圆幂定理在几何证题中的应用

下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1　如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析　由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明　如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵　∠ 3=∠ 4 ,∴　∠ 1 =∠ 2 .∵　∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴　△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ…     

2002年高中联赛平面几何题的新证法

题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .图 1　　解法 1　连ＡＨ交ＢＣ于Ｄ ,过Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于Ｐ ,连ＡＰ交ＯＨ于Ｇ .设⊙Ｏ的半径为Ｒ ,连ＡＯ、ＢＯ ,则ＡＯ =ＢＯ =Ｒ .由∠Ａ =6 0°,知∠ＢＯＰ =12 ∠ＢＯＣ =6 0° ,ＯＰ= 12 ＢＯ =12 Ｒ .由欧拉定理 ,知Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,且 ＯＰＡＨ =ＰＧＧＡ=12 ,故ＡＨ =2ＯＰ =Ｒ .设∠ＢＡＯ =α ,由∠ＡＯＢ2∠Ｃ ,知∠ＢＡＯ =90° -∠Ｃ ,且∠ＨＡＣ…     

初三几何期末综合训练题

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,若∠Ｃ =90° ,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1 ,则ｔｇＡ =.2 化简ｃｏｓ 30° -ｓｉｎ 30°ｔｇ 4 5° +ｔｇ 6 0° 的结果是 .3 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =8,ｓｉｎＡ =35 ,则ＢＣ =,ＡＢ =.4 在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ与弦ＣＤ相交于点Ｅ ,当ＡＢ、ＣＤ满足条件时 ,必有ＣＥ =ＥＤ .5 如图 1 ,在⊙Ｏ中 ,若∠ＡＣＢ =1 4 0° ,则∠ＯＡＢ =.6 如图 2 ,在⊙Ｏ中 ,若劣弧ＤＥ的度数是 6 0° ,则∠Ｂ +∠Ｃ =.7 如图 3,Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＯ交⊙Ｏ于Ａ ,ＰＣ切⊙Ｏ于Ｃ .若ＯＰ =1 0 ,ＰＣ =8,则ＯＡ =.8 如图 4 ,ＰＴ切…     

三角形有关概念中考题选登

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ =32°,那么∠Ｂ =.(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )2 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若锐角Ａ的平分线与锐角Ｂ的邻补角的平分线相交于点Ｄ ,则∠ＡＤＢ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )3 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =∠Ｃ ,ＦＤ⊥ＢＣ ,ＤＥ⊥ＡＢ ,∠ＡＦＤ =15 8° ,则∠ＥＤＦ =度 . (2 0 0 1年天津市中考题 )4 长度为 5ｃｍ ,7ｃｍ ,10ｃｍ的三条线段能否组成三角形 ?答 :.(2 0 0 1年山东省滨州市中考题 )图 1图 2　　 5 如图 2 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ在ＡＢ的延长线上 .若∠ 1=6 0° ,∠ 2 =5 0°,则∠Ａ…     

2002年全国高中数学联赛加试题另解

20 0 2年全国高中数学联合竞赛于 2 0 0 2年 1 0月 1 3日结束 ,许多读者于一周之内寄来加试题的解答 ,其中诸多证明方法或解法相同或相近 .现根据来稿先后及解法特点整理如下 .图 1第一题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解法 1:连ＯＢ、ＯＣ ,并设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .由三角形外心性质知∠ＢＯＣ =2∠Ａ =12 0° .由垂心性质知∠ＢＨＣ =180° -∠Ａ =12 0° .所以 ,Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 .由…     

九年级结课平面几何质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.如图 1,四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形 ,∠ＡＢＣ =115° .那么 ,∠ＡＯＣ等于 (　　 ) .(Ａ) 115°　　 (Ｂ) 12 0°　　 (Ｃ) 130°　　 (Ｄ) 135°图 1图 22 .如图 2 ,以ＢＣ为直径 ,以Ｏ为圆心作半圆 ,点Ａ、Ｆ把半圆三等分 ,ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,且ＢＣ =12 .连结ＢＦ交ＡＤ于点Ｅ .则ＡＥ的长为 (　　 ) .(Ａ) 2 3(Ｂ) 33(Ｃ) 3(Ｄ) 32 33.已知Ｒｔ△ＡＢＣ外切于⊙Ｏ ,∠ＡＣＢ =90° ,∠ＢＯＣ =10 5° ,ＢＣ =2 0ｃｍ .那么 ,Ｒｔ△ＡＢＣ的面积是(　　 ) .(Ａ) 180 3ｃｍ2 (Ｂ) 2 0 0 3ｃｍ…     

