关于四面体的十二点共球定理

众所周知,关于三角形有如下命题定理0在三角形中,以它的外心与垂心连线的中点为圆心,外接圆半径的一半为半径的圆,必通过9个特殊点,即:3个顶点与垂心连线的中点,3条边的中点,以及3条高的垂足.这个命题通常称为“三角形的九点圆定理”,它是近代欧氏几何学中最著名的多点共圆定理之一.本文的目的是把它引申到四面体中,在四面体中建     

一个美妙的多圆共球定理

众所周知，在三角形中，以它的外心与垂心连线的中点为圆心，外接圆半径的一半为半径的圆，必通过9个特殊点，即：3个顶点与垂心连线的中点，3条边的中点，以及3条高的垂足．这个圆称为三角形的九点圆.     

九点圆

在任意的三角形中,三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点,这九个点共圆,这个圆称为九点圆．     

普鲁海圆的美妙性质

1863年,普鲁海(Prouhet)将三角形的九点圆(也称欧拉圆或费尔巴哈圆[1])定理,类比推广到垂心四面体中,得到了如下的十二点球定理:[2]定理0在垂心四面体中,以外心与垂心连线的第二个三等分点为球心,外接球面半径的三分之一为半径的球面,必通过十二个特殊点,即:四个顶点与垂心连线的第二个三等分点,四个侧面的重心,以及四条高的垂足.这个定理所说的球面,通常称为垂心四面体的普鲁海球面.最近,曾建军国老师在[3]中指出:若垂心四面体A1A2A3A4的外心为O,垂心为H,则点H满足OH=12∑i=41OAi.据此,我们可以将圆内接四边形与垂心四面体进行类比,导出一个有趣的十二点圆定理.现介绍如下,供读者赏析.本文约定:在任意四边形A1A2A3A4中,除任一顶点Aj外,以其余三顶点为顶点的三角形,称为四边形A1A2A3A4的子三角形,记作△j(j=1,2,3,4).定义设四边形A1A2A3A4内接于⊙(O,R),若点E满足OE=21∑i=41OAi(1)则点E称为四边形A1A2A3A4的欧拉圆心[4];以线段OE的第二个三等分点P为圆心、3R为半径的圆,称为四边形A1A2A3A4的普鲁海圆,记作⊙P,3R.其中,...     

关于圆外切闭折线的诸线切圆定理

众所周知,在三角形中,以内心与奈格尔点连线的中点为圆心,内切圆半径的一半为半径的圆,称为三角形的斯俾克圆.它有如下美妙性质:[1] 定理 0 设△ABC 的三个顶点与奈格尔点连线的中点分别为 M1、 M2 、 M3 ,三条边的中点分别为 N1、N2 、N3 ,那么△ABC 的斯俾克圆必内切于△M     

球内接三角形的伪垂心定理

称过球内接三角形一顶点而平行于球心与对边中点连线的直线为三角形的伪高线.我们有定理球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍.     

几何学中的四颗小明珠

1.很久以来,人们已经知道:和一个三角形有关的九个点总是在一个圆上。这九个点分别是:三角形各边的中点,各边高线的垂足,以及三个所谓的“Euler”点,即三角形的垂心(三条高线的交点)与诸顶点联线的中点(见图1)。     

欢庆2001年

1　 ( 1 )平面上已给 1 0 0 2个点 ,将连接每两点的线段中点染成红色。证明至少有 2 0 0 1个红点。( 2 )方程 ( 2 0 0 1ｘ) 2 -2 0 0 0× 2 0 0 2ｘ -1 =0的较大根为ｍ ,而方程ｘ2 1 999ｘ -2 0 0 0 =0的最小根为ｎ ,求 (ｍ -ｎ)的值。 (江苏张家港职业高级中学　周文国　邮编 :2 1 5 60 0 )解　 ( 1 )证　设ＡＢ为诸线段中最长者 ,Ａ与其它1 0 0 1个点连线的中点均在以Ａ为圆心、12 ＡＢ为半径的圆的内部或圆周上 ,Ｂ与其它 1 0 0 1个点连线的中点均在以Ｂ为圆心、12 ＡＢ为半径的圆的内部及圆周上 ,两圆外切于线段ＡＢ的中点 ,所以至少有…     

圆内接闭折线的一个美妙性质

众所周知,关于三角形有如下命题: 定理1 设△ABC三条边BC、CA、AB 的中点分别为D、E、F,则△ABC的外心是△DEF的垂心．本文拟应用向量方法,将这个定理推广到一般圆内接闭折线中．为了叙述简便起见,本文约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线     

与圆的切线有关的一个性质

命题:过已知弦(非直径)中点的弦(非直径)的两个端点的圆的切线的交点与以已知弦两端点为切点的切线交点连线和已知弦平行。 如图,已知:⊙O的弦CD(非直径)经过弦AB的中点M,EA,EB,FC,FD分别与⊙O相切于A,B,C,D.     

