三角形中位线定理的活用

三角形中位线定理是几何中的重要定理，关于它的基本应用课本中已有论述，这里不再重复．本文专门介绍它的灵活应用．所谓灵活应用是指题设条件中不具备应用中位线定理的条件，必须通过作辅助线，创造条件用定理．现举几例加以说明．例1如图1，梯形ABCH中，AH／／BC，AD＜BC，E是AC的中点，F是BD的中点．求证：EF／／AD／／BC且EF分析由题设可知，要证FE／／AD／／BCFE／／BC．为此连结AF并延长交BC于G．于是由三角形中位线定理可知，要证FE／／BCFE／／GC、F是AG的中点AF＝FG△AFD≌△GFB　FD＝FB，∠AFD＝∠G…     

一组平面几何问题的探究

本文给出一组与完全四边形密切相关的平面几何问题,题1设四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,直线PR分别交AQ、BQ于点M、N,则证明：如图1,直线BQ与△PAD三边都相交,由梅涅劳斯定理,有题2过O外一点Q作O的两条切线,E、F为切点,作一条割线QDA,EF和AD交于点M（图2）．则证明：连结ED、EA、FD、FA．题3四边形ABCD内接于圆,边AB和DC的延长线交于点P,边AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E、F,则P、F、R、E四点共线,证…     

用三角法证几何题举例

运用三角知识证明几何题，在多数情况下，不需要添作辅助线，而且证题思路清晰、简明．用三角知识证几何问题的一般步骤是：（1）设辅助角；（2）用辅助角的三角函数及有关线段表示结论中各元素；（3）用三角公式计算得证．下面列举数例，供同学们参考．例1已知。、b是Rt凸ABC的两直用边，＿L，、．＿。，，＿。L、＿111h是斜边AB上的高，求证：士十台一台．例2在矩形ABCD中，AP上BD于P，PE入BC于E，PF入DC于F．求证：PA‘一BH·PE·PF．证明设／ADP—a，则ZBAP一LPBE一ZHPF一。‘BD一BP＋PD，BD＝PA·tga＋PA·ct…     

巧构一元二次方程

一元二次方程是初中数学的一个重点内容．在解决某些数学问题时，若能根据题设条件或经适当变换，巧妙地构造出一元二次方程，往往能使一些比较棘手的问题迎刃而解，现略举几例．     

几何证明中的恒等变形

2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛解答题第14题为：例1如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，E为线段AB上的点，且满足AE=AD，BE=BC，过点E作EF∥BC交CD于点F，设P为线段CD上任意一点．     

一道经典几何题的再思考

题1 如图1,四边形ABCD中,AD=BC,取AB与CD的中点E、F,连结EF,并延长分别交AD、BC的延长线于G、H．求证：／AGE=／BHE．这道几何题,我上初中时就作为练习题做过,为其经典证法陶醉过．连结AC（BD亦可）,取其中点M,再连ME、MF,从而构造出一个等腰AMEF,将欲证两角移到这个等腰三角形内,从而获证．真是太奇妙了．     

(二十)直线与圆的位置关系测试卷

一、填空题（每空5分，共50分）：1．如图1，PA切于A，AB是OO的弦，BC是①O的直径，／PAB—35”，则／ABC一2．如图2，凸ABC肩接于OO，／B一AC，ZBOC—100”，MN是过B点而垂直于OB的直线，则／ABM一，上CBN一；／3．若PA、PB分别切①O于A、B，左APB—60”，OP—12，则PA一，PB一；4．在凸ABC中，若全C—90“，AB—10，BC—2八，以AC为直径的圆交AB于D，则AD一，on＝；5若BC是①O的弦，A为OO上一点，过A点的切线交CB的延长线于P，BC一IO，PA—12，则PB二；6．OO的内接正方形ABCD的边长为6，E是BC的中…     

