引入参数巧证不等式

在证明不等式 F(x_1,x_2,…,x_n)≥N(或≤N) (1)(N为常数)的过程中,有时适当引入某个参数λ,将不等式(1)的证明转化为证明不等式 G(x_1,x_2,…,x_n,λ)≥M(λ)(或≤M(λ))。 (2)而不等式(2)的证明较不等式(1)容易,且两个不等式等号成立的条件一致,利用这一点求出参数λ,进而得出不等式(1)的证明。下面举3例说明。     

也谈引入参数巧证不等式

读张必华老师《引入参数巧证不等式》一文(见本刊1994年第2期)颇受启发。本文建立一个含参数的不等式,并以原文三道例题为例,说明其应用。     

巧证不等式

不等式的证明在高考及国内外的数学竞赛中都是比较常见的题型，可谓千姿百态、精彩纷呈。但有些不等式用常见的方法(如比较法、分析法、综合法和反证法等)证明相当繁琐，甚至根本证不出来。因此，恰到好处地利用一定的技巧，是证明较为杂、繁的不等式的关键。为此，这里介绍几种证明不等式的技巧，仅供参考。     

巧证不等式

函数是中学数学最重要的内容之一,一轮复习时,我们掌握和透彻理解了函数的概念、图像和性质,学会了利用函数的理论和方法处理各种类型的问题,充分体会到函数的概念和性质贯穿中学数学的始终,利用函数观点可以处理很多数学问题．近十几年来,每年高考数学试题中都贯穿着函数及其性质这条主线,“函数热”居高不下．函数性质的应用既是重点,又是一个难点,除了注意适当的练习和巩固     

对《巧求绝对值方程的根》一文的商榷

贵刊1991年第1期刊登的《巧求绝对值方程的根》一文,作者利用椭圆定义对绝对值方程|x-α|+|x-β|=2m给出了求根公式,其中,“①当|α-β|≤2m时,方程有两解x_1=(α+β)/2+m,x_2=(α+β)/2-m。”笔者认为是不妥的。事实上,当|α-β|=2m时,方程的解应为x_2≤x≤x_1。定理:当|α-β|=2m时,方程|x-α|+|x-β|=2m(m>0)的解为(α+β)/2-m≤x≤(α+β)/2+m。证明:|α-β|=2m的几何意义是数轴上点α到点     

巧证平均不等式

平均不等式 :若ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,则ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ,当且仅当ａ =ｂ=ｃ时 ,取“ =”号 .教材上已给出一种证明方法 ,笔者再给出如下一种简捷证法 ,供读者学习时参考 .证明　由ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,得ａ+ｂ +ｃ+3 ａｂｃ=(ａ+ｂ) +(ｃ+3 ａｂｃ)≥ 2ａｂ +2ｃ· 3 ａｂｃ=2 (ａｂ+ｃ 3 ａｂｃ)≥ 4ａｂ·ｃ 3 ａｂｃ=4 4 ａｂｃ 3 ａｂｃ=44 3 ａ4ｂ4ｃ4=4 3 ａｂｃ .∴ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ.以上证明中等号成立 ,当且仅当ａ =ｂ,且ｃ =3 ａｂｃ,ａｂ =ｃ 3 ａｂｃ ,即巧证平均不等式@徐有林$云南省巧家县第一中学!654600…     

巧证数列不等式

数列不等式的证明,在许多资料、练习册上频繁出现,它的证明方法一般都是采用放缩法和数学归纳法．而放缩法的技巧性太强,大部分高二学生难以掌握,数学归纳法又是高三选修内容,高二学生更是不可能用．那么怎样证明此类不等式呢？下面仅以两例说明,供参考．     

巧证一类不等式

丈我们知道:当a。成立即可,要能证己知黔<瓮<就<…<之,“所例i已知{a}<1,}blO川JllJ。不一气一1夕={〔(a。乙,一a,b。) (a。b:一a:乙。)证明:令ab则 …,(a。b。一,一a。一;…     

