一般化思维方法在数学教学中的应用（一）

特殊与一般的关系是对立统一关系,将特殊问题一般化及将一般问题特殊化是人类研究(处理)问题时常用的思维方法,也是数学学习和研究中重要的思维方法.梅森(JMaSon)是英国开放大学数学教学中心的主任,他在教学方法论的领域著有《数学地思维》,《学数学,搞数学》等著作.在这些著作中,梅森集中地研究了数学中的特殊化和一般化方法及其在解题过程中的作用.按照梅森的观点,特殊化和一般化是数学思维的核心,同时也是怎样解题的关键所在. 2003年我们在《福建中学数学》第2～7期上发表了系列论文,系统地总结了特殊化思维方法在数学教学中的应用,本…     

一般化思维方法在数学教学中的应用（四）

2.4 用一般化方法解决特殊问题中的疑惑 有些特殊问题,在解决过程中会出现一些疑惑,我们难以讲清道理,但把这些问题一般化后,反而变得容易找出其中的奥妙,讲清其中的道理. 例1证明方程2243cosxxx =无实根. 证明 原方程可变形为 22(43cos)0xxx -=, ∵142(43cos)xD=-鬃- 24cos310x=-<. ∴原方程无实根. 质疑 用判别式法判定方程2axbxc 0=无实根,是以ab-、c是常数为前提,然而原方程中43coscx=-不是常数,因此提出疑问:这样的解法对吗? 解惑 我们干脆把问题一般化,研究变系数一元二次方程: 2()()()0(()0)axxbxxcxax =? (1) 无实根的条件(…     

一般化思维方法在数学教学中的应用（三）

2.3 通过一般化来解决特殊问题我们常常会遇到这样的情形,有时处理一个具体问题不知从何入手,但当我们把这个具体问题抽象化,变成处理一个一般性问题时,反而变得容易起来.这是因为,当问题太具体时,具体问题中许多非本质的东西,掩盖     

数学思维方法在高中信息技术教学中的应用

本文从数学思维的方法论方面，提出了数学思维方法在高中信息技术课程中的应用的新思路．阐述了在高中信息技术课程中渗透数学思维方法教学模式的方法和原则，以及在组织、形式和手段等方面应注意的事项，给出了相应的教学案例．     

特殊化思维方法在数学中的应用（三）

当我们对解决某个一般性问题感到困难或无从下手时,不妨考虑这个一般性问题的一些特例.特例中常常蕴含着解决一般性问题的思路、方向或模式. 例1 设12,,,nAAAL是任意凸n边形的n个内角,求证: 212111(2)nnAAAn+++?pL. 分析 本题看似复杂,一下子不知从何入手,我们不妨取最简单的n边形——三角形来试探一下.在△ABC中,要证的命题变为: 1119ABC++硃. 如何证明此式？注意到上式等价于 111()()9ABCABC++++? ∵311113ABCABC++匙, 33ABCABC++? ∴(111ABC++)(ABC++)9. 对任意凸n边形的情形,我们仍沿着解决△ABC的思路来考虑. ∵1211…     

特殊化思维方法在数学中的应用（二）

特殊化思维方法在数学解题中有广泛的应用. 1 通过特殊化探索定值、定点 当我们要论证某对象取定值时,定值常常是未知的,这就增加了论证的困难.这时我们可以先取特例探索定值等于多少,然后再论证一般情形下全体对象确实是取这个定值.类似地,可以通过特例探索定点、定线、定向、定圆等. 例1 P是xAy的平分线上一定点,过A、P两点任作一圆,若这圆交xAy的两边于B、C,则ABAC 为定长. 简证 1.过A、P两点作一特殊圆来探索定长等于多少？ 取特殊圆——以AP为直径的圆,容易得知,这时2cosABACAPa =. 2.过A、P两点 任作一圆,交xAy 的两边于B…     

特殊化方法在数学中的应用（五）

在解决某些一般性问题时,我们分两步走,第一步先解决一些特殊情形,然后利用特殊情形下已取得的结果来解决一般性问题.简单地说,就是先解决特殊,然后将一般归化为特殊. 例1 证明圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 证明 1) 先证明圆心在角的一条边上的情形.如图所示, CBAC=? BOCBACC=+? ∴2BOCBAC=? 故/2mBACBOC=?/2BC 2) 再证圆心O在BAC内部的情形. ∵BACBADDAC=+?/2/2mBDDC=+ ∴/2mBACBC? 3) 再证圆心在BAC外部的情形 BACDACDAB=-?/2/2/2mDCDBBC=-=. 例2 若三角形三个顶点(按反时针顺序) 11(,)Axy,…     

