几种独特转化方法的运用

一、一般和特殊转化 例1如图1所示，A、B、C、D是圆周上的四点，且AB＋CD=AD＋BC，如果弦AB的长为8，弦CD的长为4，那么图中阴影部分面积的和是——（π取3）．     

这道题出得不对

《圆的面积》教学之后,一位教师出了个综合题给学生练习: “求下图(图1)中阴影部分的面积(单位:分米)。”这位教师的命题,意图十分清楚:在一个等腰梯形中,画了一个内切圆,让学生综合运用梯形面积公式和圆面积公式,来求阴影部分的面积。也就是让学生这样列式计算: (6 10/2)×8-π(8/2)~2=64-μ3.14×4~2=……     

运用整体转化巧解阴影面积

从近几年的中考命题来看有些求阴影面积的题 ,若按常规来做非常麻烦 ,甚至无从下手 .如果将图形进行转化 ,化图形的一般位置为特殊位置进行解题 ,则妙趣横生 ,问题迎刃而解 .现举几例如下 :例 1　如图 1 ,AB =AC ,BD =CD ,且AD =8,CD =4 .求 :两阴影弓形面积的和 .分析　本题若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐 ,而根据己知条件及圆的旋转不变性 ,将CD绕圆心O旋转 ,使点D与点B重合 ,则AB DC恰好组成一个半圆 ,此时两弓形面积和转化成为 :半圆面积减去Rt△ABC的面积 .如图 2 .答案 :8π- 83.图 1　　　　　　　　图 2例 2　如图 3…     

拓宽思路 巧妙解题

[题目]如图1所示,梯形ABCD的面积是72平方厘米,请计算阴影部分的面积。[分析与解]解法一:观察图1,可知阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去三角形ABD的面积,即S阴=72-4×12÷2=48(平方厘米)。解法二:先根据梯形面积的计算公式求梯形ABCD的下底(即     

巧求梯形面积有关的五种求法

一、联系同高的三角形的面积比等于底的比来求例1已知如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD交于O点,△AOB的面积为4,△DOC的面积为25,求梯形ABCD的面积.解:因为,AB∥CD,所以,S△AOC=S△BOD.因为,△AOB与△AOC是同高     

2006年海淀区中考压轴题多解研究

题如图1,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、OC、OD,且OD=5.(1)若sin∠BAD=3/5,求CD的长;(2)若∠ADO∶∠EDO=4∶1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留π).     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…     

一道平几题的启示

初中几何第一册第225页第8题: 在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm。①求△ABC的面积;②求AB;③求高CD。要求高CD,一般的解法是先求出面积:S_(△ABC),再用勾股定理求斜边AB,然后利用面积相等的关系求出斜边上的高CD,如果不先求出面积和斜边上的长,能否直接求出斜边上的高呢?     

已知梯形的四边长求面积

若已知三角形的三边长为a、b、c,求三角形的面积,则可用海伦公式 S=√p（p-a）（p-b）（p-c）（其中p=2^-a＋b＋c）,在梯形中,若已知四边长,也可求出梯形的面积．现介绍如下：     

等积转化是关键

如图1所示,阴影部分的面积是8平方厘米,长方形ABCD的长是6厘米,宽是4厘米,M是BC的中点,三角形APD的面积是多少？我是这样解的。如图2所示,在AD上取中点H,连接PH。把三角形APH和三角形PBM合在一起考虑,它们的面积和是4×3÷2=6（平方厘米）。根据题意可知,梯形ADMB的面积是（3＋6）×4÷2=18（平方厘米）。所以,三角形PHD的面积=梯形ADMB的面积-阴影部分的面积-（三角形APH的面积＋三角形PBM的面积）,即18-8-6=4（平方厘米）。     

求阴影部分面积"六法"

计算阴影部分图形的面积是初中数学的一个重要知识点,也是中考试卷上的常见题型.本文将分类例谈这类问题的解法,供同学们学习参考.一、直接法当已知图形为我们熟知的基本图形时,先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小,然后直接代入公式进行计算.例1如图1,矩形ABCD中,AB=1,AD=!!3,以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于P,则图中的阴影部分的面积为().A.23πB.43πC.!!43πD.π3解:依题设有:EN=PE=AB=1,EC=12BC=!!23,所以,在Rt△ECN中,cos∠NEC=ECEN=!!23,从而,∠NEC=30°.所以,∠MEN=180°-2×30°=120°.…     

2010年莫斯科大学数学力学系入学考试试题解答

第1卷1解方程组2解不等式（1-x）/x>（（3x-2）/（3x+4））^1/2.3求函数f（x）=4/（3cos²x+2sin x-1）的最小正函数值.4如果已知在ΔABC中,∠ABC=π/（12）,BC=5,2AC>AB,中线CD与三角形的边AC所成的角为（5π）/12,求这个三角形的面积.     

