一道课本习题的多种证法

人教版第二册第254页第12题,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB于K.求证:AB=3AK.此题需作平行线,利用平行线分线段成比例定理进行证明,但学生对这种辅助线的作法感到茫然,常需在老师或课本的提示下才能完成,不能真正理解作辅助线的意图.下面就利用此题的多种证法,对这类题分析一下,以培养学生大胆思维,敢于尝试的好习惯.方法1如图1,过D点作DE∥CK交AB于点E,在△ADE与△AMK中,AK∶KE=AM∶MD=1∶1,在△BKC与△BED中,BE∶EK=BD∶DC=1∶1,所以AB∶AK=3∶1,即:AB=3AK.从这种证法中可看出,辅…     

“1 3=2 4”——妙用“不等之等”巧解圆内接四边形和圆外切四边形

圆的内接四边形,它的性质内容之一是:圆的内接四边形对角互补.现采撷几题,利用此定理所隐含的“1 3=2 4”的“不等之等”关系略加评析,供读者参考.题一:圆的内接四边形ABCD中,∠A、A1∶∶2∠∶B3∶∶∠4C∶∠D可以是()B、2∶3∶1∶4C、3∶1∶2∶4D、4∶1∶3∶2题二:圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶n,则n=(n是正整数).题三:圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶m∶3∶n,则m n=(m,n是正整数).题四:圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶m∶y∶n,则m n-y=(m,n,y是正整数).题五:圆的内接四边…     

几何比例问题的证明方法

1.a∶ b=c∶ d型这类比例式一般分两种情况 , .成比例线段的前项和后项在一条直线上。即在 a∶ b=c∶ d中 ,a、b在一条直线上 ,c、d在一条直线上。它的证题方法是用平行线分线段成比例定理及其推论证明。 .成比例的线段的前项和后项不在同一直线上。它的证题方法是找两个角相等的相似三角形。例 1.如图 :由△ ABC中 BC边的中点 D引直线交 AC及 BA的延长线交于 E、F。求证 :EA∶ EC=FA∶ FB。分析 :若过 A点作 AG∥ BC交 FD于 G点。则易知 FA∶ FB=AG∶ BD=AG∶ DC=AE∶ EC。2 .an∶ bn=c∶ d型欲证等式 an∶ bn=c∶ d形…     

挖掘教材题目 演绎多彩数学

<正>新编人教版、北师大版、华师大版和苏科版的初中几何教科书中,均介绍了如下一道例题或习题:"过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E.求证:AE∶ED=2AF∶FB.本文首先对这道课本题进行证明,而后再谈谈这道课本题结论的应用,最后对与这道课本题有关的一类几何问题进行推广,供初中师生教与学时参考.1课本题的证明方法1如图1,过D点作DG∥BF交CF于G,     

一类几何题的解答及推广

有一类关于三角形一边的中线被另一边的几等分点与这边所对顶点连线所分线段比的几何题 ,我们可借助新编九年义务教材初中《几何》第二册第 2 5 5页题17“过△ ABC的顶点 C任作一直线 ,与边 AB及中线 AD分别交于点 F和 E。求证 :AE∶ ED =2 AF∶ FB。如图 1。”进行巧思妙解。　　例 1.如图 1,在△ A BC中 ,设两条中线AD 和 CF交于 E,求AE∶ ED。　(三角形重心定理 )解 :由课本题结论知 ,A E∶ED=2 AF∶ FB=2 AF∶ AF=2∶ 1。例 2 .三角形从一个顶点到对边三等分点作线段 ,过第二顶点的中线被这些线段分成连比 x∶ y∶ z,…     

NaOH、Na2CO3、NaHCO3互变型计算题解法分析

有关NaOH、Na2 CO3 、NaHCO3 互变型计算题是近年高考试卷中的热点 .这类计算题涉及多个反应 ,关系复杂 ,是考查能力的好题 .现将此种题的四类常见题型及解答规律作分析 ,供同学们复习时参考 .题型一 :CO2 与NaOH反应【反应规律】( 1 )涉及有关反应 :CO2 2NaOH =Na2 CO3 H2 O(CO2 不足 )CO2 Na2 CO3 H2 O =2NaHCO3即 :CO2 NaOH =NaHCO3 (CO2 足量 )( 2 )产物分析 :当n(CO2 )∶n(NaOH) =1∶2时 ,产物只有一种 ,为Na2 CO3 ;当n(CO2 )∶n(NaOH) =1∶1时 ,产物只有一种 ,为NaHCO3 ;当 1 / 2 相似文献   

