小数运算的算理和算法:历史溯源与教学建议

<正>一、引言小数是小学数学“数与代数”领域的重要内容之一,是十进制计数系统的必要成分^[1]。现行的小学数学教材利用了整数运算中的“积的变化规律”和“商不变性质”[2],即借助性质将小数转化为整数再进行乘除计算。这种方法确实能帮助学生快速掌握小数乘除的算法,但过分依赖整数的运算规律,忽视了算法背后的算理。并且,许多教师往往按部就班地根据教材编排进行教学,没有带领学生经历小数运算的发展过程,导致学生虽掌握了小数运算的算法,     

基于运算一致性的“分数除法”单元设计与实施

<正>2022年版课标提出“体会数的运算本质上的一致性”。那么,学生能否在分数除法的算法探索过程中,对整数除法、小数除法和分数除法的运算一致性有所感悟？如果学生理解整数除法、小数除法的算理后,在“分数除法”单元进行主动迁移,会是怎样的思维路径？对于以上问题,我们展开了研究。一、研究对象设计     

对三个名师案例的评论

<正>《小学教学》(数学版)每年第7-8期都会推出“全国小学数学名师最新教学案例专号”。以下就以2022年该专号上刊登的三个案例——《打破思维定式培养审辩式思维——“三位数乘一位数”的拓展课》^[1]《在真实问题解决中培养推理意识——“两位数乘两位数”的实践与思考》^[2]《把握运算的整体性与一致性——以“除法运算的意义和算法”教学为例》^[3](以下分别称为案例一、案例二、案例三)为对象做出简要评论,希望这不仅有助于读者对案例的理解与学习,而且能促进读者深刻地认识评论的重要性,并学会如何做好评论。     

在协商中梳理 在思辨中理解——“小数乘法(单元复习)”课堂实录与思考

<正>2022年版课标在数与运算主题中,明确提出要让学生达到“感悟数的运算以及运算之间的关系,体会数的运算本质上的一致性,形成运算能力和推理意识”的学习要求。“小数乘法”单元学习内容包括小数乘法笔算、小数简便运算及解决问题三部分内容,从复习课让学生体会运算一致性的教学目标思考,应让学生在复习梳理时理解小数乘法与整数乘法在笔算、简便计算与解决问题时的一致性。即小数乘法的算理、算法与整数乘法相同,小数简便计算与整数乘法原理相同,     

以理驭法:感悟数的运算的一致性——“小数除法”教学片断与思考

<正>史宁中教授认为,除法运算的一致性表现在计数单位与计数单位相除,计数单位的个数与计数单位的个数相除。小数除法运算的算理与算法,可以从整数除法、分数除法分别进行推演。他认为小数除法运算可以概括为“披着小数外衣的整数除法运算”。这让我们对小数除法有了新的认识,在教学中要打破整数除法与小数除法的界限,让小数除法不再是一个相对封闭的体系。     

义务教育六年制小学数学（人教版）第九册教材分析与教学建议

一、教材分析 本册教材主要内容有：小数的乘法和除法。整数、小数四则混合运算和应用题，多边形面积的计算，简易方程，共四个单元。 1．小数的乘法和除法 由于小数与整数有密切的联系，所以教材注意联系整数的运算，如通过具体例子，将整数乘法运算定律推广到小数时，指出对小数同样适用。[第一段]     

小学数学第九册总复习设想

小学数学教材第九册第五单元“总复习”包括两个部分：一是“整理和复习” (12道题,下面简称“整理” );二是练习三十四 (30道题,下面简称“练习” )。总复习时要将两者相结合,根据学生实际情况,有计划、有目的地指导练习,使学生夯实基础,灵活运用 知识。现提出以下设想。 　　一、以提高计算技能为重点,复习小数乘、除法,运算定律及混合运算 　　1.复习小数乘、除法的意义及计算方法,要与整数乘、除法进行对比,突出其不同点。如,“整理”第 1题,先让学生回答,然后师生共同归纳：小数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同,乘…     

分数除法的学前知识测查及其启示

<正>数的运算教学重点在于理解算理、掌握算法。算法主要关乎“如何算”(How),算理则涉及“为什么可以这样算”(Why)。理解分数和掌握分数相关的运算对数学学习至关重要。在小学,分数除法之“颠倒相乘”的算法生成和算理解释是公认的教学难点。针对这一难点,不少研究者基于不同教材的内容比较与分析,提出了一些教学设想^[1-4]。     

分数除法学习路径的设计与改进

<正>一、问题提出分数除法是第三学段“数与运算”主题下的重要学习内容,对学生而言具有一定的挑战性。对于“颠倒相乘”的计算程序,一些学生甚至不知道应该被颠倒的是除数还是被除数,更遑论颠倒相乘的原理了。^[1]但是,这个内容“不仅是培养学生数感和运算能力的良好素材,也是培养学生代数推理能力的重要载体”^[2]。近来,有不少研究尝试提出分数除法计算的假设性学习路径^[3,4],这些路径主要从课程设计者和实施者的角度考虑,     

小学数学第九册总复习提要及检测

本册教材“总是习”包括小数乘、除法的意义，运算定律、混合运算，多边形面积，简易方程及应用题五部分。一、小数乘除法的复习，要抓任两点，一是理解意义，二是掌握法则。小数乘、除法的意义与整数乘、除法意义相同的部分，学生比较容易理解，而一个数乘以小数的意义则有新的含义，必须通过对实例的分析，使学生充分理解。计算法则，“总复习”只概括提出一个问题：与整数乘、除法有什么相同点和不同点？对此，既不能满足于学生的简单回答，也不能只用练习代替复习，而应根据学生买际，精心设计复习步骤，让学生通过“转化”、计算．对比…     

