验证“阿基米德原理”五法

著名的“阿基米德原理”是“浮力”一章的重点知识之一 .要使学生牢固掌握这条重要的原理 ,做好探索“阿基米德原理”的实验是关键 ,下面介绍五种常见实验验证阿基米德原理的方法 .一、弹簧秤称量法器材　弹簧秤、重物、细线、小桶、水、溢水杯等 .步骤　如图 1 ( a)～图 1 ( e)所示 .( 1 )在溢水杯中装满水 .( 2 )用弹簧秤称出小桶所受的重力 G1.( 3)用弹簧秤称出重物所受的重力 G.( 4)用弹簧秤测出重物浸没在水中时的读数 F .( 5)用弹簧秤称出盛接了水后的小桶所受的重力 G2 .( 6 )计算重物所受水的浮力 F浮 =G- F .( 7)计算被重物排开的水重 G排 =G2 - G1.可得结论　F浮 =G排 .图 1二、量筒测量法器材　量筒、水、弹簧秤、重物、细线等 .步骤　如图 2 ( a)～图 2 ( c)所示 .( 1 )在量筒中装入适量的水 ,体积为 V1.( 2 )用弹簧秤测出重物所受的重力 G.( 3)用弹簧秤测出重物浸没在量筒里的水中时的读数 F ,同时记下此时水面所在处的刻度值 V2 .( 4)计算重物所受水的浮力 F浮 =G- F (5)计算被重物排开的水重为G排 =ρ...     

用好定义化难为易

题 1　Q是双曲线x2 - y23=1上的任意一点 ,F1、F2 是两焦点 ,从左焦点F1引∠F1QF2 的平分线的垂线 ,垂足为M ,求点M的轨迹方程 .这是最近我市高三调研题中的一道题 ,从同学们的解法中我们发现了多种较好的解法和存在的问题 .1　巧妙的“相关点”转移　　　　　图 1解法 1　由双曲线方程可知 ,a =1,b =3,c =2 ,F1(- 2 ,0 ) ,F2 (2 ,0 ) .若点Q在双曲线的右支上 ,则延长QF2到T ,使 |QT| =|QF1|(如图 1) ;若点Q在双曲线的左支上 ,则在QF2 上取点T ,使 |QT| =|QF1| .由双曲线的定义可知 ,|F2 T| =2a =2 ,所以T点在以F2 为圆心 ,2为…     

《数学试题选译》部分解答或提示

1.(题见上期,这里只列题号,下同)(l)解x,==告〔(x+夕)“一(x“+,’)〕 =告(a“一b).’. xs+95==(x+万)(xZ+夕“一xg) =于a(sb一aZ)(2)提示‘(3)提示:先计算x一3二训了一l。二,_aZ+日2乡q凡决、一—十丁石一.一 以p _(a+日)2一Za日 一a日 (4)提示:可换成同以5为底的对数。 2.解G(n)==F(n+z)一F(n)=…(略)== n3一九2一2由此可知,当n是正整数时,G(:)是整数。由尸(旅+l)=G(n)+F(n)可得 F(n)==G(n一1)+F(n一1) 二G(n一l)+G(n一2)+F(n一2) =……二G(n一l)+G(n一2)+一 +G(1)+F(l). G(n一l)、G(n一2)、…、G(l),都是整数,F(1)=一7,.’.F(n…     

圆锥曲线方程

☆基础篇 课时一椭圆 诊断检测 一、选择题 1.椭圆的中心在原点,长轴是短轴的2倍,一条准线方程为x=-4,那么这个椭圆的方程为()(A)x2/4+y2=1.(B)x2+y2/4=1.(C)x2/12+y2/3=1.(D)x2/3+y2/12=1. 2.已知P(5/2,3(3～(1/3)/2)是椭圆x2/25+y2/9=1上的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,点Q在线段F1P上且|PQ|=|PF2|,那么Q分有向线段F1P的比为()(A)2:5.(B)5:3.(C) 3:4.(D)4:3. 3.椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两焦点F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两边,则椭圆的离心率为() (A)3～(1/3).(B)4-2(3～(1/3).(C)3～(1/3)/2.(D)1/2.     