卡诺定理的3种有趣的推广

我们知道，关于三角形有如下命题： 定理1 在三角形中，垂心与任一顶点的连线，平行于外心与对边中点的连线，且前者等于后者的2倍． 这个命题通常被称为卡诺（L．N．M．Camot，1753—1823，法国）定理．本文拟应用向量方法，给出这个定理的3种有趣的推广．为此，我们约定：     

杜洛斯——凡利圆的推广

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了如下两个奇妙的共圆点定理:定理1在三角形中,以高的垂足为圆心,作通过外心的圆,与垂足所在的边相交,则这样得到的6个交点在同一个圆上,圆心是这三角形的垂心.定理2在三角形中,以各边的中点为圆心,作通过垂心的圆,与这条边相交,则这样得到的6个交点在同一个圆上,圆心是这三角形的外心.这两个定理中的“6点圆”,都称为杜洛斯——凡利(Droz—Farny)圆.有趣的是,对于同一个三角形来说,这两个“6点圆”还是等圆!本文拟将定理1和定理2推广到一般圆内接闭折线中.为了叙述简便起见,本文约定:(i)符号A(n)…     

三角形的“三心”与椭圆的一个和谐性质

近期,笔者受一道试题的启发,经过探究发现,三角形的“三心”(即重心、外心、垂心)与椭圆之间存在着一种和谐有趣的性质.现将结论行文如下,以期抛砖引玉. 命题 如果三角形的重心、外心、垂心3点共线,且它们的连线平行于三角形的一条边,那么这条边所对的顶点的轨迹是一个椭圆.     

“圆的切线”证法归类

圆的切线的判定方法有三种:(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(2)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.(d=r)在上面3个命题中,第一个描述性的命题,主要在选择、填空题中作为判断选项出现,不宜作为     

九点圆

在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，这个圆称为九点圆．[第一段]     

九点球定理

文[1]给出了定义1 过球内接三角形一顶点且平行于球心与对边中点连线的直线称为三角形的伪高线.定理1 球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为三角形的伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍.定理2 三角形的外接球心、重心和伪垂心三心共线(伪欧拉线,它在三角形所在平面的射影就是三角形的欧拉线),且外接球心到重心的距离与重心到伪垂心的距离之比为1:2.受到启发,我们有定义2 过三角形一顶点的伪高线与其外接球的     

三角形的五心及其应用

三角形的五心指的是外心、内心、重心、垂心、旁心,它们都是关于三角形的某三条特殊直线的巧合点。三角形五心各有特色,掌握了它们的定义、重要性质及隐含特征,对熟练应用五心来证明某些几何题是很有帮助的。一、外心 1.定义:三角形的三条边的垂直平分线的交点(即三角形外接圆的圆心),称为三角形的外心。 2.重要性质:外心与三角形三个顶点地距离相等。 3.隐含特征: (1)三角形的三条边就是外接圆的弦; (2)外心与各顶点连线将三角形分成三个等腰三角形; (3)由外心向各边作垂线,平分各边且平分各边所对的弧; (4)外心与各边中点连线必垂直于各边; (5)三角形任一边的垂直平分线必过其外心; (6)三角形的外心可能在三角形内部、外部或边上(如下图)。     

圆外有圆(初三)

圆是几何中基本的而且是很美的图形.本文在课本之外,介绍6个“新”的圆: 1.费尔巴哈圆:三角形三边的中点,三高的垂足,连结垂心与顶点的三线段的中点,这九个点共圆.这个圆叫九点圆,又叫费尔巴哈圆. 2.托里拆利圆:在△ABC的三边AB、BC、     

奇妙的“e^2—1”

大家都知道,圆具有如下性质:“如果AB是圆O的任意一条弦,M为AB的中点,那么AB上 OM,用‘斜率’的语言来叙述,即k_(AB·k_(OM)=-1.”其实,一般有心二次曲线均有类似的性质,用命题分述如下: 命题1:如果AB是椭圆x2/a2+y2/b2=1的任意一条弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 命题2:如果AB是双曲线x2/a2-y2/b2=1的任意一条弦,O为双曲线的中心,e为双曲线的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 下面给出命题1的证明(命题2同理可证)     

费尔巴哈公式的代数证法

文[2]、[3]介绍了莱布尼兹公式及九点圆等有关知识,本文在此基础上将给出费尔巴哈公式的一种代数证法,以弥补冗长的几何证法。 假设△ABC既不是直角三角形,又不是等腰三角形,则九点圆的半径为R/2,九点圆的圆心P是OH的中点;O、H和I分别是△ABC的外心、垂心和内心;R、r分别表示△ABC外接圆和内切圆的半径,则有