两道数学竞赛题的解法技巧

}郑z一1,① 例l解方程组二一y二一1,② 匕2)尸一z一1.趁夕 (1998年湖北宜昌市初中竞赛题) 分析从方程一①、②、③可看出分别有二、y、二三个未知数的积和其.中两个未知数的积.因此,分别将②火二,③火二,则三个方程都含有二、少、二三未知数的积了,再将①式分别代入新方程即可求解. 解②x二一得厂一勺二一二,…了一一1一0. 1土、/5 二二-一’ ③又二得xy二一扩一二,…z2+z一1~0. 一1士丫万 ‘.名一2炎,当 1+丫5一1+丫‘x一一百--’之一--乏-呈时,y一l;当x一1+丫’5 23一训5,之-一1一 25~」_—口丁,乡,一当二一1一侧5一1+丫5时 3十训5y~一2当…     

错在哪里

1.江西遂川二中肖是明来稿(邮编:343900)即/APO连AO、 在△DPO一/DPO,DO 题若a渭是方程xZ一Zx+乏盆二o的两个根,且a,a+夕,夕成等比数列,求h的值。 解:’:a渭是方程扩一Zx十kz=0的两个根,△APO中丫AO二DO,┌─────┐│、\ ││ “、O │├─────┤│ J ││ / ││ / ││ / ││/ │└─────┘:.,,达定理得{a+夕二2a,夕=kZ①又‘:口,a+夕渭成等比数列.:.(a+口),=。·夕② 将①代入②得2,=尸解得k二土2 将k=士2代入原方程得 xZ一Zx+4=0,.’乙=(一2)2一4义1丫4=一12<0 :’满足条件的k值不存在。此题无解。 解答错了,…     

应用三角代换解题

一、证明不等式 例1已知护十5犷一4x,=2,求证:’!x十:}(2了了. 分析:将条件二’十5刀’一4T夕二2的左边配方,得(x一2必’十犷=2.由三角公式sin’8+eo:’口二1,想到(v/丁sins)’+(、/万cos的’二2,故可作如下三角代换,①、②联立解得{X=万二代入}x十川即可。 证明:由x’+5万’一连x万二2得仕一2妇2丫一2刀二了丁s笼no 万二训丁eos口,解得产!、、令 ,曰 一一 万 十令 fx一29== 场二了丁了丁s如力eos白 {认一二了了(51。夕+3cos口) 又夕二了丁co:日.,.}x十刀}=、/丁{5 in夕+3eos夕)=训百。、‘丁6{:;n(口+印)}①②解方程4二、l一“)-(1+x’)侧…     

错在哪里?

一、福建厦门市同安第二中学王东南来稿 题:已知抛物线夕2二4x,抛物线上求一点,使它与直线x十夕二5的距离最短。 解先求与己知直线x g二5平行的切线方程。设它为,==一x十b,代入抛物线方程扩二4x,得x“一(Zb 4)x b“=0 令△=(Zb 4)“一连bZ=。,得b=一, .’.切线方程为万=一x一l。 再求切点坐标。由 解答错了!错在哪里? 解这类问题,首先要判断抛物线和直线的位置关系。只有当它们在相离的情况下,上述解答才是正确的。如果相切或相交,则切点或交点即是所求点,它与直线的距离为零。不““一劣一1【g:二4x可得{x二1夕二~2事实上,由{尹二4x劣 夕…     

算术平均值代换法

例1.分解因式:(xZ一劣+15)(劣2一x一5)+51解令夕二忿念一劣十15+劣2一劣一5=劣名一劣+5.则原式=(夕+10)(夕一10)+51二夕2一49 =(军一7)(夕+7) =(劣一2)(劣+1)(劣2一2+12)。例,·求{劣‘+犷4”272’劣一歹二2的实数解. 解设:二宁,结合‘一;第1式化为(:2一9)(22+25)=o,=2,方程组士3.故得两组解:一2,一4;=4,=2。二X夕之了,、、例3.已知劣,+劣:十.)为实数。求证:==1,名2蕊劣万。劣护..、几+端‘专十十”·十吐(等式当且仅当::二‘二二劣.二告时成立,· ﹂贝1一扩 +1 .1 劣 一一解设劣‘…+:二二0.因此 十‘护全 劣 十I‘1 劣+:盖 . . .十名注 …     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

