快速抢答细解

命题:在80个乒乓球中,它们形状、颜色都一样,只有一只比其余的较轻一些,现用天平最少几次一定能把它称出来.     

天平称球问题的一般结论

问题与结论　t个球中有一个次品 (它较轻 ) ,若t∈ [3 n 1 ,3 n 1],则用天平称出次品最多要 (n 1 )次 (若它较重 ,也一样 )证明 :用归纳法 :( 1 )n =0时 ,t∈ [2 ,3 ],显然 1次即可 .( 2 )n =1时 ,t∈ [4,9].由于 4=2 2 ,5 =2 2 1 ,6=3 3 ,7=3 3 1 ,8=3 3 2 ,9=3 3 3 ,因此 ,称 1次最多“剩”3个 (不平 ,在轻的一组中 ;平了 ,在未称的一组中 ) ,化归为 ( 1 )的情形 .( 3 )设n =k -1 (k≥ 2 )时 ,结论成立 ,即t∈ [3 k- 1 1 ,3 k]时 ,称出次品最多要k次 .考虑t∈ [3 k 1 ,3 k 1]的情形 .现在分段考虑 :对t∈ [3 k 1 ,3 k 2× 3…     

一类趣味物理题的快速判断

一、问题的提出[例1]有8只乒乓球外形相同,其中有一只质量稍轻的次品,给你一架不带砝码的天平,问最少用天平测几次定可找出次品?解决该问题一般采用“穷举法”,即把各种可找出次品的方法都找出来,通过比较得出测量次数最少的方法.“穷举法”很繁琐,例1找次品的方法就有三种.方法一:8只球中任选两球分放天平两盘中称.这样测四次定可找出次品.方法二:8只球按4只一组分为两组,分放天平两盘     

“华杯赛”训练题选(一)

1.2 000) 2.计算:(1+3十5+…+2001)一(2一卜4+6+…十1至100各数,所有不能被9整除的自然数的和是 3.盒子里放有三只乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球放回盒子里;第二次从盒子里拿出2只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里;……第10次从盒子里拿出1。只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里,这时,盒子里共有只乒乓球.4.计算迎匕6丫+入345345火+巡艺Z艺 5.1万’‘””‘将2。。:减去它的喜 乙,再减去余下的冬,再减去余下的 口依此类推,直至最后减去余下的兴只二,最后的结果是 ‘UUI6.计算:1十:粤+:典+: 勺1乙1._l__…     

k号球面的几个有趣性质

点集A={A1,A2,,An}的n个点在以O为球心R为半径的球面上,我们称该球为有限点集A的外接球,该球面记作S(O,R).点集A={A1,A2,,An}(n≥3)中任意除去一个点A j(1≤j≤n),其余(n?1)个点组成的集合,称为点集A的最大真子集,记作Ωj.n个点共圆时,取圆心为球心,为上述说法的特例.在以上约定下,我们给出:定义共球有限点集A={A1,A2,,An}的外接球面为S(O,R),若点H满足1niiOH OA==∑,(1)称H为点集A的垂心;若点E k满足11nk iiOE OA=k∑=,(2)称以点E k为球心,R/k为半径的球面为点集A的k号球面,记作S(Ek,Rk).若点(1,)E jk≤j≤n k∈N+满足11…     

关于复数的根

假如我们要求复数W=r(cosθ+isinθ)的n次方根,这就是求满足W_k~n=W的复数W_k.方法考虑W_k=r~(1/n)(cos(2kπ+θ/n)+isin(2kπ+θ/n)),这里k是任意整数使用棣美佛定理,就得到因此,对任意整数k,W_k是W的n次方根.因为W_k~n=W,即W_k~n-W=0,于是,对任意整数k,Z=W_k是以Z为变量的n次多项式方程Z~n-W=0的一个解.因为n次多项式方程有且仅有n个解(可以是重解),因此方程Z~n-W=0存在且只存在n个解,换句话说,即使存在无限多个W_k＇~s,赋予不同的整数k,它们中仅有n个是不同     

运用构造思想推导公式sumfromi=1toni~2=(n(n 1)(2n 1))/6(高二、高二)

从不同角度、不同层面,运用构造思想与方法来探究公式sum from i=1 to n i~2=(n(n 1)(2n 1))/6 的推证方法,对于深入认识事物的本质、锻炼思维品质、培养创新能力,具有不可低估的作用.请看: 1.构造恒等式 方法1 运用数的特征进行联想,引入高一次恒等式 (k 1)3=k3 3k2 3k 1(k=1,2,…,n),得 (k 1)3-k3=3k2 3k 1. 令k=1,2,…,n,递推迭加有     

利用数学归纳法证明不等式的基本技巧

数学归纳法是高中数学的重点、难点之一,也是培养学生形成"观察一归纳一猜想一证明"思维模式的重要载体.一方面是因为它是学生第一次接触到从有限到无限的认识方式,另一方面是因为学生初步意识到自然数的"后继"特征.这两个方面从认识上讲都有一定的难度,在高考和数学联赛试卷中体现得特别明显,其证题程序如下: (1)(归纳奠基)验证n取第一个值n0时结论正确; (2)(归纳奠基)假设n=k(k∈N*,n≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.     