从一道题谈起

最近,我听了一位教师课题为《曲线方程的求法》的一节课.其中一道例题:求圆心在(2,1),且与x2+y2?3x=0的公共弦所在直线过点(5,?2)的圆的方程.解由已知可设圆的方程为x2+y2?4x?2y+F=0.(1)又x2+y2?3x=0,(2)(1)?(2)得?x?2y+F=0.而直线?x?2y+F=0过点(5,?2),把(5,?2)代入?x?2y+F=0,得F=1.因此所求圆的方程为:x2+y2?4x?2y+1=0.评课会上,有人提出:(1)?(2)所得?x?2y+F=0一定是相交弦吗?若不是,它又是什么呢?本文就此展开讨论.不失一般性,设两个不同的圆22O1:x+y+D1x+E1y+F1=022(D1+E1?4F1>0).(3)22O2:x+y+D2x+E2y+F2=022(D2+E2?4F2>0).(4)(3…     

平面几何的性质在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点,这一章涉及的题目运算量大,这不但需要较强的运算能力,而且更需要运算的技巧与方法,巧用平面几何的性质,可使繁杂运算简单化,现举例说明。例1点P是椭圆xa22 yb22=1(a>b>0)上任意一点,F1、F2为其左、右焦点,过F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线,垂足为Q,求点Q的轨迹方程.解:如图1,易知:Q是线段F2M的中点,PM=PF2∴OQ是△F2F1M的中位线∴OQ=12F1M=21(F1P PM)=21(F1P PF2)=a设点Q坐标为(x,y),则点Q的轨迹方程为:x2 y2=a2.图1图2例2已知两定点A(-1,0),B(2,0)满足∠MBA=2∠MAB,求动点…     

对新高一教科书中一道例题的商榷

在高中《物理》(第一册·必修 )第三章“牛顿运动定律”的第三节“牛顿第二定律”中有这样一个例题 :“一个物体 ,质量是 2kg ,受到互成 1 2 0°角的两个力F1和F2 的作用 ,这两个力的大小都是 1 0N ,这个物体产生的加速度是多大 ?”下面是笔者与学生对此例题在课堂教学互动过程中的实录 :先让学生独立思考 ,教师巡视了解情况 .发现有的学生很快写出答案 .a =F合m =1 02 m/s2 =5m/s2 .但有的学生紧锁眉头 ,在底下窃窃私语 :F1、F2 方向怎么样 ?这时我觉得让学生讨论的机会到了 ,来到他们中间与他们一起讨论 .生 :F1、F2 方向怎么样 ?生 :…     

考试前,最好记着它们……

大凡数学考试,总少不了选择题、填空题.如果我们能牢记一些常用的结论和公式,解这些题时就会快捷许多,省不少“事”.譬如,要记着下面这些——1.对椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)若F1F2是焦点,∠PF1F2=a,∠PF2F1=β,则椭圆离心率e=     

上海市1982年初中数学竞赛试题解答

,朽.,利用余弦定理可得:BCz=a,+aZ一Za,·。o、45. ‘(2一“丁)a,.丫ADZ=ABZ一BDz二尘士夕牙护 通一,. ctg 67.30互夕.AD=斌了一1本题应选择(A). 4.延长BC到G与勺O交于G,过C、O作00『}’、 {\伏一M\NAL-干军一B 直径EF与④O交于E、F, 联MG与百F相交于尸(如F图)。 由已知可得EF了AB 乙尸CM,匕A=60’, 乙尸C口=乙B=60.。一、选择题.,.’(1一2一甸件(1一2一甸.(l+2一甸 .(1+2一仓).(l+2一羞).(1+2一告)=(1一2一惫).(1+2一盖).(一+2一青).(z+2一奋) l“‘一告(l一2一‘)·1本题应选择(A). 2.‘.’l劣一109。夕l=劣+loga,, {…     