直线和圆的位置关系中考题选编

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ =12 0° ,⊙Ａ与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ相交于Ｅ ,则∠ＡＤＥ等于度 .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )2 已知 :如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1.若以Ｃ为圆心 ,ＣＢ长为半径的圆交ＡＢ于点Ｐ ,则ＡＰ= . (2 0 0 1年江苏省宿迁市中考题 )3 已知⊙Ｏ的半径为 4ｃｍ ,ＡＢ是⊙Ｏ的弦 ,点Ｐ在ＡＢ上 ,且ＯＰ =2ｃｍ ,ＰＡ =3ｃｍ ,则ＰＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )图 1图 2图 3图 4　　 4 已知 :如图 3,⊙Ｏ的弦ＡＢ平分弦ＣＤ ,ＡＢ =10 ,ＣＤ =8,且ＰＡ …     

一道几何例题的简短证明

《中学数学教学参考》1 999年第 1 2期第 1 8页之例 3,是一道几何证明题范例 ,但原文是利用很复杂的三角恒等式来解决的 .下面给出该例题之简短几何证明 ,供读者参考 .原题　已知ＡＢＣＤ是正方形(图 1 ) ,在ＢＣ边上任取一点Ｅ ,又ＡＦ平分∠ＤＡＥ交ＣＤ于Ｆ .求证 :ＡＥ =ＢＥ ＤＦ .几何证法 :以Ａ为轴心 ,将△ＡＤＦ旋转 90°到△ＡＢＧ的位置(图 2 ) .显然 ,Ｇ点在ＣＢ的延长线上 .设∠ＤＡＦ =α ,则∠ＤＦＡ =90° -α ,且∠ＦＡＥ=α .但∠ＦＡＧ =90°,故∠ＥＡＧ=90° -α .而∠ＢＧＡ =∠ＤＦＡ ,因此∠ＢＧＡ =∠ＥＡＧ ,所以…     

2002年IMO中国国家集训队选拔考试

一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.①　　再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.②　　比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ…     

九年级第一学期期末平面几何质量检测题参考答案

一、1.Ｂ　 2 .Ｄ　 3.Ｂ　 4 .Ｃ　 5 .Ｄ　 6 .Ｄ　 7.Ａ　8.Ｃ　 9.Ｃ　 10 .Ｂ二、11.1∶ 3∶2　 12 .3ｃｍ　 13.5 7　 14 .1∶ 2　 15 .5 0　 16 .117　 17.2 2　 18.6 0°　 19.15　 2 0 .内切三、2 1.作ＡＤ =ＡＤ′ =1,连结ＯＤ ,ＯＤ′ .则△ＯＡＤ和△ＯＡＤ′为等边三角形 ,有∠ＯＡＤ =∠ＯＡＤ′ =6 0° .连结ＯＣ ,可求得∠ＯＡＣ =4 5° .所以 ,∠ＣＡＤ =6 0°± 4 5° ,即　∠ＣＡＤ为 10 5°或 15° .2 2 .∵ＦＧ与⊙Ｏ相切 ,∴ＦＧ2 =ＦＢ·ＦＣ .∵ＦＥ =ＦＧ ,∴ＦＥ2 =ＦＢ·ＦＣ .有 ＦＥＦＢ=ＦＣＦＥ.又　∠ＥＦ…     

苯和溴取代反应实验的改进

中学课本中介绍苯的取代反应性质时是以苯和溴反应为例进行实验的．若按课本上的装置和操作，将苯和溴混和好后，再加入催化剂——铁粉，烧瓶内液体急剧沸腾，大量的溴蒸气和溴化氢气体充满烧瓶上面的空间，并通过长导管进入锥形瓶，进一步弥漫到空气中，产生呛人的白雾和窒息的恶臭，造成严重的污染，锥形瓶中的蒸馏水也会因溶有溴呈棕黄色，这时再用AgNO3溶液来检验蒸馏水中的溴离子缺乏说服力．另外，实验结束后，把烧瓶内生成物倒入水中，生成的溴苯因溶有溴而呈褐色，尽管在教学中强调是因为溶有溴而发生了颜色变化。     

