如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

几个代数不等式的推广

文【l]给出:若x,yeR,且x y二1,则(1)二十,,一, ,、寻; __2l八、泣二I乙)一一一一一一又十、一,_」L__乙 芯丁y ,2xZ十y=~丈石 x y‘扩xZ十y23’中学数学研究加06年第6期(3)x 少 丸一为 丸,4飞百·如果改变上面的条件,便得到以下推广. 定理1若x,y〔R,且x十y=a(a任R),则 (1)ax ,,一x, 。、晋a,; ,,2 (2)翁·瑞一翁 广石)晋;鸭不蒸芍证明(1)由已知得(3)口丈乙盯十少十不翌一= x‘十ay一卫业二二十子兰一ax十y‘x‘ ayaZ·(么二),一身X,十冬X愁一象丹 二x3 ‘_舫 熟(。一x.) ·x; a、_粉￡ axj一x3.因此X; 。‘_粉!·a, axj一对一(xj一号)…     

幂的运算检测题

一、坟空题10”,令x 10”一I=一64x 2。xZ·x3 x一必== (x十y)5二____. (x 了)2·3.r___二护,(一a)3·__ =砂. 4.【(3x一y)z」3二__,若4·二2· ,,则x= 5.水的质量o.。以〕Zo4kg,用科学记数法表示为__.‘.若5x一3y一2=0,则l沪干皿0、= 7.如果砂=3,an=9,则a玩一渐8.如果gm 3·27,‘’ 3‘” 7= 81,刀卜么,=二、选择肠,.计算(一x)J·(一x)2的结果是). A .x,B.一xs C .x6 D.一x6 10.下列计算正确的是()明A.矿·犷=矿B .a·少=aZ C.矿 矿二阮n。下列各式中,正确的是(). A.(一xZ)3=一x日B.[(xZ)2]2二x‘C.一(一xZ)“=x月…     

a~(1/p)的三个变形(初一、初二、初三)

砂一万(P并。,。>0) 例1为多少? 分析 解即_.生._生__.1.,,二口知xZ十xZ一匕,则x十一的位 3.砂一夕今砂一茄(P笋。,q笋q姆>0,b>O) 例3已知正整数a,b,。(a镇b簇c)和实数x,y,z,切满足a’一夕一扩一70气 指数为分数,考虑用砂一万已知x合十x一合一8,1 .11一十一十—X yZ 1.、.,、,,,,二一石,试水“,”,“的惬· 尸.1丫￡十云一匕·,‘,,、.,~1 .11分称利用一十一十一-X yZ1一~一.,.石,既水小山_、:一、‘,。,1.,网迈十万得x十一十乙一b住,所以 1_八X十—一b乙 2.。”一b=>。一b去(p护。,。>0,b>o) 例2已知(11.2)a=1000,(0.0112)b=100。,则工…     

整点三角形的最小面积

定理在整点△A方C中.若已知顶点月行,,yl),方行2·yZ).则其面积最小位为告(/夕一:·,?一,,)·这里·(了2一:·,·:一yl)表示二2一r:.yZ一y:的最小正公约数.(乙·y,,一r:·、:皆为整数).(下转封三)(上接第19页) 证明设第三顶点为C(x,刃,(x,y为整数), xZ一xl~a(xZ一x,,yZ一yl), 为一yl一b(xZ一x,,yZ一yl),则 (a,b)=1.又直线AB的方程为 (夕2一夕:)(x一xl)一(xZ一x,)(夕一夕.) ~0.一(1)AB边上的高为 h‘一资}(夕:一夕1)(x一xl)(x2一x,)落y一y,) 1一二丁又X,一Xl, 乙少2一夕,){a(x(y:一少1)(x一x,)一(xZ一xl)(y一y,)(xZ一x:)2+(夕2一夕;)…     

