难题征解

1.设六个实数x_1、x_2、…、x_6满足:|x_i|≤5,i=1,2,3,4,5,6,且x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6=0。求证:其中必存在连续的三个数,其和的绝对值不大于5。(浙江诸暨何鼎潮和边学平提供) 2.一个实数列a_1、a_2、…,若存在一个自然数m,使得对每个自然数i均有a_m i=a_i,则称此数列为循环数列。求证:对任意     

难题征解

刁O中学教研(数学)l,,3年第2期 l句题4()’.已知。心刁,.求证或否定 及〕,~AB一‘屯夕.由于△Acl‘是等腰的,所以口到￡的距离cl尸二‘F.由刀E>‘F,所以可在B忍_h取朋平行且等于口尸.显然clD再华,,为平行四边形.所以户D//尸E,从而clD土BD.在直角△万汉)“卜,斜边政少>亢角边It!),即月B一A少>刀忍一CF.盛s,n二 冬,讥2二 … 工s、:、。二>。. 石\、\一D注:第一个正确解答者奖金2。元, (湖北潜江周之夫提供)封.如图,剐,八〕刀分 (b)设c>b,易知夕卜刀.在淞上取忍,使AF二AB一。,则甜>汉孔从而 (,刀>刃口一口口 >刀G一自了,即 2,}“一川…     

难题征解

问题 61.设一元n次方程 b_nx~n+b_(n-1)x~(n-1)+…+b_1x+b_0=0 (1)的系数都是虚数,b_k=a_k+a_(n-k)i(k=0,1,…,n)且适合 0相似文献   

难题征解

问题的提供和问题19以后的解答邮送浙江师大数学系傅克昌老师;问题1～18的解答与评注邮送宁波大学陈计老师(邮编:315211)。问题 28~*。     

难题征解

问题的提供、解答和评注邮送本栏主持人陈计(315211,宁波大学数学系)。提供问题尽可能随同附上解答、参考文献以及有助于编辑的其它见解。题号右上角的星号(*)表示问题提出时尚无解答。问题 13.三角形的一个顶点与其对边上任意一点的连线叫做Ceva线。设△ABC的Ceva线AD、BE、CF交其外接圆于P、Q、R,求证:     

难题征解

34.在射线AC、BC上分别有n个点D_i,E_i,且(D_iA)/(EiB)=k,(k为正常数,i=1,2,…,n),若Fi是AD_iE_iF_i的顶点,则n个点F_i共线。 (浙江省瑞安市叶挺彪提供) 35.设k为无理数,b为实数,试证明或否定下列论断:对于任意给定实数ε>0,都有一个整点Q(即纵、横坐标都是整数的点),使得点Q到直线y=kx+b的距离大于0,但小于ε。 (河南吴伟朝提供) 36.一个接一个地写出2~(n-1)个不同的数列,它们的长度都是n,且皆由0和1组成。巳知对于这些数列中的任意3列,都可以找出这样的数p,使得在它们的第p项上数字皆为1.证明存在数k,使得在所     

难题征解

52.锐角△ABC中,AD、BE、CF是三条高,H为垂心,记△ABC、△HBC、△HCA、△HAB的外接圆半径之和为m,内接圆半径之和为n,求证m+n=△ABC周长。 (安徽怀中黄全福提供) 53 设△ABC的旁切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c、△,△A′B′C′的三边和面积分别为a′、b′、c′、△′。证明或否定r_a/a′+r_b/b′+r_c/c′≥3 3~(1/2)/2 (△/△′)~(1/2)等号当且仅当△ABC与△A′B′C′均为正三角形时成     

难题征解

问题 55.如图A、P、D、Q与B、D、C、E都是调和点列,BP与CQ、BQ与CP分别交于R、S,求证:A、R、E、S也是调和点列。 (福建南安陈胜利提供) 56.设a、b、c是三角形三边,R与r分别是外接圆与内接圆半径,则有 3~(1/2)(1/a+1/b+1/c)≤(k+2)r+(k-1)R/kRr成立最小k∈N值。 (浙江岱山张善立提供) 57.证明或否定,任意47个连续正整数的平方和不可能是一个完全平方数。注:第一个正确解答者奖金20元,由供     

难题征解

问题的提供、解答和评注邮送本栏主持人陈计(315211,宁波大学数学系),提供问题尽可能随同附上解答、参考文献以及有助于编辑的其它见解,题号右上角的星号(*)表示问题提出时尚无解答。     

难题征解

问题的提供、解答和评注邮送本栏主持人陈计(315211,宁波大学数学系)。提供问题尽可能随同附上解答,参考文献以及有助于编辑的其它见解。题号右上角的星号(＊)表示问题提出时尚无解答。问题 10.＊单位面积的三角形中任给5点,以它们为顶点可构成10个三角形,证明或否定:其中必有3个三角形的面积不大于1/4。 (湖南平江黄仁寿提供) 11.一个数列满足:任意连续m项之和大于0,任意n项之和小于0,求证:此数列最多可含m n-(m,n)-1项。 (浙江宁波周晓东提供) 12.＊若以四面体ABCD的内切球球心I为中心,可以作一个球面,同时与四面体的四个旁切球相外切。     

难题征解

问题 46°.试求单位圆的内接正三角形与内接正方形的公共部分面积的最小值和最大值. (河南师大吴伟潮提供) 47.(一)对于非钝角△ABC,求证: 2a~2cosB+2b~2cosC+2c~2cosA≥ab+bc+ed.其中a,b,c为三角形三边. (二)设A=max{A,B,C},求使(一)中不等式成立的最大A值. 注:对于(二)的第一个正确解答者奖金20元. (浙江岱山张善立提供) 48°.设P为四面体内任意一点,P到各顶点的距离为R_1(i=1,2,3,4),P到各面卜的距离为r_1(i=1,2,3,4).     

