浅谈数学归纳法及其运用

数学归纳法(也称完全归纳法)是证明与自然数有关命题的一种重要论证方法,也是数学证明中的一个强有力的工具,在研究线性代数以及其他数学分支中都经常要用数学归纳法.一、数学归纳法的陈述形式假设有一个关于自然数n的命题,它当n取第一个值n.(如n_0=1或2等)时,结论正确;又苦假设它当n=k时(k∈N,且K≥n_0)时、结论正确后,可以推出n=k 1时,结论也正确,则该结论对一切自然数都正确.     

数学归纳法复习应做到“三学会”

<正>数学归纳法是一种重要的证明方法.虽然近年来对数学归纳法的考查热度已降低,但是在全国各地的高考数学卷中依然有所体现.本文试图通过对一些试题的分析,结合自身经验,提出数学归纳法复习应做到"三学会".一、学会用好归纳假设数学归纳法的证明过程是一个"连环套",归纳过渡是证明的关键,归纳假设是过渡的基础.1.不能不用归纳假设例1用数学归纳法证明:     

谈谈数学归纳法的教学

由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常常用下面的方法来证明它们的正确性:先证明当 n 取第一个值 n_0(如 n_0=1时,命题成立,然后假设当 n=k(k≥n_0),命题成立,证明n=k 1时命题也成立.就可以断定这个命题对于 n 取第一值及其后的所有的自然数也都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.数学归纳法,是我们数学证题中的一种重要的证题工具.对于数学归纳法,学生往往难以理解它的实质,对它的证题步骤往往是在形式上有所了解,     

浅谈数学归纳法的逻辑依据和逻辑结构

数学归纳法是数学里一种基本的、重要的证明方法,了解它的逻辑依据和逻辑结构对于学好这种方法,培养学生观察分析能力,归纳假设能力、逻辑推理能力都有很大的帮助。 我们通常使用两种推理方法,一种是从一般到特殊的推理方法,即演绎法;另一种是从特殊到一般的推理方法,即归纳法。它们是完全不同的两种思维方式。 归纳法又分不完全归纳法和完全归纳法,而完全归纳法要求对每一个对象(所研究的某一类问题)都进行考察。 初等数学中的数学归纳法属于完全归纳法,是证明某些与自然数有关的数学命题的一种重要方法,必须对于任意的自然数都进行考察后才能对命题下结论。 它主要分二步: 第一步:验证当n取第一个值(例如n=1)时命题成立。 第二步:在当n=k时命题成立的假设下,证明n=k+1时命题也成立。 若以上两步均成立,就可下结论:对于任意的自然数,命题都成立。 由于学生很少遇到这类问题,常常怀疑这种证法是否有效,提出:为什么通过这样两步就能实现对一切自然数的验证呢?由于弄不清道理,只好死套格式,发生各种各样的错误。 如:1.用数学归纳法证明     

数学归纳法的归纳

在与自然数有关的数学命题的论证中,数学归纳法是一种重要的方法.它的依据是自然数的基本性质,即自然数有最小的数,无最大的数,且每个自然数后面都有一个后继数.用数学归纳法证明的步骤如下:(1)证明当n取第一个自然数n_0命题是正确的;(2)假设n取某一个自然数K(K≥n_0)命题正确,证明n=k+1时,命题也是正确的.由(1)与(2)可以断定,这个数学命题,对于任何n≥n_0的自然数,都是正确的.     

怎样用上假设条件P(k)

在数学归纳法证明的第二步中,证明P(k 1)时,必须用上假设条件P(k).而有些题目难以直接用上假设条件.本文对这种情况给出几种变形处理的策略.     

浅谈用数学归纳法证明数学竞赛题

数学归纳法是一种常用的证题方法,在数学竞赛中不仅随处可见,而且所用技巧较高,形式也更加灵活多样。 1.一般情况下,关于n=k或n≤k时的假设,结论往往只有一个。但对于有些较特殊的问题,需要在归纳假设中作出几个结论,才能一次完成命题的证明。     

数学归纳法中的“递推”教学

数学归纳法是重要的数学方法,它有丰富的内涵。在教学中,当学生学会了"检验1正确,假设k成立,推出k+1也成立"后,总认为自己学会数学归纳法了,而事实上无论是对数学归纳法的理解还是对数学归纳法证明技巧的把握都远不够.     

数学归纳法在物理解题中的应用

数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式;这就是著名的结构归纳法.这种方法在数学中经常用到,但在物理学科中用到的不大引人注意,本文就此方法的运用作了简要介绍.     