浅议德沃金的资源平等理论的缺陷与启示

德沃金根据抽象的平等权理论对自由主义的分配正义理论作了新的阐发,提出了资源平等论,这一理论构想包括拍卖模式和虚拟保险市场两个部分,分别解决初始分配和再次分配的平等问题。试就德沃金的资源平等理论缺陷进行分析,并就其对我国和谐社会法治建设的理论和现实指导意义提出一点思考。     

以列维纳斯爱的伦理观解读《奥赛罗》中的人物形象

《奥赛罗》以嫉妒、盲目、报复为主题展现人类在命运面前的无能与无助。列维纳斯的伦理观把爱作为伦理的基础,强调他者的不可知性和他异性是自我对他者回应和负责的根本原因。只有忘我的以他者为中心、对他者敞开心扉才能让爱的伦理关系存在并延续。借助列维纳斯的爱的伦理观阐释《奥赛罗》三位主要人物对爱的不同处理方式,可以揭示出导致人物之间伦理关系破灭和导致的爱消失的原因,再现莎士比亚这位文学巨匠的超前历史眼光与社会责任感。     

完善航空公司安全管理职能的若干构想

传统的航空公司安全管理模式存在一定缺陷,不利于构建安全质量管理体系。通过完善组织机构、理顺关系,统筹兼顾地抓好风险管理,强化激励机制,完善安全保证手段,可以充分发挥安全管理部门的各项职能,有力地推进航空公司安全管理体系的建设。     

人-自观念演进的否定之否定

在人与自然界的关系的演进过程中,形成了与不同文明时期相适应的人-自观念。从"天人合一"到"人定胜天"再到"和谐共生",这是人-自观念演进的肯定、否定、否定之否定的辩证发展过程,也是一个合乎规律的过程,它们都是时代的产物,都包含着不同程度的合理的因素,我们必须对它们进行具体的辩证的分析。     

提高"中国近现代史纲要"课程教学实效的探索

在高校开设"中国近现代史纲要"课程,体现了党和国家对于高校思想政治理论教育的重视。但是,"纲要"课程开设之后的教学现状却并未令人满意。针对教学中存在的问题,我们就增强"纲要"课的理论性和学术性,活跃课堂气氛,进行开放式教学,加强师资队伍的建设,发挥教师的主导作用和挖掘历史资源,加强学生的社会实践等方面进行了以提高教学实效为目的的探索。     

提高“中国近现代史纲要”课程教学实效的探索

在高校开设“中国近现代史纲要”课程,体现了党和国家对于高校思想政治理论教育的重视。但是,“纲要”课程开设之后的教学现状却并未令人满意。针对教学中存在的问题,我们就增强“纲要”课的理论性和学术性,活跃课堂气氛,进行开放式教学,加强师资队伍的建设,发挥教师的主导作用和挖掘历史资源,加强学生的社会实践等方面进行了以提高教学实效为目的的探索。     

2001年全国高考数学选择题的多种解法

选择题是标准化试题的主要题型,在高考数学试卷中,所占分数比例高.考生能否迅速、准确、简捷地解好选择题,成为高考成败的关键.如何提高解题速度,确保做题质量,这就要求考生有合适的解题方法和技巧.下面就2001年高考选择题的多种解法进行分析.     

加州大学的治理变革及启示

从控制走向协调,以治理代替管理,既是世界高等教育改革的趋势,也是美国公立大学一直努力的方向,而加州大学则是将这种努力践行得较为彻底的一个成功典范.这种努力具体表现为加州大学一方面通过与政府签订协约、引入市场机制、寻求校外群体的支持等形式来弱化政府的管制色彩,另一方面又充分发挥董事会、学术委员会等治理机构的协调作用,为大学自治提供一系列的缓冲与保护.     

大学校园“边缘区现象”引发的思考

随着时代的发展,大学校园和城市之间逐渐产生了一个特殊的区域,即所谓的大学校园“边缘区”。以系统分析法对由边缘区地段的特殊性引发的“边缘区现象”的成因,特点及发展方向进行深入的思考．