准确定位 掌握二项分布题型解题要领

一、二项分布题型定位1.明确二项分布定义在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=C_n^kP^k（1-p）^n-k（k=0,1,2,…,n）,此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B（n,p）,并称p为成功概率.     

关于同径球的三种特殊堆垒的思考

把半径相同的球由底面向上逐层一个空(kong)对空堆垒,使同层球相切,且到最后无空.“空”就是间层中相邻三球中间的空隙.若最底层是正三角形、正方形、圆形,则从最顶层到最底层中每层球的个数有何规律呢?从最顶层向下n层后共有多少球呢?本人带着这个想法作了一些实验,取得一些数据,经过近一年的分析思考得到一些结论如下:1 最底层是正三角形 设从上到下前n层球数为:a1,a2,a3,a4,… a_n,则a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,…,a_n=n(n+1)/2 从而可得第n层球数通项公式为:a_n=n(n+1)/2     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修Ⅰ)(乙卷)

参考公式如果事件A、B互斥，那么代A+B)二只A)+八B)如果事件A、B相互独立，那么八滩.B)韵峨月)·只B)如果辜件A在一次实验中发生的概率是p，那么n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率只(k)二C之P‘(l，)”一‘(k二0，l，2，…，n)球的表面积公式S二4叮RZ其中R表示球的半径球的体积公式v=生下尺3其中R表示球的半径3曲线方程为尹_ 4 12兰_匕二106 (B)传一子二’(D)管一花二’、.产、.产AC了搜、J声.、(5)甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(A)36种(B)48种(C)%种(D)19…     

从k到(k+1)思路受阻分析及转化策略

用数学归纳法证明不等式,特别是数列不等式,是一个行之有效的方法,也是中等数学中的一个基本方法,近些年高考试题中多次出现这类考题.运用这种方法证明不等式时,往往很多同学在证k到(k+1)的过程中卡了壳,断了思路,这是一种普遍现象.下面分析一下思路受阻的几种原因及转化策略.一、从k到(k+1)添项不足在从k到(k+1)的证明过程中,如果分析不透命题结构,就会造成添项不足,证明夭折.【例1】已知Sn=1+21+13+…+1n(n∈N*),用数学归纳法证明S2n>1+2n(n≥2,n∈N*).思路受阻过程:(1)当n=2时,S22=1+21+31+41=1+1123>1+22,命题成立.(2)设n=k(k≥3)时不等式成立,即S2k=1+21+31+…+21k>1+2k,则当n=k+1时S2k+1=1+12+31+…+21k+2k1+1>1+2k+2k1+1,要证明S2k+1>1+k2+1,只须证1+2k+21k+1>1+k2+1,即证2k1+1>21.显然,当k≥2时这是不可能的,解题思路受到阻碍.受阻原因分析:∵Sn=1+21+31+…+1n,∴S2k+1=1+21+13+…+21k+2k1+1+2k1+2+…+...     

数学归纳法四注意

正在高中数学的学习中,数学归纳法常用来证明与正整数有关的命题,这个证明过程我们可以归纳为以下的几个步骤:(1)先证明当n取第一个值n0时,命题成立.这个步骤很简单,学生们都能写出来.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时,命题成立,再证明当n=k+1时命题也成立.这是整个证明过程的核心步骤,涉及到一些变形,相对比较难.最后根据一、二步骤中的内容进行概括归纳,当n≥n0,n∈N*时,命题也成立.     

