一道数学奥林匹克问题的思考

命题 1 [1] 　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .若确保图形中出现以给定点为顶点的三角形 ,求证 :x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) .笔者认为 ,x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) 是充分不必要条件 ,并发现如下命题 .命题 2　平面上给定n(n≥3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .图形中出现以给定点为顶点的三角形的充要条件是x≥ n2 n - n2 1 ,其中 ,[x]表示不超过x的最大整数 .证明 :设平面上给定的n个点分别为…     

一道数学奥林匹克问题的推广

2006年《中等数学》第三期的《数学奥林匹克问题》栏目提出了下面的问题： 已知x、y、z∈R＋，x＋y＋z=1．求证：（1/x^2）（1/y^2-y）（1/x^2-z）≥（26）^3．①本给出式①的变量个数推广形式和指数推广形式及相应的证明．     

一道数学奥林匹克问题的简解

题目在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是边AB上的一点,线段CD的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N.若AD=a,BD=b(a、b是给定的正数),试求CM、CN的长度(用关于a、b的最简式子表示),并确定ab的取值范围[1].图1解:如图1,设CM=DM=x,作DP⊥AM于点P.则DP=a2=AP,MP=a 2b-x-a2=b2-x.由x2=a2     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题　设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数…     

一道数学奥林匹克问题的再推广

2006年《中等数学》第3期的《数学臭林匹克问题》栏目提出了下面的问题：     

研究一道奥林匹克试题

2004西部数学奥林匹克试题第三题为:求所有的实数k,使得不等式a2+b2+c2+d2+1≥k(a+b+c+d)对任意a,b,c,d∈[-1,+∞)都成立。文[1]给出它的解为k=34,从而上题可改叙如下:定理1对于任意a,b,c,d∈[-1,+∞),有a3+b3+c3+d3+1≥34(a+b+c+d)。证明见文[1]。进一步研究,又可得到如下的几个定理:定理2设k为大于1的偶数,则当n≥(k-1)k-1时,对坌xi∈R(i=1,2…,n),有:ni=1移xik+1≥nk xi。证明考察函数f(x)=nxk+1-kx,则f'(x)=k(nxk-1-1),令f’(x)=0,由k为大于1的偶数,得x=1k-1姨n,即当xk-1姨1n时f(x)单调增,即fmin(x)=f(1k-1姨…     

日本小学校算数学习指导要领

日本从2002年开始实施新的学习指导要领（即教学大纲）,它的背景是近年来日本教育界一直把培养“生存能力”作为主题,各科教学及课外活动都努力把它列人本领域的教育内容。如算数课把生活实际中的数量关系,图形特点引人到学习中,激发孩子们的兴趣,培养解决实际问题的能力,同时生活的实际往往与其他学科,甚至整个社会都有紧密的联系,因此各科“综合教育”的研究也成为热点,并积累了宝贵的经验。在此基础上,B本文部省把“综合学习”正式列为新学习指导要领的独立内容,从3年级开始每年占105—110课时。另外从2002年起日本的小学校…     

一道奥林匹克数学竞赛题

在匈牙利举行的第六届国际数学教育会议上,我与一位澳洲友人谈及他们刚主办了的第廿九届国际奥林匹克数学竞赛,他说其中一道题目貌虽简单,却连大学里好些数论专家也没能马上解答,反是参赛学子解得该题者大不乏人,可云后生可畏!我既非“后生”,又非数论专家,自是属于没能马上解答的一群了。不过,在往复探索的过程中,除了亲尝那份从未知到理解的乐趣以外,我还觉得这段过程有点教育意义,拿来谈谈,或可引起同行们的兴味。     

一道奥林匹克竞赛题的推广

第16届加拿大数学奥林匹克竞赛试题第4题:一个锐角三角形的面积为1,证明在三角形内有一点到每个顶点的距离至少为(16/27)~4。 本文将作如下推广: 命题1 一个圆内接n边形的面积为1,若,此n边形的几个顶点不是同时分布在该外接圆的半个圆周上,则在该n边形内存在一点,它到每个顶点的距离至少为[2/nsin(2π/n)]~(1/2)     