共离心率的椭圆方程及其应用

解二:设所求椭圆的方程为牛+。:二, 任即戈2本文现将共离心率的椭圆方程及其应用简介如+4沪=以①.因它和直线3劣十ZJ了封一16二。②相切,故设切点为(公:,,,),则切线方程为:为二十4功夕下,一‘“③·由于②和③重合,·、最-2了了4梦: 4.丁,一、命题求证:和椭圆手+杀- 3。。。劣i=几一几。夕玉 任二Z二汪 81有相同的离心率的=舫,’:兄笋。,.,.之二了,代入(1)中化简整理,得4久 …代入(1)中即得所求椭圆椭圆标准方程都具有杀十杀一,(心。)的形式.的方程为:xz,92一-不万一月~~—二一一 IU任证明:设、圆手十层:一1和椭圆斋十盖解三:设所求椭圆方…     

一次方程组中的"整体思想"(初一、初二、初三)

.整体代入 ,,.l一31一41一5 一一一一一一例1解方程组3x Zy一8,6x gy=21. 分析3x十Zy可看成一个整体,将方程②变形为 2(3x 2夕) 5夕一21,将方程①整体代入,得 2 XS十sy=21,解得y一1,把y一1代人①得x一2. J二夕x y 工之x z①② yzy十z 护!|!、||l、 组 程减方加解体整42.例 分析     

利用等比定理解代数题

一、用于方程组求解::夕:z=3:4:5,①·例1。解方程组②代( 略解:由①::=3k人②求k再求劣、鲜、劣+ 军二y一之二5.4无,z=5无,Z.用于求值已知a:3+生+生 鱿z=b梦s=ezs(a,b二1。c为常习。:“+b;‘不万至的值.由已知条件: b夕2 e22a劣2+b军2+ezZ一1/梦一1/之一1/劣+1/夕+1/z==a劣2+b yZ+ezZ, 、乙i一劣全一劣二娜且求解竺l/ 数.’.粼a:名+b鲜2+e:“ 粼丁方『一1/劣一1/即刁矛刀了十刀了+划J=刃了=1/二不l/y不万五二粼万+腼.+粼万.三、用于证条件等式例3.若a劣2yZ b夕2一z劣 C22一x鱿,且:犷z神。,求证:a劣+b今+cz=y+z),由 a 劣2一(a+b+e)(劣+ b…     

错在哪里?

八U11 nU在 一、宣城行署教育局朱同贵来稿 题:解方程:,“一,=3。 解:将原方程两边平方得: 二2(‘’一1)二9 令劣“=y,则啄方程化为夕y一’二3“ 即y夕一’二33一’ .’.y二3,:.x二土训丁,经验证士训丁为原方程的根。(从方程解的意义上讲一、/丁也可说是方程的根) 解答错了,错在哪里?错就错在由刀,’“二3”一‘得出U二3这一步__L。 因为对于一般的方程厂(劝二了(a)认即得出该方程有唯一解,二a的充分条件是f(二)在J白的未知数取值范围内严格单调。否则很兰梦箕遗根。本题的函数厂(y)二酬一,在 (O,+oc)上就不是严格单调函数,故运用上述解…     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

1983年广西高考预考数学试题(理工类)

一、填空(每小格3分,共15分)。极限卿(,十劲冬的值~;②函数,=x一1n(l+幻在_是减函数.在 ③从eos,是增函数;.lgx,}劣】+2,2劣及2x2中选择满足(甲)、(乙)条件的函数.填在小格里.‘甲,”“二,一‘。”,{1(乙)f(一二)二j恤)且j(0)二0 }.} 二、(8分) 方程妒十2邸+19(2砂一a)=0的两个实数根一正一负,且正根的值大于负根的绝对值,求a的取值范围。 三、(8分)已知:’‘a一3“”(。‘““烤), 求夕,“一刀的最大值. 四、(8分) 求证:函数,=3劣是方程梦『‘一奋俨二0的解. 五、(8分) 求由2、4、6、8、四个数字组成的所有没有重复数字的四位数之和. 六、(…     

分式方程测试题

(时间:45分钟;满分:100分)一、坟空瓜(每小题3分，共21分)，吸Z劣宁J一空Z L关于·的方程:①宁二，，②于六，③夸=x一，，④于击电是分式方程的有_雌序号).‘若命二一，，则y+介—·‘方程六二子的解为—·‘当x==—吮六与击的值相等5.若青与六的和是”，NlJx的值为—.‘若关“的方程子二杀的解为X=一‘、则‘二—·7.若关“的方程击+击=去有增根，则k=—·二、选择班(每小题4分，共36分) 8.分式方程一斗二一李些于的解为一“一、~一x一1名2一1一‘“’“__~0___2 03 rt’笼刁。’弄‘了‘不二万，.若关介的方程里区二喜的解匙二一l一‘…     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…     

巧解无理方程(组)

