问题3．1～2参考答案

取△ABC的高CD=h,则S=ah-π4h2.∴S=-4πh-2πa2+aπ2.∵0≤h≤a,∴0<2πa相似文献   

直线与圆典型问题剖析

直线与圆的基础知识是解析几何部分的基石,是解决很多数学问题行之有效的途径.将这部分知识学活、学实十分必要,现举若干典型问题加以剖析,以期对大家有所帮助. 例1已知直线l的倾斜角为α,且-1≤tanα≤1,则α的范围____. 解:因为-1≤tanα≤1,所以又0≤α<π,因此,3/4π≤α<π或0≤α≤π/4. 文华点精:由倾斜角的范围确定出分界线0,是本题的关键,也是容易出错的地方. 例1直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直,则a的值为____. 解:A1=a+2,A2=a-1,B1=1-a,B2=2a+3.因为两直线垂直,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,整理得a=±1. 文华点精:此题极易漏解,需分a=1,a≠1两种情况讨论.其实本题     

怎么结果不一样呢?

习题:已知0≤α≤π,0≤β≤π/4,且有α β=2π/3,求函数y=[1-cos(π-2α)]/[ctg(α/2)-tg(α/2)]-cos2(π/4-β)的最大值,并求出相应的α、β值.     

两正数四种平均的几何统一表示及加强

将两正数a、b的调和、几何、算术、方幂平均统一为:T(a,b,θ)=a2cos2θ b2sin2θ(θ相似文献   

数学竞赛单元训练题(高中) 不等式的性质

一、选择题1 .设实数a、b、c、d满足a b =c d =1 ,ac bd>1 ,则a、b、c、d四个数(　　) .A .必全为正实数　　　　B .至少有一个负数C .有且只有一个负数D .以上都不对2 .已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C ,对应边长为a、b、c,记α=aA bB cCa b c ,则(　　) .A .0 <α≤π3 B .π3 ≤α<π2C .π6≤α≤π3 D .π3 ≤α≤2π33 .三个正实数a、b、c满足a2 -a -2b -2c =0 ,a 2b -2c 3 =0 ,下列说法正确的是(　　) .A .以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形B .以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形C .以a、b、c为边长的三…     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

电子束聚焦系统的兀周期解

本考虑电子束聚焦系统理论中的周期边值问题u' au(1-cos2x)=a/u,u(0)=u(π）=u0(>0),u'(p)=u'(π)=0，证明了当0＜a≤0.74时问题的解存在，从而改进了献（3）的结果。     

解析几何题常见错解归类

一、不明确概念而致错例1设θ∈[0,π/2],则直线x·sinθ+y-1=0的倾斜角的变化范围是A.[0,π/4]B.[π/4,π)C.[(3π)/4,π]D.{0}∪[(3π)/4,π)错解据题意可知该直线的斜率为k=-sinθ(θ∈[0,π/2]),-1≤k≤0.设该直线的倾斜角为α,则有-1≤tanα≤0,∴(3π)/4≤α≤π.选C.诊断直线的倾斜角的范围是[0,π),即倾斜角不能为π,所以选项C是错误的.正解据题意可知该直线的斜率为k=-sinθ∈[-1,0].当k=0时,α=0;当k∈[-1,0)时,(3π)/4≤α<π.选D.小结教材中对倾斜角、二面角、象限角的范围都有严格的规定,熟悉概念是正确解题的前提.     

2004年数学高考冲刺卷（三）

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 已知非空集合A ={x|1≤x≤a},B ={y|y =x 1 ,x∈A},C ={y|y=x2 ,x∈A},若B∩C≠ ,则实数a的取值范围为(　　)(A)a≥0　(B)a≥2　(C) 1≤a≤2　(D)a≤12 若cosα·cotα≥0 ,k∈z,则α的取值范围是(　　)　(A) (2kπ,2kπ π)(B) (2kπ,2kπ π2 )∪(2kπ π2 ,2kπ π)∪{2kπ-π2 }(C) (2kπ,2kπ π)∪{2kπ-π2 }3 设函数f(x)在定义域内可导,y =f(x)的图象如图1所示,则导函数y =f′(x)的图象可能为(　…     

一个容易被忽视的问题

我在《平面解析几何》的学习中,应用直线方程解题时,发现一个很容易被忽视的问题。下面把我的体会写出来,请老师们指教。初中数学课本里,直线的倾斜角a规定取0≤a<π,而直线的斜率定义为这条直线倾斜角的正切,即k=tga,直线的倾斜角a允许取π/s,而在直线的斜率的定义a≠π/2,这样,在此定义中自然就将直线垂直于ox轴(a=π/2)的情况排除     

也谈三角换元求一类无理函数的值域

贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为     

椭圆的椭心角和共轭直径的性质

1 椭心角的概念 如图1,设A（acosθ1,bsinθ）,B（acosθ2,bsinθ2）（0≤θ1,θ2≤2π）为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上不同的两点,角α称为椭圆上的弧AB所对椭心角．若θ2-θ1〉0,则α=θ2-θ1;若θ2-θ1〈0,则α=2π-（θ2-θ1）．     

一个易被疏忽的问题

看下面一题的证明过程: 命题已知-1≤x≤1,求证:arcsinx+arccosx=π/2。 证明:令arcsinx=arg（a+bi）（a、b不全为零）,则arccosx=arg（b+ai）,而（a+bi）·（b+ai）=（a2+b2）i是一个纯虚数,…它的辐角arg（a+bi）+arg（b+ai）=π/2,即:arcsix+arccosx=π/2     

此题漂亮，解法多

题目 如图1,在极坐标系Ox中,已知曲线 C1：ρ=4sinθ（π/4≤θ≤π/2）, C2：ρ=4cosθ（π/4≤θ≤π/2或3π/2θ≤2π）.     