圆锥曲线方程相减的特殊结果应用

为了说明题目的含义,首先看例: 例已知直线l:y~1一x与椭圆a扩十勿2一1相交于A、B两点,若过原点与线段AB二‘一‘一一‘。、、、,_了丁阴甲息俐且城科华刀-下- 乙,求粤的值, U 照常规,此题一般是用韦达定理求解。但见下面的解法: 解:设A(x,,夕1),B行2刁2)则有同理:!C尸一晋厅yZ一2厅}B“一鲁厅x6一2厅一3厅·由题意:!AF}十{CF}~2!BFI冷:yl十yZ一12.①②a对 石少圣=1ax鑫 妙呈~l馨②一①得’ {丝一兰证明:(2)由题意{‘营‘忿 {匹一亚 t 12 13 a(x:一x,)(xl xZ) b(夕:一夕1)(夕; 少2)=0,②一①。(少:一少:)(y, 夕2) 12(x:一xl)(x; xZ) …     

多变的分式求值题(初二、初三)

分式求值是常见题型,它们变化多,不易掌握.这里给出几种常用的方法,供同学们参考. 1.平方法所以P一2,故p一2_q一3例1一,1白劳p一一}a _,_.,、山,,1一1,那公代畏义入一十4.整体代入例4已知xZ一sx一2000一0,a}的值为(*(x一2)3一(x一1)2十1,二,二本—四生巴。 、不—乙(A)誓.(B卜誓.(c卜二.(D)二.解(”年初数竞).、。,二、曰__11_.*。,‘故研田‘六“叫,寸“’万’I,t’们P足止狱’ (00年河北初数竟)由xZ一sx一2000=0,得 xZ一sx=2000. (x一2)3一(x一1)2十l x一2所以(告一}。一丫一;,粤+一。}2一3,一(x一2)2一(x一l)2一1 x一2可得(告+}5,所…     

一组解析几何试题(1982年日本高考题选译)

①②一、昭和医科大学题题设有二曲线,~护(1)(2) 红二尸一Zx+3求①和②的公切线在①上取一点P,在②上取一点口,p和p‘的夕坐标设为yl、一y,,作出直线AP和A’P‘的方程,可以求其交点.利用点(x,,万,)在椭圆上,消去x,、刀,即可. 解答平行于y轴的直线为x~x、,P、p’的坐标一没为②③线段pQ的中点设为R。图示点R所在的区域.解(功所求公切线设为y一ax+乙,对于①、②有 xZ一刀x一乙一O,xZ一(2+。)x+3一b一0。的判别式各为0, 即a“斗4b一0, (2+a)“一4(3一b)一0 解之a~2,b一一1. 答:歹~Zx一1. (2)设P(a,aZ)、Q(口,夕2一2口+3),中点R的坐标(X…     

1987年上海市普通高校招生统一考试数学试题及解答

一、填空题(本题满分36分) 1.刀二xZ(x《0)的反函数是._~,,_.-.一。 2 .C主。+C全。+…+C了。十C;合=,一_二_._。 3.函数f(x)=axZ十bx+c是偶函数的充要条件是._一__._.…_二__。 4.设ABCD一Al刀,CID,为一正方体,君、F分别为BB,、DC的中点,则通E与刀:F所成角为_.______._二___.‘_一__。 5.在底面半径为a,高为Za的圆柱中,分别挖去一个底面半径及商均为a的圆锥与一个半径为。的半球,则剩下部分的体积为__一。 6.函数万=2卜i,‘(4x一去一二)1的址小正周期为______。 7.计算函数值:arcsin(3in一哥二)=_。 8.双曲线4护一佃一3)’=4的渐…     