一道奥林匹克试题的探究

第四届中国西部数学奥林匹克于2004年9月25日至30日在宁夏银川举行,其中最后一题(第八题)是:     

一道数学奥林匹克问题的简证与推广

《中等数学》2008年第7期"数学奥林匹克问题"高229题如下:问题已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+b/1+c/1+3/a+b+c≥4.文[1]、文[2]分别通过构造函数和换元法等给出了证明,解题过程都比较复杂,多数学生理解起来有一定难度.笔者经过探究,利用基本不等式得到了一种简单证法.     

对一道奥林匹克数学竞赛试题的证明及思考

题目：已知a,b,c〉1,且a＋b＋c=9,证明：√ab＋bc＋ca≤√a＋√b＋√c.这是2012年第三届陈省身杯数学奥林匹克试题第6题,本题证法较多,竞赛组委会给出的参考答案思维跨度大,对构造的技巧要求高,不容易想到.本文先给出这个问题的两种更常规的证明方法.     

解答一道数学奥林匹克题

题目 定义正整数数列｛an}为a1=1,a2=2,ak＋2=2ak＋1＋ak（k≥1）.     

一道日本高考算法题的思考

2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中,首次将算法列入高中教学内容,其中包含了要将解决问题的过程翻译成计算机语言并在计算机上实现的要求．然而,尽管近年（如01年上海、02年北京、07年广东）逐渐出现了与程序相关的高考题,但这些题目基本都以程序框的形式出现,而不是直接给出程序．在日本,近年的高考数学Ⅱ·数学B试卷最后一问必是算法题,这已成为惯例．这类题目都直接以程序的形式出现,对我国具有一定的启发意义．本文以日本2007年高考数学Ⅱ·数学B试卷第六问为例进行介绍．     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]给出了一道东南数学奥林匹克试题的推广，本文继续讨论了这一试题，得到了推广结果以及给出一个相关命题．     

一道数学奥林匹克题的商榷

第33届美国数学奥林匹克(第二天,2004年4月28日)第6题: 凸四边形ABCD有内切圆W,设I为W的圆心,且(AI DI)2 (BI CI)2=(AB CD)2, 证明:ABCD是一个等腰梯形.     

由一道日本历史试题引发的思考

我曾经看到过这样一道日本的高中历史试题,是一位去过日本的学者因留意日本高中历史教育而发现的。题目译成中文是这样的:日本跟中国100年打一次仗,19世纪打了日清战争(笔者注:我们叫甲午中日战争),20世纪打了一场日中战争(笔者注:我们叫抗日战争),21世纪如果日本跟中国开火,你认为大概是什么时候?可能的远因和近因在哪里?如果日本赢了,是赢在什么地方?输了是输在什么条件上?分析之。其中有位日本的高中生是这样分析的:我们跟中国很可能在台湾回到     

一道奥林匹克竞赛题研究的新进展

赛题已知a、b、c≥0，a＋b＋c=1，求证√a＋1/4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3……（1） 这是2007年女子数学奥林匹克竞赛的一道试题．文[1]给出了该题的新证法；文[2]对此给出了如下一个加强式：     

一道数学奥林匹克试题的引申

第16届亚太地区数学奥林匹克(2004年3月)压轴题为： 证明：对任意正实数a,b,c,均有(a2+2)·(b2+2)(c2+2) ≥9(ab+bc+ca.)     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]介绍了一组“世界各地数学奥林匹克试题”(文[1]未注明时间及出处)．第5题点M是△ABC的边AC上一点,以BM为直径的圆Γ交AB,AC于点P,Q,圆Γ在P,Q两点处的切线相交于点R．当点M变动时,求点R的轨迹．本文旨在对这道数学奥林匹克试题加以推