2008年第7期问题

175.如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD(AB>CD),E、F分别是AB、CD的中点.若∠A ∠B=90°,求证:EF=21(AB-DC).(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)176.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,CD=%2-1,BC=BD,且∠BAC ∠BDC=180°,求BC的长.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)177.设a,b,c∈R     

一道竞赛题的多种解法

1994年小学数学奥林匹克初赛试卷[B]有下面这道几何题:下图一是边长为1米的正方形和一个梯形拼成的“火炬”。梯形的上底长1.5米,A 为上底的中点,B为下底的中点,线段 AB 恰好是梯形的高,长为0.5米,CD 长为1/3米。那么图中阴影部分的面积是________平方米。这是一个好题,本文给出多种解法.     

三角形和梯形中位线定理的应用

三角形、梯形中位线定理是平面几何中两个很重要的定理，它们都具有两个方面的特性：其一是在位置上三角形中位线平行于第三边，梯形中位线平行于上、下底；其二是在数量上三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于上、下底之和的一半．因此，它在几何计算或证明中有着广泛的应用．下面举例说明．一、进行与中位线和底边有关的计算例1如图1，梯形ABCD中，AB/CD，EF是中位线，EF交BD于G，交AC于H，DC=10，EF=6，求GH的长．分析由题设知EF是梯形ABCD的中位线，因而EF=1/2（AB＋CD），由此可求出AB=2．由于EF/AB/CD，E…     

等腰梯形的功能

等腰梯形的功能是由等腰梯形的性质决定的．等腰梯形有这样几个性质：等腰梯形的两腰相等；等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形同一底上的两个底角相等．这就决定了等腰梯形有如下两个基本功能：1．利用等腰梯形可以证明两条线段相等；2．利用等腰梯形可以证明两角相等．例1如图1，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC=60°，AB＋AD=BC．求证：AC=BD．分析因为AC、BD是梯形ABCD的两条对角线，所以，欲证AC=BD，只须证梯形ABCD是等腰梯形即可，即只须证AB=CD（或ABC=DCB=60°）．为此，需要添加适当的辅助线，把AB、CD迁移到一个…     

用整体思想求阴影面积

本文以07年中考题为例说叫如何用整体思想求阴影面积.例1如图1,在△ABC中.AB=AC=5,BC=6,点E、F是中线AD上两点,则图中阴影部分的面积是( )     

认真审题切莫以偏概全

今年我省中专招生考试数学第六题是一道平面几何问题,原题:巳知△ABC的AB=2(3~(1/2)),AC=2,BC边上的高AD=3~(1/2).(1)求BC的长,(2)如果有一个正方形的一边在AB上,另两个顶点分别在AC、BC上,求这个正方形的面积.解法1 ∵AB、AC均比AD长,     

小学数学竞赛中几何题的常用解法（二）

四、容斥原理例6.如图1,在平行四边形ABCD中,AD边长为8厘米,AB边长为10厘米,∠DAB=30°,高CI的长为4厘米,其中BE、DF是分别以AB、CD为半径,以∠EAB、∠DCF为圆心角所对应的弧,DG和BH是分别以AD、CB为半径,以∠DAG、∠BCH为圆心角所对应的圆弧,求阴影部分的面积。     

数学奥林匹克问题

本期问题 初297 在△ABC中,已知AC=7,BC=4,过点C作CG上AB与AB交于点G,且∠CEA=1/2∠ACB,AG/GB=5/2.求当∠ABC分别为锐角、钝角时,CE的长．初298 将长为m、宽为n的矩形纸片能否剪成面积相等的正方形纸片（损耗不计,m、n∈N＋）？