Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等比数列吗

在很多书刊中 ,均可看到如下的一道命题 :等比数列 {an}共有 3n项 ,其前 n项和记为 Sn,则 Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n也是等比数列 .事实上 ,该命题是一个假命题 ,例如 :有穷数列 1 ,- 1 ,1 ,- 1 ,1 ,- 1的前两项和、中两项和及后两项和 ,组成的数列为 0 ,0 ,0 .显然不是等比数列 .一般地 ,等比数列 {an}只有满足条件 1 q … qn- 1≠ 0时 (其中 q为公比 ) ,才能具有下列性质　若数列 {an}是等比数列 ,公比为q,其前 n项和记为 Sn,当 1 q … qn- 1 ≠ 0时 ,则数列 Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n,… ,S(k 1 ) n-Skn,…是等比数列 (这里 k∈ N…     

x^2＋（p＋q）x＋pq型式子的分解

形如x^2＋（p＋q）x＋pq的二次三项式,常用分组分解法分解：x^2＋（p＋q）x＋pq=x^2＋（p＋q）x＋pq=（x^2＋px）＋（qx＋pq）=x（x＋p）＋g（x＋p）=（x＋p）（x＋q）．当p=q时,这个二次三项式相当于完全平方式x^2＋2px＋p^2或x^2＋2qx＋q^2通过观察可知,二次项的系数是1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和．一次项系数的规律是：常数项是正数时．     

关于不定方程x^2＋4^2n=y^3

利用代数数论的方法,证明了不定方程x^2＋4^2n=y^3其中n∈N,x≡1（mod2）,x,y∈Z）无整数解．     

关于Diophantine方程x^2=p^a＋p^2＋p^c

设p是奇素数，文章证明了：当p=3时，方程x^2=p^a p^2 p^c?BD鲇蟹歉赫?x，a，b,c)=(3^n，2n-1，2n-1，2n-1)，其中n是正整数；当p＞3且p≠7(mod8)时，该方程无非负整数解(x，a，b，c)．     

发现x^3＋y^3≠（x＋y）^3后

今天在做作业时，我遇到一道题： 先化x^3-x^2y＋xy^2＋yz^2-y^2x＋y^3再求值，其中x=3/2,y=-4/3．乍一看，这题不难，于是我作出了如下解答．     

不可忽视公比为-1的情形

在解与等比数列前 n项和有关习题时 ,教师经常向学生强调要注意对公比 q=1和q≠ 1两种情况讨论 ,但一般很少注意 q=- 1的情况 .而这时往往最容易出错 ,这种错误更隐蔽 ,不易察觉 .下面举例加以说明 ,从而引起大家的注意 ,使得解题更加严谨 .例　已知数列 {an}是等比数列 ,前 n项和为 Sn,前 2 n项和为 S2 n,前 3n项和为 S3n.求证 :Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n成等比数列 .此题为本刊文 [1 ]例 5.文 [1 ]将等比数列前 n项和公式 Sn=a1 ( 1 - qn)1 - q ( q≠ 1 )中a1 1 - q设为 - A,得 Sn=Aqn- A( A≠ 0 ,q≠ 1 ) ,利用这一结构形式进行证明 ,…     

等差数列前n项和公式

等差数列{an}的前n项和公式可以写成Sn=d/2n^2＋（a1-d/2）n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数。在平面直角坐标系中,表示这个等差列前n项和的各点（n,S）都在同一条过原点的抛物线y=d/2x^2＋（a1-d/2）x上,其中二次项系数即为公差d的一半。由此可得     

探究x0x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

在高二数学（上）（试验修订版）第七章《直线和圆的方程》中有一重要结论：过圆x^2＋y^2=r^2上一点P0（x0,y0）的切线方程为x0x＋y0y=r^2此切线方程可看成是已知圆的方程x^2＋y^2=r^2作如下置换：x^2→x0x,y＾2→y0y而得到．教学时着重强调点P0（x0,y0）必须在圆上,否则结论不适用．那么,当点P0（x0,y0）不在圆上时,直线x0x＋y0y=r^2与圆x^2＋y^2=r^2有何关系呢？     