巧用方差性质解题

设夕为一组数二,,x:,…牙一工(xl+x:+…十x,),,x二的方差,则。。1二,。“一万L又工, +(x。一牙)2+(x,一牙),+…一王)’〕工〔(x,青〔(x工+x:十x:十…十x尸)一,尹] 1工十’“十毛一夕一万气xl+xZ十…+x”)“」.n 11易知夕一0<二争x,一x:~···一‘一x.巧用这一性质,可以简解一些非方差问题.(关)例1已知:a十b十c+d~8,矿+夕十产+毋一16,求abc+。‘d十bcd+abd的值.解52=设夕为数组a、b、‘、d的方差,则粤仁(aZ+,,+。,+、2)一李(‘+,+‘+J):」任一任1416一粤x 52 4 一0. 由(,)式知。一b一c一d一2,故ab‘+。‘d+bcd+二bd一2 X 2 X 2 X4一32. …     

从几个错例谈一类方程的解法

文〔1〕中出现了解如下几个方程(组)的例题: 例1解方程组 那么如何解决上述问题呢?上面我们给出一种简捷方法。 例i解法:①一②得:(‘一百)(3x 3对-夕鱿一鱿一3x 4万=6雪以扩一x‘一3对 4x=6卿了。一。.故碟x=z一夕2一3x一4万=6夕例2解方程组{2x2一,,一3x 4万‘63x 3即一7=0犯‘户,:十勺一全L石x十万’十x沙二公由第一个方程组毗:班;,像北. 一7一67一6 一一一一例3解方程例4解方程1 lx2一67一iZxZ3一xZ劣2十1-一了{篆气.了粼. )二3由第二个方程组得弓 (“,5侧了 65侧了7一67一6 一一一一 d通 V西打2.己11…、 文〔1〕中给出的解法中,四个…     

初二期末综合检测题

.下列各式中可以进行因式分解的是((A)aZ十护.(C)概 ny.(B)aZ一b2.(D)xZ 3砂 夕2960 960工工一202.不等式组}‘士‘多夕的解集为() 气一‘X尸)U 960 960x一ZOXCD (A)x<一1.(B)x<0. (C)一1戒x成0.(D)x(一1. 3.已知△乃BC的△A,B’C‘,且它们的相似比为2:3.若△八刀C的最短的边为     

初中数学试题

一、选择题(每题3分)的余弦,则m的值是()11““J了‘、m八‘·若‘叭‘为正数,且二一击(A)扩乳8.方程(B)甲了;(C)1;(D)2.挤xZ一则x的值一定是().个不相等的实数根,一,)x+m=0有两。的取值范围是() 一aC十 L仔 一一 口,门+ 一乙 一一,,、1、/1少2;(D)2(B,一」一;(C)盖或一2.若2尸十7x夕=15歹’,那么万的值乡‘“’一‘<,<合,(C,一‘<从<合,‘D,一‘成n矛‘鲁.(B)m<一1 、1,m户下~; j且m子0是((A)一;315’工,5’,二、3火七夕乏,一勺;(D)无法确定。 9.要了解某产品的使用寿命,从中取出10个产品进行试验.在这个问题中,10个产品使用寿命是(…     

用点共线法解一类解析几何题

若三(四)点A(关:,g:),B(xZ,g:),C(x3,夕3)〔D(考‘,百:)〕共线,则其斜率*KAB=天刀c’二KAC〔二KCD二KAD=…〕。取其中某一个用坐标表达的式子,但触口: yX一a(1+入)b 一入b①x②消去参考数入得 g2xZ一aZ ② b2=二么2’化迎鱿岌五二XZ一Xl迎止卫卫‘X,~X,、一xZ二五二丛二些旦二里生。… x4一x 3 x4一xlxZ_了r十a豁·,(X>。,,>”,,即为所‘ ,、、、.声用来解决一些解析几何中直线与二次曲线关系问题,将是很方便的。下面就用这个方法解近五年来的五迸高考试题.这里的解法,都不同于原答案的解法。 例1(1983年理科付题第七题)(16分)…     

