从高考看不等式问题解决时的以形助数

1 利用两个函数的图像关系构造解决 例1（天津理科）设a,b,c均为正数,且2^a=log1/2a,（1/2）^b=log1/2b,（1/2）^c=log2^c,则（）．A．a〈b〈c B．c〈b〈a C．c〈a〈b D．b〈a〈C     

一道“希望杯”培训题的解法探究

题目 当0〈x〈a时,不等式1/x^2＋1/（a-x）^2≥2恒成立,则a的最大值是____. 分析 要使1/x^2＋1/（a-x）^2≥2恒成立.只需[1/x^2＋1/（a-x）^2]min≥2. 于是问题转化为求1/x^2＋1/（a-x）^2的最小值,因为1/x^2＋1/（a-x）^2的最小值f（a）是关于a的式子,从而建立关于a的不等式f（a）≥2,进而可求得a的最大值.     

关于一道高校自主招生题的探究

1问题提出 已知：a〉0，b〉0，求证：1/a＋b＋1/a＋2b＋…＋1/a＋nb〈n/√[a＋（n＋1/2）b]（a＋b/2）     

2011年高中联赛加试第三题的归纳法证明

题目设a1,a2,…,an（n≥4）是给定的正实数,a1〈a2〈…〈an,对任意正实数r满足aj-ai/ak-aj=r（1≤i〈j〈k≤n）的三元数组（i,j,k）的个数记为fn（r）．证明：fn（r）〈n^2/4．     

忽视字母的取值范围

已知函数F（x）=｜lg x｜,若0〈a〈b,且f（a）=f（b）,则a＋2b的取值范围是（）.A.（22~（1/2）,＋∞） B.[22~（1/2）,＋∞）C.（3,＋∞） D.[3,＋∞）错解：由f（a）=f（b）,得｜lg a｜=｜lg b｜,则a=b（舍去）或b=1/a,故a＋2b=a＋2/a≥22~（1/2）...     

一个展开式在求平方根上的应用

设n是某一个正整数,并且n=a^2＋b,其中a为正整数,b为整数且｜b｜〈n则√n=a√n/a^2=a（a^2/n）-^1/2=a（n-b/n）-^1/2,（1）其中t=b/2n.     

椭圆上的点与短轴端点距离最大值的探究

1问题的提出 已知椭圆x^2＋y^2/a^2=1（0〈d〈1）上与“短轴端点A（0，a）距离最大的点恰好是另一个端点A’（0，-a），则a的取值范围是（ ）．     

破解圆锥曲线离心率范围的常见策略

直接利用条件寻找a、c的关系求解 例1 设a〉1．则双曲线x^2/a^2-y^2/（a＋1）^2=1的离心率e的取值范围是 解析 根据题意得√2〈e=√a^2＋（a＋1）^2/a=√2＋2/a＋1/a^2〈√5,选B。     

引入单模压缩算符的简单方法简介

首先给出坐标本征态的Fock表象,然后推导出真空投影算符0〉〈0的正规乘积形式,最后利用IWOP技术导出了单模压缩算符S=∫∞-∞（dx/u（1/2）~2│x/μ〈x│=e-（a＋2/2）thλe（a＋a＋1/2）Insechλe（a2/2）thλ,并分析了其压缩特性。     

求一类三角函数的最小值

（数学问题338）《数学通报》2008年第6期P61《探求一类三角函数的最值问题》等诸多文献,已深入讨论并得出了三角函数f（x）=a/con^nx=b/sin^nx（0〈x〈π/2,a,b〉0）,对n∈R^＋的最小值为（a2/n＋2＋b2/b^n＋2）^n＋2/2.进一步地,我们探讨：     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的又一简证

文献[1]提出了如下猜想： 猜想f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a，b为大于零的常数,n∈N^＊）当且仅当x=arctan n＋2√b/a时,取到最小值（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）^n＋2/2．     

对两个不等式证明方法的改进及应用

问题1（《数学通报》1472号数学问题）已知a,b∈R＋,a＋b=1,求证：3/2〈1/a3＋1＋1/b3＋1≤16/9.     

2009年高考数列交汇题的三大题型

数列与集合交汇 例1（北京卷）已知数集A={a1,a2,…,an}（1≤a1〈a2〈…〈an,n≥2）具有性质P：对任意的i,j（1≤i≤j≤n）,aiaj与aj/ai两数中至少有一个属于A．     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的一个初等证明

万新灿、郑晓玲老师在文[1]中提出猜想： f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N＋），当且仅当x=arctan n＋2√a/b时，取最小值（a2/n＋2＋b2/n＋2）n＋2/2     

构造多种模型证明Shapiro不等式

问题若0〈ai〈1（i=1,2,…,n）,∑i=1^nai=s,则∑i=1^nai/1-ai≥ns/n-s,等号成立的充要条件是a1=a2=…an.     

有关等比数列的一个充分条件

题目 已知数集A={a1,a2,…an}（1≤a1〈a2〈…〈an,n≥2）具有性质P：对任意的i,j（1≤i≤j≤n）,aiaj与aj/ai两数中至少有一个属于A。     

2008年全国高考江西卷（理）22题解题思路剖析

题目：已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）,（1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明：1〈f（x）〈2。     

2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

题已 知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明1〈f（x）〈2．     

一道高考题的联想

2005年全国数学高考题中有这样一题： 若a=ln2/2、b=ln3/3、c=ln5/5则（ ） （A）a〈b〈c （B）c〈b〈a （C）c〈a〈b （D）b〈a〈c     

利用函数的单调性解赛题

1．比较大小 例1 若0〈x≤1, a=（sinx/x）^2,b=sinx/x,c=sinx^2/x^2,则a,b,c的大小关系为____.（2009年吉林省高中数学联赛）