构造函数巧证不等式

构造思想方法是一种富有创造性的数学思想方法,纵观近几年高考题与竞赛试题,凡涉及与不等式有关的证明题,不仅综合性强,而且思维量大,直接证明相当繁杂．构造辅助函数证明不等式的关键是根据命题中题设条件的特征构造相应辅助函数,通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性进行证明．本文举例探讨构造辅助函数,利用函数的单调性证明不等式．     

构造函数巧证不等式

有些不等式的证明问题若能合理地构造函数来解,往往能收到意想不到的效果,今举几例. 例1 已知a2 ab ac<求证:b2>4ac. 证明:构造函数f(z)=a2x2 abx ac. 由已知a≠0,抛物线开口向上. 又即b2>4ac. 例2 设a>b>c,且     

构造图形巧证不等式一例

本刊于94年第7期上曾讨论了不等式“设X≥0,求证 (2 x)/(1 x)((1/2)(1 x)~2)≥2((1/2)2)。”的几种证法。现通过构造图形再给出两个证法。 证法1 如图,构造边长为2的正方形ABCD,点O是中心,延长BC至点E,设CE=x,过E,O的直线交AB于点N,过点O作OM∥AB,交BC于点M,取EN的中点F,连结BF和BO。易知EM=1 x,EB=2 x,OM=1,OB=(1/2),EO=(1/2)(1 (1 x)~2,BF=1/2EN。∵OM∥NB,∴EM/EB=EO/EN,即(1 x)/(2 x)=((1/2)(1 (1 x)~2))/EN。     

对《关于开尔文公式推导方法的商榷》一文的商榷

本文就物理化学中弯曲液面下的附加压力等概念,与登载在《福建教育学院学报》2003年第四期上的《关 于开尔文公式推导方法的商榷》一文进行商榷。     

关于孟森《后明韩主》一文的商榷

一、“后明韩主”的传讹 著名的清明史专家孟森先生,在明清史学术领域内,贡献不少。他曾在1937年《治史杂志》1卷1号里发表过《后明韩主》一文,根据查继佐《罪惟录》第22卷的《韩主附记》,断定南明在弘光、隆武、永历三帝以外,另有一个“后明韩主”称“定武帝”的史实,从而     

一类不等式的巧证

利用“等号成立条件”证明一类具有轮换对称式的不等式,会给人带来一种“出奇制胜”的美的感受. 例1 若a、b>0,且a+b=1,求证: (2a+1)~(1/2)+(2b+1)~(1/2)≤2 2~(1/2). 分析;显然,当a=b=1/2时,上述不等式等号成立,而此时有2a+1=2b+1=2. 证明:∵ a、b>0, ∴ (2a+1)2~(1/2)≤(2a+1)+2/2=2a+3/2,①     

一个不等式的巧证

对于下面一个常见不等式,其证明可散见于各种参考资料,然而运用解析几何中定比分点的概念来证明其成立,却独具一格,令人回味无穷。     

引入参数证明不等式

问题 设a、b为正常数,x、y为正变数,且a/x b/y=1,求x y的最小值.贵刊1993年第1期《每期一题》中,对本题曾给出七种巧妙解法,下面我们通过引入参数,给出一种新颖别致的解法.     

不等式的巧用巧证

数学问题中涉及很多不等式。众所周知的许多重要而有名的不等式,如均值不等式,柯西不等式,哈代不等式,贝努里不等式,希尔伯特不等式等等,应用范围很广。德国著名数学家Enqle说:“设想你遇到一个困难问题,你应当把它变成一个容易的问题,先解决这个问题,进而得到那个难题的答案。”我们知道,一些基本不等式,如柯西不等式.以及     

关于《谈物理量的突变问题》一文的商榷

本刊1992年第12期上登载的文章《谈物理量的突变问题》,(以下简称“突变”)中提到:“物理量的突变是指该物理量从某一值变到另一不连续的值历经的时间很短,以致我们认为时间可以忽略不计,”同时总结得到了:“在宏观领域,物体的能量不能发生突变的,决定一个物理量能否发生突变,要根据这一原理去考虑”的原则.对此我以为这一原则是很模糊的,若它是指总能量不发生突变,那么跟能量守恒定律毫无二致,但从