观察·联想·新结论

题:已知,如图1,D、E是△ABC的边BC的三等分点,中线BM交AD、AE于G、H,求BG∶GH∶HM。此题通过过M作MN∥BC不难得到: BG∶GH∶HM=5∶3∶2。如果将边BCn等分又如何呢?下面给出推导: 如图2,B_1,B_2……B_(n-1),是△AB_0B_n的边B_0B_n的n等分点,中线B_0B_n 分别交AB_1,AB_2……AB_(n-1)于点C_1,C_2……C_(n-1),过点C_n作C_nD_0∥B_0B_n,分别交AB_0,AB_1,AB_2,……AB_(n-1)于点D_0,D_1,D_2,     

2004年全国高考立几题解法多种

题目:如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.解:此题是一道极棒的开放性题,题目切入点多,留给学生的思维空间宽,思考方法多种多样,下面给出此题的五种解法,供同学们参考.方法一:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,因为:BF=BC+12CP=AD+12(CD+DP)=AD+12CD+32DE=AD+12(AD-AC)+32(AE-AD)=32AE-12AC所以BF、AE、AC共面,又BF平面AEC,从而BF∥平面AEC.方法二:作PC中点F,连BF,设AC交BD于点O,连FO,过E作…     

一道几何题的研究

义教版初中“几何”第二册第21页19题:过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交点F和E.求证:AE∶ED=2AF∶FB.研究证法:本题从图形看共有6个点过其中每一点作相应一边的平行线都可以证出原题的结论,共有如下12个添法:其它添加辅助线方法留给读者证明.证明:过E点作EP∥BC交AB于点P.EP∥BC EPBC=FFPB EP=BCF·BFPEPBD=AABP EP=BDA·BAP BC·FPFB=BDA·BAPAB=AF+FBBC=2BD FP=2AAFP·+F2BFBAEED=PAPB=FAFB+-FFPP EADE=2FABF.再给两个面积证法.如图14,连结BE.因为FABF=SS21=S1+S5S2+S…     

试评九七年全国高考一道解析几何题

九七年全国高考数学试题(理工医农类)第(25)题,是近几年来解析几何试题中出得较好的试题之一.该题的条件内蕴较深较丰.在具体的推演中,又末脱离中学数学的基础知识及常规常法.运算数据给得适宜.再次是该题出得较活,解法较多.本文将对此作一简要的评述,并给出两个不同的解法,以供参考. 题为:“设圆满足①截y轴所得的弦长为2,②被x轴分成两段圆弧弧长之比为3∶1.求满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:     

以旋似之名 辟作图之径

<正>例题呈现:如图1,⊙O半径为16,圆心为直角坐标系原点.Rt△ABC,直角顶点A在x轴上,点B在y轴上,点C在圆上,且满足AC∶AB=2∶3,求△ABC面积的最小值.这是近两年比较流行的一道动态求最值的网红题.本文对此题解法不做探讨,笔者剑走偏锋,想和各位读者探讨下该动态三角形如何准确作     

十字交叉法解三道高考化学选择题

１９９９年高考化学选择题中含有计算因素的题目有３,４,１０,１８,１９,２０,２１,２３,２４,２５题,其中４,２０,２１题可以用十字交叉法快速解出,下面用十字交叉法及其他方法对这３道题分别作以解答。第４题：已知自然界中铱有两种质量数分别为１９１和１９３的同位素,而铱的平均原子量为１９２２２,这两种同位素的原子个数比应为（　　）。Ａ．３９∶６１　　Ｂ．６１∶３９Ｃ．１∶１　　Ｄ．３９∶１１解　一法——十字交叉法：１９２２２１９１１９３０７８１２２０７８∶１２２＝３９∶６１答案选Ａ。二…     