双曲线焦点三角形内心旁心的轨迹方程

文[1]谈了椭圆焦点三角形内心和旁心的轨迹方程,本文进一步谈双曲线焦点三角形内心和旁心的轨迹方程.设M点是双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)是双曲线的两个焦点,称三角形M F1F2为双曲线的焦点三角形.引理(1)设∠M F1F2=α,∠M F2F1=β,M点在双曲线右支上,则t a n2α?c o t2β=c-ac a;M点在双曲线左支上,则t a n2α?c o t2β=cc -aa.引理(2)(如图1)设M(x0,y0),△M F1F2的内心为K,连M K并延长M K交x轴于N点,则N点的横坐标xN=xa02.证明:(1)当M点在双曲线右支上时,鸐F1?s i nβ=鸐s i nFα2?s i n?(Fα1F 2?β…     

2005年高考数学压轴题预测

例1如图1,过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB.若点M在x轴上,且使得M F为△AM B的一条内角平分线,则称点M为该椭圆的“左特征点”.(1)求椭圆x25+y2=1的“左特征点”M'的坐标.(2)试根据(1)中的结论猜测椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“左特征点”M是一个怎样的点,并证明你的结论.解析(1)设M'(m,0)(m<0)为椭圆x25+y2=1的“左特征点”,椭圆的左焦点为F'(-2,0),可设直线A'B'的方程为x=ky-2(k≠0),将它代入x25+y2=1,得(ky-2)2+5y2=5,即(k2+5)y2-4ky-1=0.设A'(x1,y1),B'(x2,y2),则y1+y2=4kk2+5,y1y2=-1k2+5.①…     

点击抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦有着很多值得思考的性质,这里略举一二.图1(一)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1 x2 p.这由抛物线的定义很容易得到.(二)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-p2.证明:抛物线y2=2px与直线AB:x=ky 2p,联立得y2-2kpy-p2=0,所以由韦达定理得y1·y2=-p2.(三)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,令|AF|=r1,|BF|=r2,则r11 r12=2p.设抛物线的焦点F2p,0,当直线的斜率不存在…     

数学归纳法应用例举

数学归纳法是一种递推的方法,概括地说就是:有一个与自然数n有关的命题F(n),用下面两个步骤来证明它的正确性。(1)当n=1时,验证F(1)成立;(2)在假设命题对于n=k时F(k)成立,推出命题当n=k 1时也成立,即证明F(k 1)也成立,完成了这两步就可以归纳公理断言:命题F(k)对一切自然数n都成立。这就是第一归纳法。     

依据条件谨防误区

题目　点P与点F( 2 ,0 )的距离和与直线x =8的距离的比是 1∶ 2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解法 1:设P(x ,y)是轨迹上的任意一点 ,它到直线x =8的距离为d ,则|PF|d =12 ,即(x -2 ) 2 y2|x -8|=12 .两边平方、整理得x2 2y2 8x =5 6,也就是(x 4 ) 272 y23 6=1.这就是所求动点P的轨迹方程 ,它表示一个中心在 ( -4 ,0 ) ,焦点为F′( -10 ,0 ) ,F( 2 ,0 ) ,长轴长是 12 2的椭圆 ,如图所示 .解法 2 :根据椭圆的第二定义知所求动点P的轨迹是一个椭圆 ,其焦点在x轴上 .因为焦点F( 2 ,0 ) ,准线x =8,所以c=2 ,a2c=8,解得a2 …     

挖掘课本“四题”潜能，加大培养能力力度

2001年高考数学理科(19)题、文科(20)题 试题设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. 本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.1 来源1.1 引用《平面解析几何》课本第101页8题: “过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求     

