与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

与三角形的费尔马点有关的一个性质的别证

设△ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,如图1,当∠A、∠B、∠C都小于120°时,F为△ABC的费尔马点,FA=u,FB=v,FC=w.则     

三个三角形重心相同的充要条件

文[1]探求了△ABC与△A1B1C1有相同重心的充要条件为：1/1＋λ＋t/1＋t=1/1＋u＋λ/1＋λ=1/1＋t＋u/1＋u.其中λ,u,t分别为C1,A1,B1分△ABC的三边AB,BC,CA的定比（如图1）．     

第42届IMO试题5的三角解法及一般结论

第42届IMO试题5为: 在△ABC中,AP平分∠BAC,交BC于P,BQ平分∠ABC,交CA于Q,已知∠BAC=60°,且AB+BP=AQ+QB.问△ABC的各角的度数的可能值是多少?     

一道IMO试题的类比拓广及简解

（第22届IMO试题）设P为三角形ABC内任一点,P到三边BC、CA、AB的距离依次为d1、d2、d3,记BC=a,CA=b,AB=C,求u=a/d1＋b/d2＋c/d3的最小值．     

一道课本习题的引申

题目求证:G是△ABC的重心的充要条件是GA GB GC=0.证明:(1)必要性:如图1,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点,G是△ABC的重心,所以GA=32DA=32(DC CA)=23(21BC CA),同理可得:GB=23(21CA AB),GC=23(21AB BC),所以GA GB GC=2312BC 12CA 21AB CA AB BC=23×23(CA AB BC)=0→.(2)充分性:     

直角三角形中一个定理的推广

在 Rt△ABC中,AC=b,BC=a,斜边 AB 上的高为 h,则1/(h~2)=1/(a~2) 1/(b~2).它有点类似于勾股定理,加以推广,即得类似于正、余弦定理的命题.定理在任意△ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,BC、CA、AB 边上的高分别为 h_a、h_b、h_c,则有     

关于三角形内心、外心连线的一个性质——一个数学问题的拓广

2011年第2期《数学教学》第811号问题： 在△ABC中，AB〉BC〉CA，点E、F分别在AB、BC上，满足AE=CF=AC，点O、I分别为△ABC的外心、内心．已知EF⊥BC．求证OI//BC． 通过探究，我们发现了该问题的拓广，并给出一个解析法的证明：     

第44届IMO越南国家队选拔考试第4题的简证

题目　M、N、P分别是△ABC的三边BC、CA、AB的中点 ,M1、N1、P1在△ABC的边上 ,且满足MM1、NN1、PP1分别平分△ABC的周长 .证明 :(1)MM1、NN1、PP1交于同一点K ;(2 ) KABC、KBCA、KCAB中必有一个不小于13[1].此题的证明见文 [1] .这里仅给出第 (2 )问的一个简证 .证明 :令△ABC的重心为G ,BC =a ,CA图 1=b ,AB =c ,AM为△ABC边BC上的中线 ,如图 1所示 .则有GA GB GC=0 .又KA =KG GA ,KB =KG GB ,KC =KG GC ,故KA2 KB2 KC2=3KG2 2KG·(GA GB GC) GA2 GB2 GC2=3KG2 GA2 GB2 …     

关于分周线的三个定理

首先,把平分三角形周长的直线叫做三角形的分周线.如图1,在△ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,周长为2p,直线l与AB、AC交于D、E,且有AD AE=BD BC CE=a b c/2=p,则直线l是△ABC     

一道赛题的另证

题目对于任意一个△ABC,记其面积为S,周长为l,P、Q、T依次为△ABC内切圆在边BC、CA、AB上的切点.证明:(第23届韩国数学奥林匹克)证明如图1.设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r.易知,BC=2Rsin A,TQ=AOsin A     

一道IMO试题的纯平几证法研究

第35届 IMO 试题中有一道平面几何试题△ABC 是等腰三角形,AB=AC,假如:(1)M 是 BC的中点,O 在直线 AM 上,使得OB⊥AB.(2)Q 是线段BC 上不同于 B和 C 的任一点(3)E 在直线 AB 上,F在直线上,使得 E、Q、F 是不同的和共线的.求证:OQ⊥EF,当且仅当 QE=QF     