解无理方程(组)技巧性很强,解法不好,解题过程很繁琐,下面的无理方程(组)的解法有一定的优越惨r 「1.解方程姐二,:、·。-①②{凡压干玉于、于巧~5,之一y~12.︵口加解泣由②得 (x十1)一(夕一2)一15,即(v尹呀耳万),一(、/亏二厄)’=15,③令①得、/不l石一、厂压江豆一3.①+④得2、王平)一8..’.犷一15.把二一15代人①得y一3经检验,原方程组的解为工一15y一3.一点点滴滴一①②③①②③2.解方程丫任二再一、饭…二亏一2,解显然(x+3)一(x一5)一8,即(丫任干百)2一(丫下二息)’=8.②十①得丫王干百+、任二亏一4.①+③得2训诬耳毛一6,解得x一6.经检…     

一题多解话消元

鬻解方程组I【53((yx一-11)):=y3+(卅5,5). ——初中《代数》第一册(下)第24页第3(2)题解法1:(代人消元法)原方程组可化为I【33菇x一-y5y=:8一,2。. 詈 【j菇一,v=一ZU.≮纠由①得y=3x一8, ③③4-t~..k②,得3x一5(3x-8)=-20,.-.x=5,代入③,得y=7. fx=5,一1y=7.解法2:(加减消元法)原方程组可化为/【33。x一-y5),=:8二2。. 害 【j菇一,v=一ZU. LZj①一②,得4y=28,y=7.将3,-=7代入①,得3x一7=8,x=5. fx=5,一 Iv:7.解法3:(整体消元法)原方程组可化为{;:i:;三:乏:二;嚣;8. 詈将①代入②,得5(),一1)=(),一1)+6+18,.‘. ),一1=6,y=7.将Y一1=6代…     

二元一次方程组解法两种

九年义务教育课程标准实验教科书《数学》(华师大版)七年级下册第七章第2节,要求学生会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组,并能根据方程组的特点,灵活选用适当的方法。通过学生探索二元一次方程组的解法,经历把“二元”转化为“一元”的过程,从而初步体验消元的思想,以及化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想。一、解二元一次方程组的基本方法1.代入消元法例1:解方程组:(课本28页例题)x+y=7①3x+y=17②解:由①得y=7-x③把③代入②得3x+7-x=17即x=5将x=5代入③得y=2所以x=5y=22.加减消元法我们来研究课本39页…     

用拆项法求分数项数列前n项和

1.直接拆项求和i一犷 + 劣 了气例1.求和尽。钊:+立一)+ 歹十。。。一卜 1‘留”十丽一解(劣,鱿=l) 夕一1军”(军一1),(公二1,夕戈1)S”==劣(]一劣n)一r 1.,1一工(x今1,夕,1)毛些卫丝斗1一劣 参一1夕”(今一1)(劣戈1,夕戈1.)2.用部分分式拆项求和~盆_。_、_。1”IJz·水利巧”二不可嘴’万l十 1+一丽不万灭而石犷’/..、114解S,=之).,11\十、—一尸二户少 5日+。二十(一生一-一-二一)一4几一34界+1〕 几石万‘ 一般地,若a:,aZ,数列,a,戈0,花=1,2,得: 一生一+卫匕+.” 口x口2口2口3a,,…为等差公差为d,则易 1十一 口”口”+l 件一一, G工…     

a~2+b~2≥2ab的运用

由(a一b)’)o,可得矿+夕妻Zab.运用这个公式可以沟通不等和相等之间的内在联系,实现不等和相等的相互转化.下面举例说明它的运用.①②③4x2 …1+州“‘解方程州拭兴夕 L一卫兰一 1+4艺2一y,=Z, 分析当x一。时,必有y~。,z~0,显然x~y~二一。是原方程组的一组解;当x笋。时,由1+4扩联想到1+4尹)4x,由此可将方程①转化为不等式. 解x一y一二一。显然是原方程组的一组解;当二护。时,必有y尹O,z护0. 由①得4护一y(1+4x,)妻y·4x. 由③知x>0,…x妻y. 同理,由②、①得y)z,由③、②得z妻x.X一y一之。?一,代人①,得二一,一告一原方程组的两组解分别是…     

构造方程解方程

通过代换等手段,构造易解的新方程来解难于下手的方程(组),是一种重要的解题策略。 例1.(1987年数学夏令营)解方程‘二侧1十了厂厂于f不x’命i+x=:,则:二拭西奋二-天即石二“f不妥“侧i下万了丁不屯,与原方程结构一样,故x”侧石,即戈“亿f下及,解得二=1+斌了 2例2.(1978年加拿大数学竞赛)确定最大实数z,使(x,y也是实数)x十夕十之二5,x万+夕之十之x=3.解得x+百二5一:,x穿二3一(5一z)右由韦达逆定理,得关于t的方程 t“一(5一之)z+3一(5一之)之,0一,,,,栩。、~。‘。‘。二一_13有实根,故△)0,解得一1镇“(丫,13育)品工一构造方程解方程@兰振万…