2005年12月号“数学潜能知识竞赛”获奖名单

问：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD＋BC，E是CD的中点，试问：（1）AE与BE垂直吗？（2）AE、BE分别平分∠BAD及∠ABC吗？请说明理由．     

巧用“三线合一”定理解题

“等腰三角形底边上的高是底边上的中线,也是顶角的平分线。”这就是通常说的“三线合一”定理。利用上述定理来证明几何题,能化繁为简,变难为易。以下分五个方面举例说明它的应用。一、证明线段相等例1 如图,AE是∠BAC的平分线,CD⊥AE,BE⊥AE,M是BC的中点,求证:ME=MD。证明:延长CD交AB于T,延长AC、BE交于K。∵ AE平分∠BAC,AE⊥BE,AE⊥CD, ∴ D、E分别是TC、BK的中点。     

一道几何题的多种解法

题目如图1,已知E为正方形ABCD的边BC延长线上一点,EF⊥AE,且与∠BCD的外角平分线CF交于F,试判断AEF的形状,并证明你的结论.一、利用全等三角形的性质解法1如图1,延长BA至E′,使AE′=CE,连结EE′.∵四边形ABCD为正方形,∴BA AE′=BC CE,即BE′=BE.∴∠E′=∠BEE′=45°.又∵CF平分∠DCE,∴∠E′=∠FCE=45°.∵∠1 ∠2=∠3 ∠2,∴∠1=∠3,∴∠E′AE=∠CEF.∴E′AE≌CEF.∴解法AE2=EF,即AEF为等腰直角三角形.如图1,同上得∠E′EB=45°.又∠FCE=45°,∴∠FGE=90°.∴∠E′EF ∠5=90°.∵∠4 ∠E′EF=90°,…     

关于a＋b=c的证明

例1已知：△ABC中,∠A=2∠B,CD平分∠C．求证：AC＋AD=BC． 分 析可在BC上截取CE=AC,然后再证BE=AD即可．     

举一反三 一题多变

题目 已知：如图1，四边形ABCD中，AD／／BC，点E是CD的中点，连结AE，BE，AD BC=AB．求证：∠1=∠2，∠3=∠4．     

30分钟智力冲浪

1．已知如图1，E是DC上的一点，DC／／AB，AE与BE分别是∠DAB与∠ABC的角平分线．如果∠D＋∠C=∠230&;#176;，那么∠AEB=     

赏析一道几何题

题目如图1,在∠ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD交BC于点E．求证：BE=2EC．     

巧添辅助圆

许多几何问题,若能恰当添出辅助圆,充分利用圆的丰富性质,便能获得简捷巧妙的解法.　例1　在△ABC中,∠ABC=∠C,∠A=100°,BE是∠B平分线,求证:AE+BE=BC.图1证明　作△ABE的外接圆交BC于D,连结ED.∵∠A=100°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=40°.又∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=20°,AE=DE,∴AE=DE.又∵四边形ABDE为圆内接四边形,∴∠DEC=∠ABC=40°,∴∠DEC=∠C.∴DE=DC,∴AE=CD.∵∠BDE+∠A=180°,∠A=100°,∴∠BDE=80°,∴∠BED=80°,∴BE=BD,∴BC=BE+AE.　例2　已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC.AD=a,BC=b,AB=CD=…     

一道平行线问题的演变

<正>本文对一道平行线问题进行演变,并从多角度求解,以期帮助同学们提高思维能力.原题如图1,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,射线BE与CE交于点E.求证:BE⊥CE.分析一由角平分线的定义,易得∠1、∠2与∠BCD、∠ABC之间的倍分关系,再利用"两直线平行,同旁内角互补"的结论进行整体代换,即可解决问题.解法一(整体转化法)∵BE平分∠ABC,∴∠2=1/2∠ABC,同理∠1=1/2∠BCD,∴∠1+∠2=1/2(∠BCD+∠ABC).又AB∥CD,     

由一个简单结论引出的一组有趣性质

众所周知,以三角形的三条高的三个垂足为顶点的三角形称为原三角形的垂足三角形.经研究发现,垂足三角形有如下性质.性质设AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高,D、E、F分别为三个垂足.则AD平分∠FDE、BE平分∠FED、CF平分∠EFD.证明如图1,设AD与BE交于点H.则B、D、H、F四点共圆.故∠FBH=∠FDH.     