2002年高考全国理综卷中几个物理试题的商榷意见

20 0 2年全国理综试卷 卷中有关物理的四个题(原题见本期第 4 9面 ) ,都有值得商榷之处 ,现简述如下 :一、第 2 6题分析　原题和“参考答案”对于本题中运用的模型有很明确的说明 :(1)“把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理”.(2 )“将运动员看作质量为 m的质点”.应用这个模型 ,“参考答案”中用牛顿第二定律和运动学公式顺利求得网对运动员的力 F =1.5× 10 3N.用这个模型 ,还可用动量定理解答本题 :先从运动学公式求出 v1 和 v2 ,再用动量定理得出(F- mg)Δt=m(v1 v2 ) ,解得　 F=mg m 2 gh2 2 gh1 Δt=1.5× 10 3N.沿着…     

例说摩擦力问题的四类“突变”

1 .静—静“突变”物体在摩擦力和其他力作用下处于平衡状态 ,当作用在物体上的其他力发生变化时 ,如果物体仍能保持静止状态 ,则物体受到的静摩擦力大小或方向将会发生“突变” .【例 1】　如图 1所示 ,一木块放在水平桌面上 ,在水平方向上共受到三个力 ,即F1、F2 和静摩擦力作用 ,木块处于静止状态 ,其中F1=1 0N ,F2 =2N .若撤去F1,由木块在水平方向上受到的摩擦力为 (　　 )A .1 0N ,方向向右　　B .6N ,方向向左C .2N ,方向向右D .零解析 :未撤去F1前 ,木块处于静止状态 ,说明木块受到的静摩擦力大小为f =F1-F2 =8N ,方向向左 :…     

2005中国数学奥林匹克

第一天(2005-01-22)一、设θi∈-π2,π2,i=1,2,3,4.证明:存在θ∈R,使得如下两个不等式cos2θ1·cos2θ2-(sinθ1·sinθ2-x)2≥0,①cos2θ3·cos2θ4-(sinθ3·sinθ4-x)2≥0②同时成立的充分必要条件是∑4i=1sin2θi≤21 ∏4i=1sinθi ∏4i=1cosθi.③(李胜宏　供题)二、一圆与ABC的三边BC、CA、AB的交点依次为D1、D2、E1、E2、F1、F2.线段D1E1与D2F2交于点L,线段E1F1与E2D2交于点M,线段F1D1与F2E2交于点N.证明:AL、BM、CN三线共点.(叶中豪　供题)图1三、如图1所示,圆形的水池被分割为2n(n≥5)个“格子”.我们把有公共…     

数理结合练习题(初二、初三)

1.一段导线在0℃时的电阻为2欧,温度每增加1℃,电阻增加0.008欧,那么电阻R(欧)表示为温度t(℃)的函数关系式为( )(A)R=0.008t. (B)R=2 0.008t.(C)R=2.008t. (D)R=2t 0.008.2.已知力F所做的功是15焦,则力F与物体在力的方向上通过的距离s的图象大致是( )     

两个题目的推广

问题DB=BE1如图i,在△ABC中,AD:EC=CF:FA二1:2,求证:_nP (m n)(p q)SoABc。S△nEFS△^。e同理, S△EeF=证连AE,争么AB一;_qs .Q 下二厂厂二又万二,下,几~一甘八AUC, 、p宁甘少气S宁t)113 一一S△noE=笋流_2。一9口“ABc·S△F人n二 tm(s t)(m n)。S八Aoc。向理,s…F=S·F人一普s·人。c s△二F=【‘一(而湍而、 C B A △ S....J、、,/.、s·。。;=(‘一3·香)s△人叱=令s“‘“C’且p 一_少____ (P q)(s t) 一一些生-__ (s t)(m n)s△。E,_工瓦又丽一3 推广这一命题有下列两种情形: 1、当条件中的BAD:DB=BE:EC=C…