构造等腰三角形证几何题

等腰三角形是一种特殊的三角形．它除具有三角形的性质外，还有一些特殊性质．有些几何证明题，根据题设条件构造等腰三角形，运用等腰三角形的特殊性质，证题十分巧妙简捷．请看下面几例．例1已知：如图1，在ABC中，求证：△ABC是直角三角形．分析一根据题没条件，要证△ABC是Rt凸，可以构造一个直角三角形与合C的三角形全等．由，作B的手分线BD，便构造出一个等腰三角形DAB，再作DE上AB，易得凸BDE丝凸BDC，就能征得ZC是直角了．证法一作ZB的平分线BD交AC于D，过D作DE上AB，垂足为E，则．．．凸DAB是等腰三角形，DE是…     

用特殊直角三角形巧解中考综合题

用特殊直角三角形解综合题的基本思路是：遇特殊角可通过作适当的辅助线，构造特殊直角三角形，以便用勾股定理或锐角三角函数解题．现以中考题为例，分类分析解题思路．一、求线段的长例1已知：如图1，D、E、F是日0上的三等分点，过D、E、F三点作凸ABC，使DF／／BC，ZABC—45。，AB—3八，BC—4．求HE的长．（不取近似值）、（1996年四川省会考题）分析由题设可知DE是等边凸DEF的＿＿，，＿＿＿AHHF。。油征二”．’DF／／BC，”．ff：一一2，即——。、·’—。，，—一”4BBC”一’而AB、BC为已知，关键是求AH．”．”…     

切线的联想

在解证与圆有关的几何题中,常常出现“切线”这样的条件．如果我们能以切线的用法为突破口,结合其他条件,那么很快便能寻找到解题或证题的途径．有切线这个条件时应联想到它的下面四种应用．一、应用切线的性质定理倒1在ΔABC中,AB＝AC,以AB为直径作0交BC于D,过D点作0的切线,交AC于M．求证：DMAC．证明如图1,连OD．DM切①O于D,…DM上OD．AB＝AC,…左B＝ZC．又OB＝OD,…ZODB＝＝LB．ZODB＝iC,…OD｛ACDM上AC．评注在解有关圆的问题中,当题目的已知条件中有“切线”时,常联想到切线的性质定理,得切点…     

利用不等式证明等式

众所周知；a=5的一个充要条件是a≥b且a≤b.利用这一事实证明有关恒等式，思路别致，独树一帜．下面举例说明．例1（1983年合肥市数学竞赛题）在是直角三角形证将已知等式变形，得由(2)知，A、B均为锐角，于是综合(2)、(3)，命题获证．例2已知a、β、γ为锐角.且cosa=证由对称性，不妨设将题设代入(2)，得比较(1)、(3),得由β=γ及题设命题获证．例3已知证由已知不等式，得两式相乘，得例4在矩形ABCD中，BC=2AB，E为AD上一点，且∠DCE=15°，求证：BC=BE.证如图1结合假设假设BE≤BC，则上述推理过程中不等号均反向，导出BC≤BE…     

梯形面积公式的多种推导方法

梯形面积公式的推导是以三角形和平行四边形的面积公式为基础的．因此，要推导出梯形的面积公式，就要把求梯形的面积转化为求三角形或平行四边形的面积．在此，转化的方法有多种．现把推导梯形面积公式的几种方法介绍如下，供参考．已知：在梯形ABCD中，AD‖BC，设AD＝a，BC＝b，底边上的高为h．求证：证一如图1，连结AC，作AE⊥BC，E为证二如图2，作AE⊥BC，E为垂足，作AF∥CD交BC于F，则AFCD是平行四边形．证三如图3，作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足，则易知AEFD是矩形，AE＝DF＝h，证四如图4，作DE⊥BC，E为垂足…     

(十八)相似形测试卷(B卷)

