一个图形中的三个类似结论

圆外切四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA边上的切点分别为P、Q、R、S。AB与DC延长线相交于点E,AD与BC延长线相交于点F。     

数学奥林匹克问题

高366如图1，肘是四边形ABCD外接圆上一动点，AB与DC交于点E，DA与CB交于点F，FM与直线AB、CD分别交于点R、S，EM与直线AD、BC分别交于点P、Q，RQ与SP的交点为置证明：直线MX过一定点．     

巧解三角形内接正方形

北师大版义务教育课程标准试验教科书《数学》八年级下册第147页的例题是： 如图1,AD是△ABC的高,点P、Q在BC边上,点R在AC边上,点S在AB边上,BC=60cm,AD=40cm,四边形PQRS是正方形． （1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？ （2）求正方形PQRS的边长．     

一道美国奥赛推广题的消点法证明

《中学数学》（苏州）1995年第10期中的文[1]对1994年第22届美国数学奥林匹克中的第2题作了如下推广;若凸四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直且相交于E,过E点分别作边AB、BC、CD、DA的垂线,垂足依次为P、Q、R、S,并分别交CD、     

添条辅助线

题目:四边形ABCD是一个正方形,面积是16平方厘米。E、G分别是AB、CD的中点,F、H分别是AD、BC上的任意一点。求四     

一个与"切割线定理"相媲美的性质

定理如图1,点P在平行四边形ABCD对角线BD上,一直线过点P分别交BA、BC的延长线于点Q、S,交AD、CD于点R、T.则PQ·PR=PS·PT.     

圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为E,F,G,H,则四边形EFGH是矩形.本文给出圆内接四边形的另外两个性质:性质1 如图1,ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的重心分别为S,P,Q,R,则有如下结论:(1)四边形PQRS∽四边形ABCD;(2)S四边形PQRS=1/9S四边形ABCD.     

一道美国数学奥林匹克几何题的代数证明

题目 梯形ABCD内接于圆ω,满足AB∥CD,G是ΔBCD内一点,射线AG,BG分别交圆于点P,Q-过点G且平行于AB的直线分别交BD,BC于点R,S．求证：P,Q,R,S四点共圆的充要条件是BG平分∠CBD．（2009,美国数学奥林匹克试题）     

多边形Brocard点一个性质的推广

文[1]给出:若△ABC面积为?,Brocard角为α,则Brocard点在三边的射影为顶点的三角形面积为?sin2α.文[2]推广为:P是双圆四边形ABCD的Brocard点,∠P AB=∠P BC=∠P CD=∠P DA=α,P点在AB、BC、CD、DA上的射影分别为A'、B'、C'、D',记四边形ABCD的面积为?,则四边形A'B'C'D'的面积为?'=?sin2α.文[3]指出文[2]“双圆四边形”的条件是多余的,并将上述结论推广到凸多边形A1A2A3L An,得到:设凸多边形A1A2A3L An的Brocard点为P,其Brocard角为θ,点P在直线Ai Ai+1上的射影为Bi(i=1,2,L,n且A n+1为A1),多边形A1A2A3L An和…     

一道课本例题的探究及其妙用

北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第147页的例题是： 如图1,AD是△ABC的高,点P,Q在BC边上,点R在AC边上,点S在AB边上,BC=60cm,AD=40cm,四边形PQRS是正方形．     

一个基本图形及其应用

基本图形 如图1,在平行四边形ABCD中,过对角线AC上任一点O作EF//BC,GH//AB,分别交AB,CD,AD,BC于点E,F,G,H,则S四边形EBHO=S四边形GOFD。     

平行四边形的判定

<正>为帮助同学们顺利解决有关平行四边形的判定问题,这里介绍几种思维方法.一、数个数,把握概念例1如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,E、G、F、H分别为AD、AB、BC、CD上的点,且GH∥AD,EF∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有哪些平行四边形?分析平行四边形的定义是,两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.根据这个定义,利用题中的已知条件AB∥CD,AD∥BC,GH∥AD,EF∥AB即可找出图中的平行     