浅谈高中数学归纳法思想的应用

数学归纳法是高中数学解题过程中经常运用到的一种科学的证明方法,对于数学思维的培养也非常重要,解决问题具有实效快速等优点.一般地,数学归纳法有2个步骤：1证明当n取第1个值时,命题成立.2逻辑推理过程.假设n=k成立,作为可以运用的条件,再结合n=k＋1时的情况,利用已知条件和假设条件,通过相关的定理、公理等加以证明,从而推导出n=k＋1时结论也成立.以上是第一归纳法的证明步骤,还有第二数学归纳法、倒推归纳法等,在这里不一一列举.     

运用数学归纳法要注意三个“未必”

数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种方法,在中学数学中占有重要地位.数学归纳法的一般步骤是:第一步,证明当 n=n_0时命题成立;第二步,假设当 n=k (k∈N,k≥n_0)时命题成立,在此基础上证明当 n=k 1时命题也成立.完成了这两步证明,即可断定命题对一切 n≥n_0的自然数均成立.运用数学归纳法     

数学归纳法教学的困难、对策与价值

<正>1前言数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法.我国著名数学家华罗庚指出:"数学归纳法这个方法很重要,对学好高等数学有帮助,对认识数学的性质也有裨益,同时可以帮助我们深思."[1]法国数学家H.Poincare同样十分推崇数学归纳法,称它是"数学中全部优点的根源",并认为这个有限到无限的飞跃,既超越了经验的归纳,也超越了纯粹的演绎.数学归纳法有许多形式,比如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推数学归纳法,等等.在基础教     

浅谈数学归纳法

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:1°验证:n=1时,命题成立;2°在假设当n=k(k≥1)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据1°,2°可以判定命题对一切正整数n都成立.数学归纳法的两个步骤("归纳奠基"和"归纳递推")是缺一不可的.使用数学归纳法证明时,只有把两个步骤结     

应用数学归纳法时的常见七大误区

对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性:①当n取第1个值n0时,命题成立;②假设当n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立,这种证明方法叫做数学归纳法.用数学归纳法证明一个命题的基本结构是"两个步骤,一个结论".由于对以上情况理解不透、把握不准,故学生在应用数学归纳法时常常陷入七大误区.本文对此作了探讨.     

用数学归纳法解组合问题

（本讲适合高中） 数学归纳法是数学解题的一种重要方法,在数学竞赛的各分支中有着广泛的应用。这种方法也经常用来解竞赛中的组合问题,实质就是将一个无法穷尽验证的命题转化为普通命题进行证明,从而达到证明的目的。数学归纳法有以下几种形式：第一数学归纳法,跳跃数学归纳法,第二数学归纳法。本文通过具体实例例述数学归纳法在解组合问题中的几种应用。     

用数学归纳法证题的错误例析

数学归纳法是中学数学中的一种重要而独特的证明方法.据我们的问卷调查得知:很多学生对数学归纳法的科学性有怀疑,如第2步纯粹是假设,一旦不真,岂不是全部证明都成无稽之谈?这种怀疑消除不了,势必影响学生的学习情绪,甚至造成很多错误.另外由于缺少练习,对某些常识性问题不理解,也会造成一些错误.本文就一些常见错误例析如下:     

作差——证明P(n)的一种方法

数学归纳法是证明命题 P(n)的一种重要方法,它以独特规范的证题特点而深为学生所喜爱.下面给出证明 P(n)的另一种方法——作差法,它与数学归纳法有异曲同工之效,且在证明步骤和形式上也颇为相似.     

数学归纳法的拓展及应用

数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法,由于数学命题有种种形式和多种不同的实际需要,应用数学归纳法时,也要做出相应的变化,由此得到数学归纳法的一些其他形式.常见的形式一般有四种：第一数学归纳法,第二数学归纳法,倒推数学归纳法,螺旋数学归纳法.再介绍两种形式：跳跃数学归纳法和二元数学归纳法.并由皮亚诺公理和最小数原理给以证明,每种形式分别给出例题,介绍他们的应用.     

数学归纳法证明不等式的常用技巧

近年来，在会考、高考和数学竞赛中，有关数学归纳法的题目屡见不鲜，且尤其以证明不等式的问题为著.究其原因，一是数学归纳法本身应用的广泛性，二是不等式证明的灵活性和综合性.它既需要学生对数学归纳法应用程式的深刻理解，又需要学生对不等式证明的各种技巧的灵活运用.为此，本文举例说明数学归纳法证明不等式的几种常用技巧，供大家参考.1°分析法技巧利用归纳假设完成证明时，由于导出的式子与要证的式子联系不强，可考虑采用分析法来证.例1设a＞0，b＞0，n∈N.证明证（1）当n＝1时，命题显然成立.（2）假设n＝k时，命题成立.即由…     

变更命题法在数学归纳法中的应用

数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,最常见的是用数学归纳法证明数列形式出现的不等式.这虽然是一个行之有效的基本证题方法,但运用这种方法证明数列不等式时,有好多时候在证k到(k+1)的过程中,卡了壳,断了思路.而此时证明与原不等式等价的命题倒显得轻松自然.下面介绍几例.