高考新趋势——定义型题型

定义型试题即试题中给出一个考生从未接触过的新规定 ,要求考生当即应用 ,用以考查考生的接受能力和应变能力 .一、定义新概念【例 1】　若对n个向量a1 ,a2 ,… ,an 存在n个不全为零的实数k1 ,k2 ,… ,kn,使得k1 a1 +k2 a2 +… +knan =0成立 ,则称向量a1 ,a2 ,… ,an 为“线性相关” ,依此规定 ,能说明a1 =(1,0 ) ,a2 =(1,-1) ,a3=(2 ,2 )“线性相关”的实数k1 ,k2 ,k3依次可取　　　　 (写出一组数值即可 ) .略解 :∵k1 a1 +k2 a2 +k3a3=0∴ k1 +k2 + 2k3=0-k2 + 2k3=0k1 =-4k3,k2 =2k3,取k3=1,k1 =-4 ,k2 =2 .故k1 ,k2 ,k3依次取 -4 ,2 ,1…     

数学归纳法错用一例

问题设a1,a2,a3,…,an都是正数,且a1a2a3…an=1.试用数学归纳法证明:a1 a2 a3 … an≥n.错证(1)当n=1时,a1=1,结论显然成立.(2)假设n=k时,结论成立,即a1a2a3…ak=1时,a1 a2 a3 … ak≥k成立.当n=k 1时,a1 a2 a3 … ak ak 1≥k ak 1,而a1a2a3…akak 1=1,所以ak 1=1,从而a1 a2 a3 … ak ak 1≥k 1.这就是说,当n=k 1时,结论仍成立.由(1)(2)可知,对任意的n∈N*,结论成立.剖析在归纳假设中,由a1a2a3…ak=1(其中ai>0,i=1,2,…,k),则有a1 a2 a3 … ak≥k成立,其实质是若k个正数的积是1,则这k个正数的和不小于k.在递推中,当n=k 1时,有a1a2a3…akak …     

幻方的存在性

幻方在我国古代叫纵横图,是由一些连续的整数组成一个满足一定条件的数表。本文以构造的方法证明幻方的存在性.定义1:整数 k～n~2+k-1按某种方法排成1个n×n 矩阵.若矩阵的每行、每列、及两对角线的 n 个数之和均相等,称该矩阵为 k～n 幻方矩阵、或 k～n 幻方.特别、当k=1时称为 n 阶幻方矩阵,或是 n 阶幻方.其每行(列)的 n 数之和称为幻方的和,记为 Sn.由于任何一个 k～n 幻方总可以写成一个 n 阶幻方与(k-1)乘元素为1的方阵之和.所以在本文中只讨论 n 阶幻方.由定义可知,一个 n 阶幻方,其行与行之间、列与列之间的无互不相同,且和相等.因此     

最少称几次

[问题1]1000只外形和大小一样的球中,有1只球的重量不合格。使用无码天平把它找出来,最少要称几次? 解答:本题并没要求“保证找出来”,只要求“可能找出来”就行了。如果“运气”极好,随便抓两只球(例如A、B     

球类运动中的物理知识

一、乒乓球例1降低乒乓球的飞行速度,可增加乒乓球比赛的观赏性.现在比赛用的球的直径是d1=38mm.1996年国际乒联接受了一项关于对直径是d2=40mm的乒乓球进行实验的提案,提案要求球的质量不变.为了简化讨论,设空气对球的阻力与球的直径的平方成正比,并且球沿水平方向做直线运动.若采用d2=40mm的乒乓球,则球从球台一端飞往另一端所需要的时间增加百分之多少?(根据国际乒联提供的资料,扣杀直径为d1=38mm的乒乓球时,击球速度为v0=26.35m/s,球的平均飞行速度约为v-=17.8m/s)     

抽签笔谈

金晓菁　一般意义的抽签问题是 :设有a只中签和 b只空签 ,现任意地从中一只一只无放回地抽出来 ,求第 k( 1≤ k≤ a+ b)次中签的概率 .略解　设“第 k次中签”为随机事件 B,则依题意 ,分为三个求解步骤 :(1 )求基本事件总数 n.将 a只中签和 b只空签分别均视为不同 (例如设想将其编号 ) ,并将抽出的签依次放在排成一条直线的a+ b个位置上 ,则 n等于所有可能的排法 ,即n=Aa+ba+b=( a+ b) !.( 2 )求 B包含的结果数 m.因为第 k次中签有 a种可能性 ,而所有另外 ( a+ b- 1 )次抽签 ,即 ( a+ b- 1 )个元素的全排列数为Aa+b- 1 a+b- 1 =( a+ b- 1 …     

一道数学选择题的解法及评析

'95高考第12题:等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n,若S_n/Tn=2n/(3n 1),则(?)a_n/b_n等于(A)1(B)(6~(1/2))/3(C)2/3(D)4/9.应该说这是一道考察基础且具有一定灵活性的好题.就解法看,(i)从熟悉的关系a_n=S_n-S_(n-1)着眼,由题设可转化为S_n=kn·2n.T_n=kn·(3n 1)(k∈R且k≠0)得a_n=2k(2n-1).b_n=2k(3n-1)∴(?)2k(2n-1)/2k(3n-1)=(?)(2n-1)/(3n-1)=2/3.(ii)从灵活利用公