特殊化思维方法在数学中的应用（四）

本文讲通过对特例的观察、归纳可发现一般规律. 1 通过特例枚举归纳出一般规律 例1 求积2111(1)(1)(1)?49nSn=---=L 解 我们很难一下子就求出nS的公式,不妨取特例试算一下: 213144S=-=, 3112(1)(1)493S=--=, 41115(1)(1)(1)49168S=---=, 511113(1)(1)(1)(1)4916255S=----=. 将上述结果列成表: n 2 3 4 5 L nS 34 23 58 35 L 上表从表面上看不出什么规律,如果我们稍稍加工一下,将23改写为46,将35改写为610,将得到下表: n 2 3 4 5 L nS 34 46 58 610 L 从上表我们容易作出猜想:12nnSn =.用数学归纳可以证明这个猜想确实是对的. 例2 在…     

逆向思维在解题中的应用

一提到逆向思维,我们很快就联想到了正向思维,在思维方式中,如果把A→B的思维方式称为正向思维,那么从B→A的思维方式就称为逆向思维.数学中的逆向思维具体体现在:逆概念、逆定理、逆命题、分析法、反证法和公式的逆用等.在高考中,一些数学问题通过逆向思维的方式来解决,能收到事半功倍的效果,今以几例说明之.     

论一般化思想在数学解题教学中的作用

“由特殊到一般,由一般到特殊”是人们认识事物的两个基本过程．在数学学习中,特殊化和一般化更是常常交替呈现、循环使用（如图1）．解选择题和填空题时,特殊化是学生常用的策略之一,而对于一般化,学生的体会并不是很深,但不可否认,在数学教学中,一般化思想有着其它任何思想方法都无法替代的作用．那么,什么是一般化？     

特殊化方法在数学中的应用（六）

1 利用特例否定一般性命题 要否定一个一般性命题,只需举出一个反例就行了. 例1 每个三角形有三边、三角共6个元素.若两个三角形有5个元素分别相等,问这两个三角形是否全等？ 分析 两个三角形中有5个元素分别相等,似乎已非常接近全等了,但它们确实不一定会全等,因为可以举出反例推翻它们是全等的结论. 反例 设△ABC的三边8,12,abc=== 18;△ABCⅱ⒌娜?2,18,27abcⅱ?==. 因为23abcabc===ⅱ?所以△ABC∽△ABCⅱ?故有,,AABBCCⅱ?==?又,bacbⅱ==,故这两个三角形有五个元素分别相等.但它们显然不全等. 例2有一道习题,求sinsin25xxy= 的…     

数学思维方法在初中物理教学中的应用方法

数学思维的发展在某种程度上会促进物理学思维的发展,这两门课程有着难以分割的关系,数学是物理学开展研究的最重要的手段和工具。物理学中得到优异成绩或者取得巨大成就的科学家,他们的数学普遍都很厉害,他们善于用数学去解决物理学中的问题。伴随着物理学的发展,数学思维在物理学的应用中体现出了更大的作用,比如用数学进行物理公式的推导,对一些问题进行演算等,因而,数学思维对物理学 的发展起到重大的推动作用。     

数学教学中注意培养学生的发散思维

发散性思维是创造思维的一种品质，它主要强调思维的多解和求异，它从一点出发沿着多方向到达思维的目标。发散思维具有多向性、变通性、流畅性、独特性的特点。即思考问题时注意多思路、多方案，解决问题时注意多途径、多方式。发散思维时同一个问题从不同的方向、不同的侧面、不同的层次横向拓展、逆向深入，采用探索、转化、变换、迁移、构造、变形、组合、分解等手法，开启学生的心扉，激发学生潜能，提高学生素质，从而造就创造性人才。     

数学直觉思维及其在数学教学中的应用

从直觉思维的概念出发，对数学直觉思维与数学逻辑思维的区别、数学直觉思维的特征及其产生的条件等方面进行了论述，并就其在数学教学中的应用作了一定的探讨。     

数学思维在小学数学教学中的实际应用

在教学水平不断提升的背景下,数学作为小学教学的重要学习内容,逐渐对其提出了更高层次的要求。小学数学要注重培养小学生的自主能力以及培养学生良好的数学思维模式,这对小学生今后的生活有所帮助。在数学教学中正确应用数学思维,对小学数学教师是一个新的教学挑战,要求小学数学老师明确数学思维,并用适合小学生的教学策略来将这一思维渗透到数学课堂中。     

数学思维方法在初中物理教学中的应用研究

数学的发展离不开物理学思维的发展,这两门课程之间存在着不可分割的联系,数学是研究物理学的基本工具和手段。物理学中取得成绩的各位科学家都具有很好的数学天分,他们都是从数学的角度去研究物理学中存在的问题该如何去高效地解决。随着物理学的不断发展,数学思维在物理学中的应用得到了更深的体现,如用数学方法进行描述、作图、计算、推导等,所以数学思维在物理学的发展中起到了至关重要的作用。     

向量方法在数学竞赛中的应用

向量知识和方法以其特有的优势为人们所青睐,巧妙地加以运用可使很多数学竞赛问题的解决无论从思维上还是计算难度上都变得简洁明快.本文从知识和方法的角度探讨如何运用向量知识和方法,简捷有效地解决竞赛数学中的一些问题.一、向量模的应用向量的模即为向量的长度.应用向量模