正弦定理的一个推论及应用

在△ABC中,熟知a≤b A≤B,又由正弦定理sinA/sinB=a/b,可得如下有用结论:定理 若α、β>0,且α β<π,则 α≤β sinα≤sinβ,等号当且仅当α=β时成立. 应用这个简单的定理,可以简捷、巧妙地解证一些三角不等式和几何难题. 例1 已知正数α、β、a、b满足: α<β,α β<π,     

自然朴素的解答是我们永恒的追求——对2012全国卷理科20题的思考

1 试题及标准答案 题目 设函数f(x) =ax+cos x,x∈[0,π]. (I)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sin x,求a的取值范围. 标准答案(I)f1(x)=a-sin x. (i)当a≥1时,f1(x)≥0,且仅当a=1,x=π/2时,f1(x)=0,所以f(x)在[0,π]是增函数; (ii)当a≤0时,f1(x)≤0,且仅当a=0,x=0或x=π时,f1(x)=0,所以f(x)在[0,π]是减函数;     

错在哪里

sinθ=|cost|~(1/2) ①题已知 cosθ=|sint|~(1/2) ②其中θ∈[0,1/4π],求参变量t的取值范围。解’∵≤θ≤1/4π,∴ cosθ≠0,①+②得 tgθ|ctgt|~(1/2),由0≤tgθ≤1可得0≤|ctgt|~(1/2)≤1,故有kπ+1/4π≤t≤kπ+3/4π (k∈Z) 解答错了!错在哪里? 对于“若命题f(p)成立,求参变量p的取值范围(数集M)”这类问题,正确答案应该符合两条标准:(1)若数p∈M,则命题f(p)成立(不混杂);(2)若数pM,则命题f(p)不成立(不遗漏)。本题若t=1/4π,     

如何由sinα+cosα的值判断α的范围

在直角坐标系xoy中,各象限的角平分线连同轴、y轴共八条射线,它们把直角坐标系分成八个区域,在各射线上标上相应的sinα+cosα的值,就可以很方便地判断出α的范围。如上图建立坐标系,设sinα+cosα=x,且α∈〔02π〕,A(1,1).〔结论1〕若1相似文献   

以任意实数为条件的问题解法探讨

几乎所有的数学复习资料和习题集中,都有这样一类习题:“对于任意实数a,…”,“若…对于任意实代入上式得f(-x)=f(x). 故f(x)为奇函数. 例7.设a、b、A、B∈R,且 f(θ)=1-asinθ-bcosβ-Asin2θ-Bcos2θ, 若对于所有的实数θ恒有f(θ)≥0,求证: A~3+B~2≤1,a~2+b~2≤2. 证明,引入辅助角α、β,使得a/r=cosα,b/r=sina,A/R=cosβ,B/R=sinτ,其中r=(a~2+b~2)~(1/2),R=(A~2+B~2)~(1/2).则由f(θ)≥0得1-rsin(θ+α)-Rsin(2θ+β)≥0.(1) 由于(1)式对任何实数θ都成立,则对于π+θ也成立.即1-rsin(π+θ+α)-Rsin(2x+2θ+β)≥0. 即1+rsin(θ+α)-Rsin(2θ+β)≥0.(2) (1)+(2)得2-2Rsin(2θ+β)≥0.(3) 由于(3)式对任何实数日亦成立,则对于2θ+β=π/2也成立,即2—2R≥0. ∴ R≤1,即(A~2+B~2)≤1,故A~+B~2≤1. 用同样的方法可证a~2+b~2≤2(略). 四、求导法如果关于任意变量的解析式恒等于一个常数,就可以对这个恒等式两边求导,然后利用零解析式的特性求其他的条件变量. 例8.sin~2θ+sin~2(θ+α)+sin~2(θ+β)=3/2对任意的实数θ都成立,求α、β的值(0≤α<β≤π). 解:题设等式两边对口求导得 sin2θ+sin[2(θ+α)]+sin[2(θ+β)]≡0, 即(1+cos2α+cos2β)sin2θ+(sin2α+sin2β)cos2θ≡0, 由此得解得α=π/3,β=(2π)/3。     

分点为等分参数的椭圆内接n边形的性质

设椭圆的参数方程为 0≤t≤2π。a>b>0。(1)又设A_1A_2…A_n为(1)的内接n边形,其中顶点A_1的坐标为A_i(acost_i,bsint_i),i=1,2,…n,其中t_1任意,t_2=t_1+(2π/n),t_3=t_2+(2π/n),…,t_(n+1)=t_n+(2π/n)(t_(n+1)=t_1+2π)。