关于(L)积分与(R)积分的区别与联系

(一)两种积分的可积性差异及原因黎曼积分存在的必要条件是被积函数有界,但有界函数不一定 R 可积。例如:狄利克雷函数:D(x)={1,x 为[0,1]内有理点 0,x 为[0,1]内无理点在[0,1]上有界,但非 R 可积。那么,函数 R 可积的充要条件是什么呢?在数学分析中已证得在闭区间上有界函数 R 可积的充分条件     

《积分上限函数》教学札记

定义如果函数f(x)在[a,b]可积,那么对[a,b]上任一点x,f(x)在[a,x]也可积,且对应于确定的数∫_a~xf(t)dt,记ψ(x)=∫_a~xf(t)dt称之为积分上限函数。     

有界函数的Lebesgue积分的一个等价定义

本文建立了有界函数f(x)在可测集E上的“关于f(x)等分”可积(Lebesgue意义)的定义,并证明了它与f(x)在E上Lebesgue可积的等价性。     

关于Riemann积分分部积分公式的推广

本文利用和差变换公式,对分部积分公式进行了推广,得到函数u(x),v(x)在区间[a,b]上可导且b!au(x)dv(x)存在的条件下分部积分公式仍然成立,并结合数学分析教材中所给出的可积函数类,得到相应的两个推论.     

广义Riemman积分与LabeSgue积分与关系

1、引言 本文主要把普通Riemman积分(以后简称(R)积分)与Labesgue积分(以后简称(L)积分)的关系作了进一步的推广。关于(R)可积的函数是否一定(L)可积?哪些函数类(R)可积?已得到彻底解决,读者可从[1]、[2]中找到下列结果: 引理1、设f(x)是[a、b]上有界函数,若它在[a、b]上(R)可积,则     

关于积分性质的一个注记

定理 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]可积,F(x,y)=f(x)·g(y),且满足:     

积分第一中值定理在广义Riemann积分中的推广

文章按着如下方式将积分第一中值定理在广义Riemann积分中做了推广。如果在开区间IR上f(x)有界连续,g(x)非负可积(广义),则对ε>0,ξ∈I使得｜∫If(x)g(x)dx-f(ξ)∫Ig(x)dx｜<ε     

Riemann积分与Lebesgue积分之比较

研究了Riemann积分与Lebesgue之间的关系，在给出了正常Riemann积分与Lebesgue积分的联系的同时，重点研究了广义Riemann积分与Lebesgue积分的关系，即函数f(x)在[a,b]上Riemann可积时，f(x)在[a,b]上也Lebesgue可积，并且两积分分值相等；但广义Riemann积分与Lebesgue积分之间的关系则不尽然．当无穷积分或瑕积分在区间绝对收敛时，则函数f(x)在此区间也Lebesgue可积，并且两积分分值相等，当无穷积分或瑕积分在区间条件收敛时，则函数f(x)在此区间不Lebesgue可积．     

积分中值定理反问题的讨论

在一般教科书中积分中值定理都叙述为:设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则存在ξ∈[a,b),使得 (integral from n=a to b)f(x)g(x)dx=f(ξ)(integral from n=a to b)g(x)dx。杨新民在[1]中提出了相反的问题:若f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,对[a,b)内每一点ξ能否找到c,d∈(a,b),满足c<ξ相似文献   

关于f″(h(x)) p(x)f′(h(x)) q(x)f(h(x))=F(x)的求解定理

文献中曾给出了 f′(h(x))=g(x)的若干求解公式.本文先提出三个引理,再借助复合函数求导法则、积分方法及变量替换法,给出新的微分方程 f″(h(x)) p(x)f′(x)) q(x)f(h(x))=F(x)·论证它在一定条件下的可积性,并获得通解的具体表达式.所得结论是对文献中问题的拓广与深化.     