解答数列题的优化策略

一、合理选择目标,简化解题过程 例1 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若．Sn=2,S3n=14,则S4n等于 A．16 B．26 C.30 D．80 常规解法 设等比数列{an}的公比为q,由已知有S3n≠3Sn,∴q≠1．     

公式Sn=A·q^nA的一些应用

我们已经知道等比数列前n项和Sn(q≠1)公式为Sn=(a1(1-q^n))/1-q.在这个公式中若令a1/1-q=-A即可得Sn=Aq^n-A(A≠0，q≠1)．由此可得一个非常数的等比数列其前n项和具有Sn=Aq^n-A这样的特征．这个公式形式简洁，其应用较广．下面是这个公式的一些简单应用．     

用函数观点认识数列

数列是一种特殊的函数,其通项an=f（n）是这一函数的解析式,前n项和Sn也是关于n的函数．等差数列通项公式an=a1＋（n-1）d（d≠0）为n的一次函数,即an=an＋b,前n项和为n的二次函数,即Sn=An^2＋Bn;等比数列通项公式an=a1q^（n-1）,     

关于Mordell方程y^2=x^3＋k

设l,l1,l2,…,ls为任意整数,n为正整数,n1,n2,…,ns为任意非负整数．用初等数论方法证明了：如果k满足k=（4l＋2）^3-Пi=1^s（4li＋1）^2ni或k=（4l＋3）^3-2^2nПi=1^s（4li＋1）^2ni,则Mordell方程y^2=x^3＋k无整数解．     

关于不定方程x1^3＋x2^3＋x3^3解的研究

法国数学家Fermat大约在1963年左右提出一个猜想：当整数n≥3时,不定方程x^n＋y^n=z^n,xyz≠0无整数解．历史上称为费马大定理,或费马猜想,或费马问题．费马大定理说明不定方程x1^3＋x2^3=m^3无整数解,那不定方程：     

关于不定方程x^3＋1=103y^2

利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了不定方程x^3＋1=103y^2仅有整数解（x,y）=（-1,0）．     

4．山东卷理科第20题

题目等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N^＊,点（n,Sn）,均在函数Y=b^x＋r（b〉0且b≠1,b,r均为常数）的图象上．     

探究多米诺骨牌效应的背后

已知函数f（x）=x^2＋ax＋b的零点与函数g（x）=2x^2＋4x-30的零点相同.数列{an},{bn}定义为：a1=1/2,2an＋1=f（an）＋15,bn=1/2＋an（n∈N°）.（1）求实数a,b的值;（2）若将数列{bn}的前n项和与前n项积分别记为Sn,Tn证明：对任意正整数n,2^n＋1Tn＋Sn为定值;     

不等式x^2＋y^2≥2xy的一个推广不等式

不等式x^2＋y^2≥2xy是一个二元对称不等式,本文从二元对称方面推广这个不等式,得到不等式x^2＋y^2≥2xy的推广不等式：x^m-by^m＋b＋x^m＋by^m-b≥x^m-ay^m＋a＋x^m＋ay^m-a（x,y∈R^＋,0≤a≤b,m∈R）.     

对一类特殊数列求和问题的探究

等差数列的前n项和Sn是关于n的过原点的二次函数,其标准形式为S n=An^2＋Bn（A、B∈R）,等比数列的前n项和的标准形式为S n=A-Aq^n（A∈R）.对于形如（an＋b）·q^n（a、b∈R,q≠1）的数列,其前n项和的标准形式为Sn=A＋q^n（Bn-A）.     

利用TI图形计算器研究一类函数的最值

形如．f（x）=√x^2＋p＋tx（pt≠0）的函数，图象复杂，极值的求法特殊，本文介绍笔者在TI实验班教学的一个案例，供参考．     

关于不定方程x^3＋1＝19y^2

利用递归数列、同余式和平方剩余证明了不定方程x^ 3＋1=19y^2仅有整数解（x,y）=（-1,0）.