2By0(y2－ y1)＋ D(x2－ x1)＋ E(y2－ y1)=0. 整理,得, 即 k=－ . 该公式简单整齐,记忆方便,在解决直线与二次曲线相交问题中应用较广,且避免了设而不求法运算繁琐冗长的缺点 . [例 1]椭圆的弦被点 (4, 2)所平分,求…     

直线方程x0x＋y0y=r^2的又一几何意义

众所周知,若点M(x0,y0)在圆x^2＋y^2=r^2上,则方程x0x＋y0y=r^2表示过点M的圆的切线．     

例谈点差法在解题中的应用

<正>在解析几何圆锥曲线这一章中,我们常常会碰到一类与弦中点有关的问题,对于这一类问题常用的解法是"点差法".所谓点差法就是将弦的两端点A(x1,y1),B(x2,y2)代入圆锥曲线方程,然后将所得的两式相减,再因式分解,求得弦的斜率,其中用到的公式有     

二次曲线中点弦理论的简化和推广

对一般常态二次曲线Γ:F(x,y)=a11 x2 2a12xy a22y2 2a23x 2a13y a33= 0 (1)有关中点弦和弦中点的研究文章很多,如[1]、[2],但论证过程太长,事实上相关的结论都可以非常简便地加以证明,从而篇幅可大为减少,为使这一理论更严谨,使论证简捷明快,特阐述如下:     

抛物线定点弦的几个有趣性质

对抛物线的定点弦深入研究,能得到很多有趣的性质.本文给出五个和抛物线的定点弦有关的定值性质.性质1若直线l过定点M(m,0)(m∈R),且和抛物线y2=2px(p>0)相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1y2均为定值.     

盘点抛物线的焦点弦问题

设直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点(直线AB的倾斜角为α),设A (x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,准线方程为:x=-p/2,则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质:(1)2x1x2=p/4;(2)y1y2=-p2.     

直线方程x_0x十y_0y=r~2的又一几何意义

众所周知，若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝r2上，则方程x0x＋y0y＝r2表示过点M的圆的切线．此外，若点M在圆的外部，过点M所引圆的两条切线MT1，MT2（T1，T2为切点），则直线方程：x0x＋3，。y—r’表示经过两切点T；，Tz的直线；若点M在圆的内部，且M不为圆心，以M为中点的弦为AB，过点A，B的两条切钱交于o，则直线方程x。x＋y。y一r‘表示经过点Q且平行于弦AB的直线．以上这些几何性质在文［1］中已有详细的论述，下面笔者再给出它的另一几何解释，供大家参考．命题亚若点M（。，yo）在圆x’＋y‘一r’的内部，且M不为圆心，过M任…     

二次曲线中点弦方程的求法及其应用

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(上) P_(88)B 组4,即题目两条曲线 f_1(x,y)=0和 f_2(x,y)=0,它们的交点是 P(x_0,y_0),求证:方程f_1(x,y) λf_2(x,y)=0①的曲线也经过点 P(λ是任意实数).题目结论的证明很容易,此略.题目中,把条件放宽为二曲线 f_1(x,y)=0和 f_2(x,y)=0可以无交点,即方程组(?)②无实数解.     

二次曲线的端点弦及其性质

二次曲线上任一点与其端点的连线,我们简称为二次曲线的端点弦.经笔者探究,二次曲线端点弦有一组耐人寻味的性质,这些性质深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征.性质1　A,A′是椭圆x2a2 y2b2 =1长轴的两个端点,P是椭圆上异于A,A′的任意一点,直线AP,A′P分别交y轴于点M(0 ,y M) ,N (0 ,y N) ,则y M. y N =b2 .图1证明　如图1 ,设P(x0 ,y0 ) ,显然A(a,0 ) ,A′(- a,0 ) .直线AP的方程y =y0x0 - a(x - a)中令x =0 ,得y M=- ay0x0 - a.同理得y N =ay0x0 a又∵b2 x20 a2 y20 =a2 b2 ,∴y20 =b2 (a2 - x20 )a2 ,故y M. y N =- a2 …     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1+x2+p=2x+p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1+x2/2.     

二次曲线一组性质的统一证法及推广

文[1]用解析方法,给出有心二次曲线的一组性质.今利用二次曲线来理论,统一给出这些性质,并作以推广.性质1对于中心为M(x0,y0)的有心二次曲线Г:(x?x0)2/a2±(y?y0)2/b2=1,过坐标原点O(0,0)作Г的两弦AD、BC,若直线对AB、CD交于x轴分别于两点N1(n1,0)、N2(n2,0),则12001111n n=x     

对五道"形异质同"高考题解法的"归一"

直线与圆锥曲线相交弦的中点类问题 ,一直是每年高考命题的热点 ,但考题常出常新 ,总以“改头换面”方式出现 ,不少考生看不“破”这些高考题的“形异质同” ,解答时常因过程运算复杂而导致解题失败或隐性失分。为此 ,笔者想给出这类考题简洁求解的通法。题 1　求曲线方程类　 ( 2 0 0 3江苏省高考题 1 0 )　已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7,0 ) ,直线 y =x -1与其相交于M、N两点 ,MN中点的横坐标为 -23 ,则此双曲线方程是 :(　 )(A) x23 -y24=1　　　 (B) x24-y23 =1(C) x25 -y22 =1 (D) x22 -y25 =1题 2　求弦中点坐标类　 ( 2 …