一道习题的妙用

初中《几何》第二册第106页第二小题:设△ABC的边BC=a,CA=b,AB=c,且s=1/2(a+b+c),内切圆I和BC、CA、AB切于D、E、F(如图1),求证:AE=AF=s-a,BF=     

据本巧设题(3)

1.M是边长为1的等边三角形△ABC内任意一点,求MA~2 MB~2 MC~2的取值范围(初中联赛级,江苏涟水,王明升)2.M是△ABC中任意一点,AB=4,BC=5,CA=6,试求MA~2 MB~2 MC~2的取值范围.(高中联赛级,江苏涟水,王明升)3.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.求证:     

数学问题与解答

271.△ABC的内切圆⊙O切BC、CA、AB于A′、B′、C′,过O点分别作△A′B′C′各边的平行线,它们在BC、CA、AB上截得的线段分别为EF、MN、PQ,试证: EF/BC+MN/CA+PQ/AB=1。证:如图1,连OC、QE、MF。由EN∥A′B′和OC⊥A′B′得OC⊥EN。但OC平分∠ECN,故ON=OE。同理,OM=OQ,所以,△OMN≌OQE,EQ(?)MN。同理得到FM(?)PQ。于是有△QBE∽△ABC∽△MFC。于是 MN/CA=QE/CA=BE/BC,     

由向量关系式判断三角形形状

一、由向量运算性质来判断例1在ΔABC中,有AB→.BC→ AB→2=0,则△ABC为____三角形.分析:AB→.BC→ AB→2=0(?)AB→·(BC→ AB→)=0(?)AB→·AC→=0(?)AB⊥AC,则△ABC为直角三角形.例2已知0为△ABC所在的平面内一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→ OC→-2OA→)=0,判断△ABC的形状.     

三角形所在平面上一点的向量式

本文给出一个三角形所在平面上一点的向量式，并说明其应用．定理 在△ABC中，设点D，E，F分别在边BC，CA，AB所在的直线上（不与点A，日，C重合），λ,u,v ∈R（其中λ,u,v≠0,λ＋u＋v≠0）,且→BD→DC＝v/u,→CE→EA=λ/v,→AF→FB=u/λ,直线AD,BE,CF交于点P，则λ→PA＋u→PB＋v→PC=0.     

2007年第5期问题解答

97.在△ABC中,G、O分别为其重心和内心.求证:GO∥BC的充分必要条件是AB AC=2BC.证明:如图,延长AG、AO交BC于M、T.连接CO、BO,则AM为中线.AO、BO、CO分别为∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.必要性:因为GO∥BC,所以AOOT=GAMG=12.又因为CO是∠ACB的平分线,所以CCAT=AOOT=2,则CA=2CT,同理可证AB=2BT,所以AB CA=2(BT CT)=2BC.充分性:因为CO、BO分别为∠ACB与∠ABC的平分线,所以ACCT=AOOT,ABTB=AOOT,即ACTC=ABTB=ACCT ABTB=AC ABBC=2,AOOT=2.又G为△ABC的重心,所以GAMG=2,AOOT=GAMG,…     

巧用勾股定理解竞赛题

直角三角形的直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2,这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活巧用它,可使几何问题的解决变得简捷.例1如图1,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为()A.8B.5C.3D.&!34(2004年湖北省初中数学竞赛试题)解:依题意,AB=DB,BC=BE.∵BE=3,CD=8,∴BC=3,DB=5,AB=5,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2∴AC=!AB2+BC2&=&!34.例2如图2,AC=10,BC=17,CD⊥AB于点D,CD=8,求△ABC的面积.(2002年北京市初二数学竞赛试题)解:在△ABC中,∵CD…     

一个重要结论的应用

人教版初中《几何》第三册复习题七A组第5题为:“在锐角△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,其外接圆半径为R,求证:a/sinA=