关于定积分第一中值定理的一个证明

一般数学分析课本上对定积分的第一中值定理是这样叙述的:定理1 若函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则在[a,b]上存在一点ξ使得而这个定理在(1)中却是这样叙述的:定理2 若函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则在开区间(a,b)内存在一点ξ,使     

对积分号和极限号可交换问题的讨论

我们知道在Riemann积分(以后简称R积分)的范围内,为了使积分号和极限号可交换,即对一列收敛的R可积函数列{f_n(x)}能成立,一般要加上一致收敛这一充分条件。“即”当f_n(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x)时,就能保证f(x)在区间[a,b]上可积,并且等式(1)成立。这一充分条件不但非常苛刻而且检验起来也很不方便,这样就使得积分与极限的交换问题不能顺利解决(参看书[1])。R积分的这种缺陷也是Lebesgne积     

一类广义积分的计算方法

对于广义积分integral from n=0 to ∞ dm/dx~m(1/1 x~2)d~n/dx~n(1/1 x~2)dx和integral from n=0 to ∞ d~m/dx~m(sin x/x)d~n/dx~n(sin x/x)dx(m,n为非负整数),采用Fourier变换及级数计算出它们的值,并指出在区间(-∞, ∞)上可积的函数f(x),亦可仿此计算广义积分integral from n=0 to ∞ f~(m)(x)f~(n)(x)dx.     

含参变量的有限n重积分的分析性质

从含参变量的有限积分函数I(x)=∫c^df(x，y)dy的定义及共在区间[a，b]上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发，拓广到含参变量的有限n(n≥2)重积分函数的定义及其分析性质，分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式。     

拟超解析矩阵函数的(F,G)—积分(英文)

本文定义了拟超解析矩阵函数的(F,G)一积分,求得了拟超解析矩阵函数在有界单连通区域Ω上(F,G)可积的条件,并建立了拟超解析矩阵函数的(F,G)可微与(F,G)可积之间的关系.     

含参变量的有限n重积分的分析性质

从含参变量的有限积分函数I(x)=$dcf(x,y)dy的定义及共在区间[a,b]上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发,拓广到含参变量的有限n(n≥2)重积分函数的定义及其分析性质,分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式。     

定积分第一中值定理的证明

一般高等数学中都证明了如下的积分第一中值定理:若f(x)在[a、b]上连续,g(x)在[a、b]上不变号且可积,则在[a、b]中存在一点ξ,使     

无穷积分被积函数的极限问题

目的:讨论无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx的被积函数f(x)当x→ ∞时的极限情况.方法:利用函数f(x)在[a, ∞)上一致连续的一些性质和结论.结果:给出了无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx的被积函数极限lim/(x→ ∞)f(x)=0的一些条件及其证明.结论:无穷积分integral from n=a to ( ∞)f(x)dx收敛时被积函数极限xli→m ∞f(x)=0必须附加一定的条件下才能成立,这与数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的.     

关于Directly-Riemann积分的Riemann定理的推广

在Fourier级数的收敛理论中 ,Riemann引理 (Riemann积分意义下 )起到了非常重要的作用 .在Directly_Riemann积分意义下 ,给出了Riemann定理 .即设f(x) ,g(x)是定义在 [0 ,+∞ )上非负 (D_R)可积函数 ,｜g(x)｜≤M ,对任意的区间 [0 ,A] [0 ,+∞ ) ,有∫A0g(x)dx ≤k ,则limp→+∞∫+∞0 f(x)g(px)dx =0 .     

对积分号和极限号可交换问题的讨论

在 Riemann积分的范围内，为了使积分号和极限号可交换，即 fn(x)dx (1)对一致收敛的 R可积函数列 {fn(x)}能成立，一般要加上一致收敛这一充分条件，即当 fn(x)在 [a,b]上一致收敛于极限 f(x)时，就能保证 f(x)在区间 [a,b]上可积，并且等式 (1)成立，这一条件不但非常苛刻，而且检验起来也不方便，这样使积分与极限的交换问题不能顺利解决 (参看注 [1])。 R积分的这种缺陷使 Lebesgne积分得以产生和发展。这里我们不讨论 R积分的这种缺陷，而是在 R积分的范围内，对积分和极限可交换问题中的一致收敛性进行讨论，也就是看一下一致收敛…