英语实践初探——解析专业英语四级阅读

一、常见题型及解题思路(一)常见阅读题型题型一:细节题1.标志:针对wh-question提问。2.作题的关键在于返回原文,不要凭印象作题,返回原文要有定位意识。3.细节题迷惑选项的常用手段:偷换概念、扩大范围、正反混淆、颠倒因果、常识判断。题型二:例证题1.标志:example,illustrate,demonstrate,exemplify等等。2.解题的关键不在于是否看懂例子,而在于例子所支持的论点。3.具体作题方法:返回原文,定位该例子,然后80%向上20%向下搜索该例子所支持的论点。然后在四个选项中找到与观点意思最接近的一个作为答案。题型三:词汇题1.标志:在题干中明确…     

重视课本习题 培养良好思维

课本上的习题,大多具有典型性和代表性,善于探究,能一题多解和一题多变,对同学们培养发散性思维和创造性思维大有裨益,现举例说明。例在△ABC中(AB>AC)的边AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证:BP∶CP=BD∶CD(九年义务教育初中《几何》第二册第255页16题)。一、探索证法,培养发散性思维全方位、多角度,寻求问题的解决途径,是培养发散性思维的有利方法。图1证法一:如图1,过C作CF∥AB交PD于F,则BP∶CP=BD∶CF、且∠1=∠4∵AD=AE∴∠1=∠2∴∠2=∠4又∵∠2=∠3∴∠3=∠4∴BP∶CP=BD∶CE…     

几道自主招生题的推广

<正>近日,笔者在给学生解答一些自主招生的题目之余,对有些题目有了进一步的思考,并对结论作了进一步的推广.例1 (2016年清华自主招生题) O为△ABC内一点,若S_(△AOB)∶S_(△BOC)∶S_(△AOC)=4∶3     

一题多解总结规律

用多种方法解题 ,不仅可以拓宽视野 ,训练思维 ,而更重要的是归纳解法 ,总结规律 ,提高能力。下面以初中几何第二册“相似形”一章中 P2 55页第十八题的四种解法为例 ,总结有关线段成比例的解法及作辅助线的规律。题目 :如图 1 ,BD=CE,求证 :AC· EF=AB· DF。解法一 :过 E作 EG∥ AB交 BC于 G,在△ ABC中 ,EG∥ AB,∴ AC∶AB=EC∶ EG。在△ DBF中 ,EG∥ DB,∴ DF∶ EF=DB∶ EG。又∵ BD=CE,∴ AC∶ AB=DF∶ EF。即 AC· EF=AB· DF。解法二 :过 E作 EG∥ BC交 AB于 G。在△ ABC中 ,EG∥ BC,∴ AC∶ AB…     

加强思维训练例谈

首先,让我们看这样一道题:在△ABC 中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证:(1)/(AB)+(1)/(AC)=(1)/(BC).这是一道比较难的题。学生看到求证结论,不知从何下手。我们是这样引导学生进行思维训练的。     

2004年普通高等学校春季招生考试文科综合能力测试

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分300分。第Ⅰ卷(选择题共140分)本卷共35小题,每小题4分,共计140分。在每小题列的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。图1表示①②③④四个地区三次产业的就业构成,读图1回答1～3题:1.④地区一、二、三产业的就业比例为A.37.6∶17.4∶45.0B.31.6∶30.5∶37.9C.15.5∶24.5∶60.0D.37.6∶24.5∶37.92.四个地区中城市化水平最高的是A.①B.②C.③D.④3.四个地区中工业化程度最低的是A.①B.②C.③D.④读图2,回答4～6题:4.图中“西气东输”线路穿越的省区中,涉及黄河流域的有A.宁、…     

我的一点小发现

有一道中考题:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角之比为2∶3∶4,求∠A∶∠B∶∠C. 此题实际上由三角形外角的比求三角形内角的比.当然解答是不难得到的.但我在想有没有一些规律,能不能得出简捷公式. 我们不妨考虑一般的情形. 已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角之比为m∶n∶p,求     

列方程解平几计算题

几何计算题中一般含有已知几何量和未知几何量,它们共处在题设图形中,具有一定的几何数量关系。因而可列出有关方程,用以求未知的几何量。这种做法类似于列方程解应用题.下面举出几例: 例1 如图1,正方形ABCD边长为1,以边BC为直径在正方形内作半圆⊙O,过A作⊙O的切线,切点为F,交边CD于E。求DE∶AE的值.