三法解一道四边形问题

例 如图1, ABCD中,AB〉AD,AE,BE,CM,DM分别为∠DAB,∠ABf,∠BCD,∠CDA的平分线,AE与DM相交于点F,BE与CM相交于点H,连接EM．     

利用全等三角形的性质解题

学习了三角形全等的判定以后，可以利用全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）解决许多类型的几何问题，如下面几例．一、证明线段相等例1在△凸ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分钱交AC于E，交BC边上的高于D，过D作直线平行于BC交AC于F．求证：AE＝CF．证明如图1，作DM⊥AB交AB于M，作FN⊥EC交BC于N．∵BE是∠B的平分线．二、证明角相等例2如图2，已知AC＝AB，DE＝DB，∠CAD＝∠EDA＝60°．求证：∠AFB＝∠BGC证明∵AC＝AB，DE＝DB，又∠CAD＝∠EDA＝60°，．．bABC和凸BDE都是等边三角…     

精读垂径定理

1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧． 符号语言表述为：如图1,在⊙O中,若直径CD⊥AB,则AE=BE,AD=BD,AC=BC.     

研究高或垂心，别漏钝角三角形

平几第二册第65页第2题: 已知:△ABC中,AB=15,AC=20,高AD=12,求角平分线AE的长。人民教育出版社出版的《教学参考书》是这样解答的:如图1,∵AD是高,AB=15,AD=12,∴BD=9,同理求得CD=16,∴BC=25。又AE平分∠BAC,∴AB:AC=BE:EC,解得 BE=75/7,∴DE=BE-BD=12/7,     

一道中考压轴题的多解研究

已知：如图1,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠BC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC;（2）求证：CE=1/2BF;（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．     

数学问题与解答：2007年第10期问题解答

716.如图1,D是△ABC内一点,且∠ADB -∠ACB=∠ADC-∠ABC,AE是∠BAC的平分线.求证:DE平分∠BDC.     

初学几何证明应注意的问题

证明是由题设(已知)出发,经过一步步推理,最后推出结论(求证)正确的过程。同学们初学几何证明时,不容易把证明过程写完整,现就证明中应注意的问题举例说明。1、要注意证明中的每一步推理都要有根据,这些根据可以是已知条件,也可以是定义、公理或定理,并把根据写在每一步推理后面的括号内。例1已知:如图1点B在DC上,BE平分∠ABD,∠DBE=∠A,求证:BE∥AC.分析:由BE平分∠ABD,得出∠DBE=∠ABE时,理由是角平分线定义。图1证明:∵BE平分∠ABD(已知)∴∠DBE=∠ABE(角平分线定义)∵∠DBE=∠A(已知)∴∠ABE=∠A(等量代换)∴BE∥AC…     

三道几何题的巧解(初一、初二、初三)

1.利用线段之间的关系例1 如图l,已知GD⊥CB,AC交GD于F,AE⊥CB,又∠G=∠GFA. 求证:AE平分∠CAB. 证明由GD⊥CB,AE⊥CB,得GD∥AE.则∠CAE=∠GFA=∠G.由∠FAG=180°-2∠G,知图1     

题海拾贝

如图所示,∠EAB和∠ABC是直角,AB=4,BC=6,AE=8,AC和BE相交于点D．求△ADE和△BDC的面积之差．     

失误高频思教学

2009年中考数学模拟考试有这样的一道试题：如图,在△ABE中,BA=BE,C在BE上,D在AB上,且AD=AC=BC。（1）若∠B=40°,求∠BCD的大小;（2）过点C作CF∥AB交AE于点F,求证：CF=BD。