关于对数求导法的一点附注

对类似夕一sin峨二eos“x或夕一这样的函数求导函数时,我们常常先二边取自然对数,然后利用复合函数求导法则进行计算,这就是所谓“对数求导法”.但这里有一个问题:函数夕一sin峪xcos“x的值是可正可负的,能二边取对数吗?函数 {(x一1)‘x一2)二一、、,,_卜一、平,__J、,___、,_.。、厂__‘、**y一、})土二会畏于共三共书的定义域并不要求(x一1)、(x一2)、(沉一3少、〔x一4)每一个 丫(x一3夕(x一4少’一‘一-一~“一切·-·,、-··-·.一,一因式“}玉大于零,但女口果二边取对数、按对数运算法则展开:‘理;一告〔,”(二一‘)十‘:(二一2)一z,…     

数学问题解答(选译自(苏)初等数学习题集)

1.指出,对于任意自然数n,有将以上不等式相加,得典一琦一琴 …*-2‘3‘1厂<旦卫 ll1 .11二1/‘1砰十乎十班十“’十平火1一万=n一1111 一一证明,因为<共 1.乙 1一丁’所以22 l,1-二歹一峨几、又一万O一乙.j万一万’琴灯一工4‘’3一414’岁·矗·扣…乒<宁一2.化简、‘X ·,‘XZ 一)…(xZn一‘ 。2“一‘),.一八Q若x年a,则(x、a)(xZ a“)1,1吸、牙甲一.下二一一二 气fi一1少1111n一In·…了Zn一‘2’‘一‘、 \X a/犷 /Zn一‘2飞一’、(x一a)(x a)(x乙 a‘)…\x、a/_(xZ一a“)(x“ a“)(x名 a弓)…/2九一‘2几一‘\、·x a/X一aX一a,…     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

切比雪夫不等式的某些应用

切比彗失不等式:若x:‘x:镇…石x.,且夕,夏g:《…提如x:杂x:》…》x。,且夕,夕g:)…)价, /二、/二、*,.,乙龙1。l乙赞,.‘年艺琳幼》}”‘11’‘几, 九玄、t一、一I、一I 、称l\月I若胃:《二:‘…《x,,且y,)万:)…)价劣:妻xZ)一)x,,且夕1提夕:…《,。,可得到一系列不等式.(下列各式中。‘均取正值)。取厂(x)=x(增函数),得砚习a,,卫_石口,奋二1曰.,..‘ 称蘸{玉三兰里》三己二二玉一V九一竹 2、、...矛夕夕.J了口,,、、、 势或则此即均方很—算术平均不等式。或;l‘1,一}.:二,丫) 一石xy,蕊l‘’‘了l 77‘”1\一不/\取‘(x,=专,二任R·‘…     

抽象函数并不抽象(高一、高二、高三)

任取x>o,y>。且x祥y,则z才‘t、z了.‘、 1.讨论f(习的单调性 例1已知函数y一f(x)对于任意实数x,y都有f(xy)一f(x)·f(贝,且当x>1时,f(x)<1,又f(x)并0.试判断f(二)在(0, oo)上的单调性.九(x) 2几(y)一3几解设。1, X1f(x2).f(与<1. X1·f(1)及f(x)护0,f(1)一1,f(二)=f(1)二1,=(x 1)2 2(夕 1)2一3 2,一下丁戈x一y少‘夕U, O学)三沪川即九(X, 2九(:)>3、祥沪) 一一)、、声夕11,塑x1f(件历式=f又f(l)可推出且所以,,1、J又—)一 1f(二)即有f(xZ)f(二z)<1.而对于任意f(x)都有 f(x)一‘厂(石·丫万) 一f(石)·f(不石)一尹叮于),因为…     

每期一题

题:若户+夕3一3xg=O,则一10.丫夕2从而得》0。.,. uZ一2:‘一3《0.一l《u《3.因为当u二一1时,即x+万二一1。代入上(.)式。得一xZ一(一1+3)x夕一…