“一致性”视角下的运算能力培养——“小数乘整数”磨课实践与反思

<正>“小数乘整数”是苏教版教材五年级上册第五单元的起始课。教材在三年级下册教学小数初步认识的基础上,将有关小数的意义、性质和运算的内容编排在五年级上册,依次在第三单元教学“小数的意义和性质”,第四单元教学“小数的加法和减法”,第五单元教学“小数的乘法和除法”。教材单元设计充分体现了知识内容的结构性,有利于学生整体建立有关小数的意义和运算的认知结构。“小数乘整数”的例1主要教学一个小数和整数相乘的方法,     

苏教版国标本数学五年级上册“小数乘法和除法”备课参考

教材与学情分析 一、教材分析 “小数乘法和除法”在五年级上册共分成两个单元,先教学小数乘整数和除数是整数的小数除法,再教学小数乘小数和除数是小数的小数除法。在这两个单元中间插入“公顷和平方千米”的教学。这样安排有两个原因：一是小数乘法和除法的教学内容多。例如用竖式计算以及四则混合运算、简便计算、解决实际问题等;     

小数的乘法和除法”教学建议

义务教育六年制小学数学第九册第一单元“小数的乘法和除法”,是在学生学习了整数的四则运算、小数的意义和性质及小数加减法的基础上进行教学的。通过本单元教学,应使学生系统地理解和掌握小数乘、除法的意义和计算法则,进一步提高计算能力,为学习整数、小数四则混合运算作准备。下面对这部分内容的教学谈几点建议。     

“除数是一位数的除法”单元教材分析与教学建议

<正>《数学课程标准（2022年版）》指出,运算教学中学生需感悟数运算的一致性。从运算意义的角度来看,加、减、乘、除在本质上是一致的,即都是计数单位与计数单位的运算以及计数单位个数与计数单位个数的运算。人教版三年级下册第二单元“除数是一位数的除法”是整数除法运算中的关键单元,具有承上启下的作用。在人教版二年级下册“有余数的除法”单元,学生第一次接触除法竖式;在人教版三年级下册“除数是一位数的除法”单元,学生进一步理解除法竖式的算理与算法;在人教版四年级上册“除数是两位数的除法”单元,除数又由一位数扩展至多位数。     

掌握特点 选择算法 注意审查——“数的运算”毕业复习指要

一、复习要求(一)四则运算的意义理解整数、小数、分数的加法、减法、乘法、除法的意义及相互关系。(二)四则运算及四则混合运算1.掌握整数四则运算、小数四则运算、分数四则运算的法则,并能熟练进行运算。2.掌握整数四则混合运算、小数四则混合运     

除数是整数的小数除法

五年制小学数学第七册第48页例1、2、3是“除数是整数的小数除法”,教学目的是使学生理解并掌握小数除以整数的计算法则。并能正确地运用法则进行计算。“除数是整数的小数除法”与学生已学过的整数除法,它们的运算顺序、试商方法是相同的,不同的就是商的小数点的处理问题。因此,从总的来看,“如何处理商的小数点”是这三道例题的教学重点。从这三道例题的相互关系来看,它们在整体中又具有不同的地位、作用。例1是说明除数是整数的小数除法的基本方法,能够除尽。例2是说明商的个位、十分位     

“一致性”理念下除法教学的设想

<正>《课程标准（2022年版）》注重数学知识本质的一致性。其中,在数与代数领域,把原来“数的认识”与“数的运算”统整为“数与运算”主题,凸显数的意义与运算之间的紧密联系。事实上,四则运算在本质上都是有关计数单位的运算。这对于整数、小数和分数的加法、减法、乘法比较容易理解,但对于除法似乎不易理解。其实,只要对整数除法、小数除法和分数除法分别加以分析就会发现,其中一部分除法是在计数单位统一的前提下,     

《小数除以整数》

教学内容《义务教育课程标准实验教科书数学》人教版五年级上册第二单元16页例1。教学过程一、复习整数除法,对比理解小数除法的意义     

小学数学第九册总复习提要

根据本册教学要求，复习时应把握知识间的内在联系，经过师生系统整理，突出重难点，使学生进一步巩固所学的知识。一、加强联系，突破难点小数乘、除法是整数乘除法的扩展。复习时要引导学生从意义和法则上将它们的联系、区别梳理清楚。小数除法的计算法则与整数乘、除法实质一样，主要是处理好小数点的位置。因此，复习时要把整数运算知识迁移到小数运算中来，通过联系对比，让学生在掌握法则的基础上进行熟练计算。（1）弄清12．6×4和12．6×0．4虽然意义不同，但算理和算法是一致的，它们都是利用因数扩大若干倍引起积变化的规律，把小…     

南疆小学生数学运算错误类型及分析——基于新疆大规模测评数据

结合新疆大规模测评数据,针对南疆小学生数学运算中错误进行了微观分析.研究发现,南疆小学生在整数乘法、整数除法、整数混合运算、小数加法、小数减法和小数混合运算6个方面出现错误类型主要表现为概念性错误,即混淆运算符号、不理解小数概念、混合运算中运算顺序混乱和运算律使用错误等问题.出现概念性错误的原因主要包括复杂运算的算法与算理的理解问题,对位值的理解问题和混合运算中运算规则的理解问题.