难题征解

问题 43°.对于怎样的正整数n,可以将1.2,3,…,n,这n个数分成A、B两组,满足:a_1,a_2∈A,a_1≠a_2,(?):b_1,b_2∈B,b_1≠b_2,使a_1+a_2=b_1+b_2;反之.     

难题征解

问题构·若。是不小于7的素数,证明或否定:(l)。能整除】0a一1 9 过弓二坦(2)对于白然数,,r能整除111…111.注:第一个正确解答者奖金10元,由供题者设 (安徽无为叶晓武提供)50’在△月窟?,},,证明或否定: 16(s三,1之月十sinZB+sir12广)2 一__,刀一口乏三21戈COS es.二犷eseees卜‘戈巧 乙C一月 2 月一刀、一七仁板沼—一一) 乙 (浙江镇海陈琦提供) 51’数列不、)定义如下:a:二l,。:=2,、+2~2、十,十二,求证对一切自然数。,2心+2心+:都能表示成丙卜1、正整数的平方和. 注:第一个正确解答者奖金10元,由供题人设立.(广西玉林钟威提供)解答 20…     

难题征解

问题的提供、解答和评注邮送本栏主持人陈计(315211,宁波大学数学系)。提供问题尽可能随同附上解答、参考文献以及有助于编辑的其它见解。题号右上角的(＊)表示问题提出时尚无解答。问题 4.锐角△ABC的外N apoleon△PQR     

难题征解

问题的提供、解答和评汪邮送本栏主持人陈计(315211,宁波大学数学系)。提供问题尽可能随同附上解答、参考文献以及有助于编辑的其它见解,题号右上角的星号(＊)表示问题提出时尚无解答。问题 7.设a_1、a_2、…、a_n为任意n个正实数,且约定a_(n 1)=a_1,a_(n a)=a_2。求满足不等式 (sum from i=1 to n a_i)~2/sum from i=1 to n a_i(a_(i 1) a_(i 2)≥n/2时所有n的值。 (湖南冷水江刘爱农提供)     

难题征解

本栏从下半年开始,由傅克昌同志与陈计共同主持,问题的提供和问题19以后的解答邮送本刊编辑部傅克昌老师;问题1～18的解答与评注部送宁波大学数学系陈计老师(邮政编码:315211)。提供问题尽可能随同附上解答、参考文献以及有助于编辑的其它见解。题号右上角的星号(*)表示问题提出时尚无解答。问题 22.设1相似文献   

难题征解

我们的栏目已经办了一年,这一年拟题者尽心,解题者活跃,加之栏目主持人且述且评的文笔,使栏目人人喜欢,大家也从中得到益处。在新年之际,借此对所有供题者,解题者及主持人一并表示谢意。一个栏目办得大家都想看,了解什么问题已解决,什么问题尚未解决,或者那年那月只解决到那一步,谁如果有兴趣就可以从这一步再做下去,这样的栏目在任何时候都不会过时,这就叫做有生命力。甚至一个难题大家跃跃欲试,终不得其解,让其悬着,亦未必不雅。他年你若灵机一动,将其解决了,不亦乐乎? 诚然,难题难无止境,我们不主张老是提一些人人望而生畏,或者在某个特殊方向上偏得很远的难题。我们希望将难度控制在高中联赛的第二试到国际数学奥林匹克之间,其题材亦希望是多方面的。这对于活跃学术气氛、开拓思路都是有裨益的,亦使搞数学竞赛的师生有所借鉴。     

难题征解

本栏从这期开始由付克昌与陈计共同主持。问题的提供和本期以后问题的解答邮送浙江师大数学系付克昌老师;问题1～18的解答与评注继续邮送宁波大学数学系陈计老师(邮政编码:315211)。提供问题尽可能随同附上解答、参考文献以及有助于编辑的其它见解。题号右上角的星号(*)表示问题提出时尚无解答。问题 19.△ABC的内分角线交其外接圆于A′,B′,C′,交三边于 D,E,F,又交△A′B′C′的三边于D′,E′,F′。求证: (a)AD′/A′D+BE′/B′E+CF′/C′F≥3。 (b)A′D/AD′+B′E/BE′+C′F/CF′≥3。 (福建南安陈胜利提供) 20.对于任意奇数n>0,N_1=2~(n-1)(2~n-     

难题征解

本栏从下半年开始,由陈计同志与傅克昌同志共同主持。问题的提供和问题19以后的解答邮送浙江师大数学系傅克昌老师;问题1～18的解答与评注邮送宁波大学陈计老师(邮编;315211)。问题 25’.给定正数a_1和a_2,用 a_(x+2)=1/a_(n+1)+1/a_x=1,2,3,…定义数列{a_n}_(n=1)~∞。证明lima_n存在并求这极限。注:第一个正确解答者奖金10元,由供题人设     

难题征解

问题 31求出使(3’+1)/4与(3’-1)/2均是素数的全部奇素数l。注:第一个正确解答者奖金20元。 (黑龙江哈尔滨曹珍富提供) 32在边长为2的正三角形ABC内部或边界上,任意放置5个边长都是1的正三角形T_1,T_2,T_3,T_4,T_5。求证:存在T_1,T_2(l≠J),使得T_1∩T_2的面积不小于(3~(1/2))/(16)。 (河南新乡吴伟朝提供) 33设a∈(0,π/2],i=1,2,…,n,证明或否定:∑dtga≤nctg(a_1+…+a_1)/nsin(a_1+…+a_(?))/n 。注:第一个正确解答者奖金20元。