一、填空题（每空5分，共50分）：。db，。r．．id＋b1．若干一手一0，则二：一；“””一53””’”””ah’n＿＊＿＿y：＿。。，J十打一3Z2．若干一手一手一O，则t－，m－－－－－－－一一一’－432”—””””———’3‘在凸＊＊C中，若＊B＋＊C一ZO。二，＊D是用平分线，＊E／＊A交＊C于E，＊E：＊C一3：2，则AB一，AC一；4在梯形ABCD中，AD／／BC，AB—9，BC—15，CD—7，AD—IO，BA、CD的延长线相交于E，WiAE一，DE一；5．在凸ABC中，AC—15cm，AD是中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于P”，则AF一，F…     

巧用相似三角形证线段倍半关系

证明线段倍半关系是常见的几何证明．常用的方法是；作一线段等于短线段（或长线段）的2倍（或一半），然后证明这条线段等于长线段（或短线）．这样的一类问题如果利用相似三角形去解，可使证明方法更简便．例1在凸ABC中，AB—ZAL？，AD平分，————‘＿，＿＿。＿、＿＿＿l＿＿／BAC，P是AD的中点．求证：PC一青BD．———““—”“——““—”“’‘””””“”“”—－2——一分析若用全等三角形来证，可以将线段折半．取BD的中点E（见图1）证凸PEDgy凸ACP来完成．或过P作PE斤BD交AB于E（见图2），通过证凸APE公凸…     

一道中考题的多种证明方法

河南省1997年中招考试数学试题的第六题是一道平面几何证明题．此题证法灵活多样，思路广阔，不怕不怪，难度适当，不失为考查学生的逻辑思维和论证能力、综合运用所学知识分析和解决问题能力的一道难得的几何佳题．此题从多角度分析，可得到多种征明方法，下面给出几种证法，供读者参考．题目：如图亚，ABC内接于OOAB—ACAD是①0的切线，BD／AC，BD交OO于点E，连结AE，求证：AE’一DE．DB．证法1如图亚，延长DA到几．．．AD是00的切经，：．LFAC一ZABC：．．．BD（＊C，入＊＊＊C一＊D，．．＊D一＊＊BC．？四边形＊＊…     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

共边比例定理及其应用

共边比例定理：若△ABC和△DBC有公共边BC，AD交BC于E（或交BC的延长线于E），则＝S△ABC/S△DBC=AE/DE．符合命题条件的两共边三角形，其位置关系有如下四种情形．证如图甲，过A、D分别作BC的垂线，垂足其他三种情形可以类似地证明（略）．如果我们熟悉这个定理的四种情形，并能灵活地应用它，则能方便地、简捷地解答许多数学竞赛题.一、有关线段问题例1如图，在△ABC中，若BD：DC＝CE:EA＝2：1，AD和BE相交于F，则AF：FD＝___．（92－93学年度广州等五市初中数学竞赛题）解　　连结FC，设S△DCF＝S,贝S△BDF＝2…     

一道奥赛几何题的多种证明

题目设H是锐角△ABC的垂心，M是BC边的中点，过H作AM的垂线，垂足为P．证明：AM·PM=BM^2． 这是2011年一道日本奥赛题．文给出一种证法，其要点是：ME（参见图7）是为以AH为直径的圆的切线，E为切点，注意BM=ME，     

一道中考题的九种证法

题目如图1，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE，连结EM并延长交BC的延长线于D．求证：BC=2CD．（1994年吉林省中考题）一、过C点作平行线证1如图1，过C点作CF／／AB交ED于F，则易知AMEF．所以证2如图2，过C点作CF斤DE交AB于F．故BC=2CD．二、过E点作平行经证3如图3，过E点作EF／／BD交AC证4如图4，过E点作EF／／AC交BD由（1）、（2），得BC—ZCD．三、过A点作平行线证5如图5，过A点作AF／／ED交BD＿，，。，、＿＿＿。BDBE延长线于F，则于子一三千一3．——””——““’”“DFEA””证6如图6，…     

你会构造方程吗

有些数学问题从表面上看似乎与一元二次方程无关,但若根据题设条件或结论的特点,构造一个一元二次方程,再利用方程的性质求解,则往往会使问题得到顺利解决．下面举例说明构造一元二次方程的途径和方法．