一道美国奥赛题的推广

1994年第22届美国数学奥林匹克(UMO·22)的第2题为:“已知:如图1,凸四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直并相交于E,从E点分别作边AB、BC、CD、DA的垂线,垂足依次为P、Q、R、S。求证:P、     

数学问题与解答2009年第10期问题解答

776．在△ABG中，∠C=90°，D是AB上一点，在△ACD中作正方形PQRS，R、S两点在AC上，P、Q两点分别在AD、CD上；在△DCB中作正方形EFGH，F、G两点在BG上，H、E两点分别在GD、DB上，若正方形PQRS的边长与正方形EFGH的边长相等，求证：AC/BC=AD2/BD2.     

转化是学好四边形的关键

一、将四边形问题转化为平行四边形问题例 1.已知 :四边形 ABCD中 ,AB=DC,AC=BD,且 AD≠BC。求证 :四边形 ABCD是等腰梯形。分析 :欲证此四边形为等腰梯形 ,可由定义来证明。从已知条件可看出 ,只要证明AD∥ BC即可。由此联想到构造平行四边形即可证得。证明 :过点 D作 DE∥ A B交BC于点 E,则∠ ABC=∠ DEC。∵ AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ ABC≌△ DCB。∴∠ ABC=∠ DCB,∠ DEC=∠ DCB。∴ AB=DC=DE,∵ AB∥ DE,∴四边形 ABED是平行四边形 ,∴ AD∥ BC。又∵ AD≠ BC,∴四边形 ABCD是等腰梯形。二、将四…     

四边形中的面积问题

例1如图1,在任意四边形ABCD中,点M,N分别是边AB,CD的中点,BN,AN分别交CM,DM于点P,Q,求证：S△BPC＋S△AQD=S四边形MQNP。     

平行四边形的性质与判定

[知识要点]1 平行四边形的性质: (1) 　　　;(2) 　　　;(3)　　　;(4) 是　　　对称图形 2 平行四边形的判定: (1) 　　　　　; (2) 　　　　　;(3) 　　　　　;(4) 　　　　　;(5) 　　　　　 3 中心对称和中心对称图形(1) 定义: 　　　　　;(2) 性质: 　　　　　 典型考题解析例1　(2003年江苏省镇江市)在四边形 ABC D 中,已知AB∥CD,请补充条件　　　　　(写一个即可),使得四边形ABCD为平行四边形 若四边形 AB C D 是平行四边形, 请补充条件　　　　　(写一个即可),使得四边形ABCD 为菱形 (答案: AB=CD 或AD∥BC 或∠A=…     

一组平面几何问题的探究

本文给出一组与完全四边形密切相关的平面几何问题,题1设四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,直线PR分别交AQ、BQ于点M、N,则证明：如图1,直线BQ与△PAD三边都相交,由梅涅劳斯定理,有题2过O外一点Q作O的两条切线,E、F为切点,作一条割线QDA,EF和AD交于点M（图2）．则证明：连结ED、EA、FD、FA．题3四边形ABCD内接于圆,边AB和DC的延长线交于点P,边AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E、F,则P、F、R、E四点共线,证…     

证明(三)自测题

一、填空题1.在ABCD中,若∠A+∠C=140°,则∠C=°,∠B=°.2.对角线相等且互相平分的四边形是,对角线相等且互相垂直的平行四边形是.3.若菱形的两条对角线长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为,面积为.4.如图1,矩形ABCD的两条对角线交于O点,∠AOB=60°,AB=2cm,则矩形的对角线长是,矩形的周长是.图1图25.如图2,四边形ABCD是正方形,延长BC至点E,使CE=AC.连结AE,AE交CD于F,那么∠AFC度数是.6.如图3,直线l是四边形ABCD的对称轴,且AB=CD.今给出下面四个结论:①AB∥CD;②CA⊥BD;③AO=OC;④AB⊥BC.其中正确的结论是.图3图4…     

中点四边形再探

我们知道，顺次连接四边形各边的中点所得的四边形（简称中点四边形）是平行四边形．如图1．在四边形ABCD中，E，F，G，日分另U是AB，BC，CD，DA的中点，四边形EFGH是平行四边形．